专题4.5 函数的增长率姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足()A．y＝a(1＋5%x)B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x－1D．y＝a(1＋5%)x【答案】D【解析】经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系式：y＝a log3(x ＋2)，观测发现2018年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2024年冬越冬白鹤有()A．4 000只B．5 000只C．6 000只D．7 000只【答案】C【解析】当x＝1时，由3 000＝a log3(1＋2)得a＝3 000，所以到2024年冬，即第7年，y＝3 000×log3(7＋2)＝6 000.故选C.3．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r 的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为()A．60安B．240安C．75安D．135安【答案】D【解析】由已知，设比例常数为k ，则I ＝k ·r 3.由题意，当r ＝4时，I ＝320，故有320＝k ×43，解得k ＝5，所以I ＝5r 3. 故当r ＝3时，I ＝5×33＝135(安)．故选D.4.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y (单位：m 2)与时间t (单位：月)的关系为y ＝a t .关于下列说法正确的是( ) A ．浮萍每月的增长率为1B ．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2C ．浮萍每月增加的面积都相等D ．若浮萍蔓延到2 m 2,3m 2,6 m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3 【答案】ABD【解析】图象过(1,2)点，∴2＝a 1，即a ＝2，∴y ＝2t .∵12)12(22221=-=-+tt t t t ，∴每月的增长率为1，A 正确． 当t ＝5时，y ＝25＝32＞30，∴B 正确．∵第二个月比第一个月增加y 2－y 1＝22－2＝2(m 2)，第三个月比第二个月增加y 3－y 2＝23－22＝4(m 2)≠y 2－y 1，∴C 不正确． ∵2＝12t，3＝22t，6＝32t， ∴t 1＝log 22，t 2＝log 23，t 3＝log 26，∴t 1＋t 2＝log 22＋log 23＝log 26＝t 3，D 正确．故选A 、B 、D.5．（2020·临泉县第二中学高三月考（理））我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝()dB ,对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算： 010lgII η=⋅(其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设170dB η=的声音强度为1I ，260dB η=的声音强度为2I ，则1I 是2I 的（ ）A ．76倍 B ．10倍C ．7610倍D ．7ln 6倍【答案】B【解析】因为010lgII η=⋅，代入170dB η=，260dB η=， 得10207010lg 6010lg I I I I ⎧=⋅⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩，两式相减，得12001010lg lg I I I I ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭得到12lg 1I I =，即1210I I =，故选：B.6．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt.已知新丸经过50天后，体积变为94a .若一个新丸体积变为278a ，则需经过的天数为( )A ．125B ．100C ．75D ．50 【答案】C【解析】由已知，得94a ＝a ·e －50k ，∴e －k ＝501)94(.设经过t 1天后，一个新丸体积变为278a ， 则278a ＝a ·e －kt 1， ∴278＝(e －k)t 1＝501)94(t，∴23501=t ，t 1＝75.7．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T 1(℃)，空气的温度是T 0(℃)，经过t 分钟后物体的温度T (℃)可由公式T ＝T 0＋(T 1－T 0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t 分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t 的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )A ．1.78B ．2.77C ．2.89D ．4.40 【答案】B【解析】由题意可知50＝10＋(90－10)·e －0.25t，整理得e－0.25t＝21，即－0.25t ＝ln 21＝－ln 2＝－0.693，解得t ≈2.77.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）8．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m 2增加到了4 800元/m 2，则这6年间平均每年的增长率是________． 【答案】32－1【解析】设6年间平均年增长率为x ，则有1 200(1＋x )6＝4 800，解得 x ＝32－1.9．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料的质量M kg ，火箭(除燃料外)的质量m kg 的函数关系式是v ＝2 000·ln )1(mM+.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. 【答案】e 6－1【解析】当v ＝12 000 m/s 时，2 000·ln )1(m M +＝12 000，所以ln )1(m M +＝6，所以mM＝e 6－1. 10．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y ＝e kt ，其中k 为常数，t 表示时间(单位：小时)，y 表示繁殖后细菌总个数，则k ＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________． 【答案】2ln 2 1 024【解析】由题意知，当t ＝21时，y ＝2，即2＝21e k ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2. 当t ＝5时，y ＝e 2×5×ln 2＝210＝1 024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.11．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为21T 现测得某种放射性元素的剩余质量A 随时间t 变化的6次数据如下：A (t )＝________．【答案】4 320·2－4t(t ≥0) 【解析】从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A 0＝320，则经过时间t 的剩余质量为A (t )＝A 0·21)21(T t ＝320·2－4t(t ≥0)． 三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）12．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A 万元，则超过部分按log 5(2A ＋1)进行奖励．记奖金为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)． (1)写出奖金y 关于销售利润x 的关系式；(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 【解析】(1)由题意知当0≤x ≤8时，y ＝0.15x ；当x >8时，y ＝8×0.15＋log 5(2x －15)＝1.2＋log 5(2x －15)，所以⎩⎨⎧>-+≤≤=8).152(log 2.180,15.05x x x x y(2)当0≤x ≤8时，y max ＝0.15×8＝1.2＜3.2，故小江销售利润x ＞8. 由题意知1.2＋log 5(2x －15)＝3.2，解得x ＝20.所以小江的销售利润是20万元．13．．（2019·江西上高二中高一月考（文））一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，使森林面积每年比上一年减少p %，10年后森林面积变为3a ． （1）求p %的值；（2）到今年为止该森林已砍伐了多少年？【解析】（1）设砍伐n 年后的森林面积为f （n ），则f （n ）＝a （1﹣P %）n ． 由题意可得f （10）3a =，即a （1﹣P %）103a=，解得：p %＝1（2）由（1）可得f （n ）＝a •（n ＝a •1013n（），令f （n ）=可得，110211 33n==（）（）， ∴1102n =，即n ＝5． 故到今年为止，该森林已砍伐5年14．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P （单位：mg/L ）与过滤时间t （单位：h ）间的关系为()0ktP t Pe -=（0P ，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数），其中0P 为0t =时的污染物数量.若经过5h 过滤后还剩余90%的污染物. （1）求常数k 的值；（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h ，参考数据：ln0.2 1.61≈-，ln0.3 1.20≈-，ln0.40.92≈-，ln0.50.69≈-，ln0.90.11≈-）【解析】（1）由已知得，当0t =时，0P P =；当5t =时，090%P P =.于是有50090%kP P e -=，解得1ln 0.95k =-（或0.022k ≈）.（2）由（1）知1ln 0.950t P P e⎛⎫ ⎪⎝⎭=，当040%P P =时，有1ln0.95000.4t P P e⎛⎫⎪⎝⎭=，解得()ln 0.40.92 4.6042110.11ln 0.90.1155t -=≈=≈⨯-. 故污染物减少到40%至少需要42h.15．（2020·湖北荆州中学高一期末）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商品一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格()P x （单位：元）与时间x （单位：天）的函数关系近似满足()1kP x x=+（k 为正常数），日销售量()Q x （单位：件）与时间x （单位：天）的部分数据如下表所示：已知第10天的日销售收入为121元. （1）求k 的值；（2）给出以下四种函数模型：①()Q x ax b =+，②()|25|Q x a x b =-+，③()x Q x a b =⋅，④()log b Q x a x =⋅.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量()Q x （单位：件）与时间x （单位：天）的变化关系，并求出该函数的解析式. （3）求该小物品的日销售收入()f x （单位：元）的最小值.【解析】（1）依题意知第10天的日销售收入为(10)(10)111012110k P Q ⎛⎫⋅=+⨯= ⎪⎝⎭，得1k =； （2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②，()|25|Q x a x b ∴=-+，从表中任意取两组值代入可得，30251202025120a b a b ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1125a b =-⎧⎨=⎩，()*()125|25|130,Q x x x x N ∴=--≤≤∈；（3）由（2）知))**100(125,()150(2530,x x x N Q x x x x N⎧+≤<∈⎪=⎨-≤≤∈⎪⎩，所以))**100101(125,()()()150149(2530,x x x N xf x P x Q x x x x N x⎧++≤<∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-+≤≤∈⎪⎩， 当125x ≤<时，100y x x=+在[]1,10上是减函数，在[10,25)是增函数， 所以min ()(10)121f x f ==.当2530x ≤≤时，150y x x=-为减函数， 所以min ()(30)124f x f ==.综上所述，当10x =时，()f x 取得最小值，min ()121=f x。