广东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|2x2﹣7x＜0}，B={0，1，2，3，4}，则（∁R A）∩B=（）A．{0} B．{1，2，3} C．{0，4} D．{4}2．已知复数z满足（z+1）（1+i）=1﹣i，则|z|=（）A．1 B．C．D．3．在等差数列{a n}中，a10=a14﹣6，则数列{a n}的前11项和等于（）A．132 B．66 C．﹣132 D．﹣664．已知向量=（1，2），=（2，﹣3），若m+与3﹣共线，则实数m=（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．5．某个零件的三视图如图所示，网格上小正方形的边长为1，则该零件的体积等于（）A．24﹣2πB．24﹣4πC．32﹣2πD．48﹣4π6．运行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．5 B．8 C．10 D．137．将函数f（x）=sinπx的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，若f（x）和g（x）在区间[﹣1，2]上的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．8．设f（x）=，则不等式f（x）＜3的解集为（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，1）∪[2，）D．（﹣∞，1）∪[2，3）9．对于函数f（x）=x2+，下列结论正确的是（）A．∃a∈R，函数f（x）是奇函数B．∀a∈R，函数f（x）是偶函数C．∀a＞0，函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数D．∃a＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是减函数10．正四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱的长度均为，则该四棱锥的外接球体积为（）A． B．πC．πD．9π11．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点P在双曲线的左支上，且PF 与圆x2+y2=a2相切于点M，若M恰为线段PF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．212．已知函数f（x）=x+xlnx，若m∈Z，且f（x）﹣m（x﹣1）＞0对任意的x＞1恒成立，则m的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，包括2个红球，2个黑球和1个白球，从中随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为．14．已知实数x，y满足，则2x﹣2y+1的最大值是．15．已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，点A（0，m），m＞0，射线FA于抛物线C交于点M，与其准线交于点N，若|MN|=2|FM|，则m= ．16．在数列{a n}中，a1=1，（n2+n）（a n+1﹣a n）=2，则a20= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB=2c﹣b．（1）求cos（A+）的值；（2）若∠B=，D在BC边上，且满足BD=2DC，AD=，求△ABC的面积．18．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且有PB=PD，PA⊥BD．（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若∠DAB=∠PDB=60°，AD=2，PA=3，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．某公司要推出一种新产品，分6个相等时长的时段进行试销，并对卖出的产品进行跟踪以及收集顾客的评价情况（包括产品评价和服务评价），在试销阶段共卖出了480件，通过对所卖出产品的评价情况和销量情况进行统计，一方面发现对该产品的好评率为，对服务的好评率为0.75，对产品和服务两项都没有好评有30件，另一方面发现销量和单价有一定的线性相关关系，具体数据如下表：时段123456单价x（元）800820840860880900销量y（件）908483807568（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为产品好评和服务好评有关？（2）该产品的成本是500元/件，预计在今后的销售中，销量和单价仍然服从这样的线性相关关系（=x+），该公司如果想获得最大利润，此产品的定价应为多少元？（参考公式：线性回归方程=x+中系数计算公式分别为：=，=﹣；K2=，其中n=a+b+c+d）（参考数据P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 x i y i=406600，x i2=4342000）20．过椭圆C：+y2=1的右焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，M是AB的中点．（1）求动点M的轨迹方程；（2）过点M且与直线l垂直的直线和坐标轴分别交于D，E两点，记△MDF的面积为S1，△ODE的面积为S2，试问：是否存在直线l，使得S1=S2？请说明理由．21．已知函数f（x）=，g（x）=﹣x2+ax+1．（1）求函数y=f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最大值；（2）若函数y=x2f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，过M（2，1）的直线l的倾斜角为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ+）．（1）求直线l的参数方程与圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A，B两点，求+的值．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）＜2；（2）求直线y=3与f（x）的图象所围成的封闭图形的面积．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|2x2﹣7x＜0}，B={0，1，2，3，4}，则（∁R A）∩B=（）A．{0} B．{1，2，3} C．{0，4} D．{4}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】解不等式得集合A，根据补集与交集的定义写出（∁R A）∩B即可．【解答】解：集合A={x|2x2﹣7x＜0}={x|0＜x＜}，∴∁R A={x|x≤0或x≥}，又B={0，1，2，3，4}，∴（∁R A）∩B={0，4}．故选：C．2．已知复数z满足（z+1）（1+i）=1﹣i，则|z|=（）A．1 B． C． D．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（z+1）（1+i）=1﹣i，∴z+1====﹣i．∴z=﹣1﹣i．则|z|=．故选：B．3．在等差数列{a n}中，a10=a14﹣6，则数列{a n}的前11项和等于（）A．132 B．66 C．﹣132 D．﹣66【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】设其公差为d，利用等差数列的通项公式得到a6=﹣12．所以由等差数列的性质求得其前n项和即可．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，设其公差为d，∵a10=a14﹣6，∴a1+9d=（a1+13d）﹣6，∴a1+5d=﹣12，即a6=﹣12．∴数列{a n}的前11项和S11=a1+a2+…+a11=（a1+a11）+（a2+a10）+…+（a5+a7）+a6=11a6=﹣132．故选：C．4．已知向量=（1，2），=（2，﹣3），若m+与3﹣共线，则实数m=（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程求出m的值．【解答】解：向量=（1，2），=（2，﹣3），则m+=（m+2，2m﹣3），3﹣=（1，9）；又m+与3﹣共线，∴9（m+2）﹣（2m﹣3）=0，解得m=﹣3．故选：A．5．某个零件的三视图如图所示，网格上小正方形的边长为1，则该零件的体积等于（）A．24﹣2πB．24﹣4πC．32﹣2πD．48﹣4π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意，直观图是以主视图为底面，侧棱垂直于底面的棱柱，求出底面面积，即可求出体积．【解答】解：由题意，直观图是以主视图为底面，侧棱垂直于底面的棱柱，底面面积为=6﹣，体积为（6﹣）×4=24﹣2π，故选：A．6．运行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．5 B．8 C．10 D．13【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a b i c 是否继续循环循环前1 1 1 2/第一圈1 2 2 3 是第二圈2 3 3 5 是第三圈3 5 4 8 是第4圈5 8 5 13 是第5圈8 13 6 否此时c值为13故选D．7．将函数f（x）=sinπx的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，若f（x）和g（x）在区间[﹣1，2]上的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积是（）A． B． C． D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，结合正弦函数的图象特征求得A、B、C的坐标，可得△ABC的面积．【解答】解：将函数f（x）=sinπx的图象向左平移个单位后得到函数g（x）=sinπ（x+）=cosπx的图象，若f（x）和g（x）在区间[﹣1，2]上的图象交于A，B，C三点，由sinπx=cosπx，可得x=﹣，或x=，或x=，结合图象可得A （﹣，﹣）、B（，）、C（，﹣），则△ABC的面积S=AC•=，故选：C．8．设f（x）=，则不等式f（x）＜3的解集为（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，1）∪[2，）D．（﹣∞，1）∪[2，3）【考点】5B：分段函数的应用；7J：指、对数不等式的解法．【分析】利用分段函数，列出不等式转化求解即可．【解答】解：f（x）=，则不等式f（x）＜3，可得：，解得x＜1．，解得2≤x＜3．则不等式f（x）＜3的解集为：（﹣∞，1）∪[2，3）．故选：D．9．对于函数f（x）=x2+，下列结论正确的是（）A．∃a∈R，函数f（x）是奇函数B．∀a∈R，函数f（x）是偶函数C．∀a＞0，函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数D．∃a＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是减函数【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】A根据奇函数的定义判断即可；C求出函数的导函数，根据导函数判断函数的单调性；CD由定义判断可得．【解答】解：A中∃a∈R，函数f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），可得﹣x2=x2，显然不成立；B中∀a∈R，函数f（x）是偶函数，只有当a=0时，函数才是偶函数，故不成立；C中∀a＞0，函数f（x）的导函数f'（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上小于零，故函数是减函数，正确；D中∃a＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是减函数显然错误．故选：C．10．正四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱的长度均为，则该四棱锥的外接球体积为（）A． B．πC．πD．9π【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出棱锥的高，设外接球半径为r，根据勾股定理列方程求出r，代入体积公式计算即可．【解答】解：设正四棱锥的底面中心为O，则OA=AC=，∴正四棱锥的高PO==2，设外接球的半径为r，则（2﹣r）2+2=r2，解得r=．∴外接球的体积V==．故选C．11．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点P在双曲线的左支上，且PF 与圆x2+y2=a2相切于点M，若M恰为线段PF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．2【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的左焦点为F1，由题意，△PF1F，为直角三角形，PF1⊥PF，|PF1|=2a，|PF|=|PF1|+2a=4a，利用勾股定理，建立方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，△PF1F为直角三角形，PF1⊥PF，|PF1|=2a，|PF|=|PF1|+2a=4a，在直角△PF1F中，4c2=4a2+16a2，∴c2=5a2，∴e=．故选：B．12．已知函数f（x）=x+xlnx，若m∈Z，且f（x）﹣m（x﹣1）＞0对任意的x＞1恒成立，则m的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】问题转化为对任意x∈（1，+∞），m＜恒成立，求正整数m的值．设函数h（x）=，求其导函数，得到其导函数的零点x0位于（3，4）内，且知此零点为函数h（x）的最小值点，经求解知h（x0）=x0，从而得到m＜x0，则正整数m的最大值可求．．【解答】解：因为f（x）=x+xlnx，所以f（x）﹣m（x﹣1）＞0对任意x＞1恒成立，即m（x﹣1）＜x+xlnx，因为x＞1，也就是m＜对任意x＞1恒成立．令h（x）=，则h′（x）=，令φ（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则φ′（x）=1﹣=＞0，所以函数φ（x）在（1，+∞）上单调递增．因为φ（3）=1﹣ln3＜0，φ（4）=2﹣2ln2＞0，所以方程φ（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．当1＜x＜x0时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，当x＞x0时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，所以函数h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．所以[h（x）]min=h（x0）==x0∈（3，4）．所以m＜[g（x）]min=x0，因为x0∈（3，4），故整数m的最大值是3，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，包括2个红球，2个黑球和1个白球，从中随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】用列举法确定基本事件的情况，由对立事件的概率计算公式得答案．【解答】解：令红球、黑球、白球分别为A，B，a，b，1，则从袋中任取两球有（A，B），（A，a），（A，b），（A，1），（B，a），（B，b），（B，1），（a，b），（a，1），（b，1），共10种取法，其中两球颜色相同有（a，b），（A，B），共2种取法，由古典概型及对立事件的概率公式可得P=1﹣=．故答案为：．14．已知实数x，y满足，则2x﹣2y+1的最大值是7 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：实数x，y满足，作图：易知可行域为一个三角形，平移2x﹣2y+1=0，可知，当直线经过A时，目标函数取得最大值，由解得A（2，﹣1）时，2x﹣2y+1取得最大值7，故答案为：7．15．已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，点A（0，m），m＞0，射线FA于抛物线C交于点M，与其准线交于点N，若|MN|=2|FM|，则m= 3 ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据|PN|=2|PM|，tan∠NMP=﹣k=2，从而得到AF的斜率k=2．然后求解m的值．【解答】解：∵抛物线C：y2=6x的焦点为F（，0），点A坐标为（0，m），∴抛物线的准线方程为l：x=﹣，射线FA于抛物线C交于点M，与其准线交于点N，若|MN|=2|FM|，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，∵Rt△MPN中，tan∠NMP=﹣k=2，直线AF的斜率为k=﹣2，∴直线AF为：y=﹣2（x﹣），x=0时，m=3．故答案为：3．16．在数列{a n}中，a1=1，（n2+n）（a n+1﹣a n）=2，则a20= ．【考点】8H：数列递推式．【分析】把给出的数列递推式变形裂项，累加后结合a1=1求得a20的值．【解答】解：由a1=1，（n2+n）（a n+1﹣a n）=2，得a n+1﹣a n=an+1﹣an=．则a2﹣a1=2（1﹣）．a3﹣a2=2（﹣）．a4﹣a3=2（﹣）．…a20﹣a19=．累加得：a20﹣a1=2（1﹣）．∵a1=1，a20=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB=2c﹣b．（1）求cos（A+）的值；（2）若∠B=，D在BC边上，且满足BD=2DC，AD=，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据余弦定理表示出cosB，再根据条件可得b2+c2﹣a2=bc，再利用夹角公式级即可求出A，再根据两角和的余弦公式即可求出，（2）不妨设DC=x，则BD=2x，BC=AC=3x，根据正弦定理和余弦定理即可求出x，再根据三角形的面积公式计算即可【解答】解：（1）∵cosB=，2acosB=2c﹣b．∴2a•=2c﹣b，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∵0＜A＜π，∴A=，∴cos（A+）=cos（+）=cos cos﹣sin sin=；（2）∵B=，A=，∴AC=BC，C=∵BD=2DC，不妨设DC=x，则BD=2x，BC=AC=3x，由正弦定理可得=，∴AB==3x，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cosB，即13=27x2+4x2﹣2×3x•2x•，解得x=1，∴BC=AC=3，∴S△ABC=×AC•BC•sinC=×3×3×=．18．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且有PB=PD，PA⊥BD．（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）若∠DAB=∠PDB=60°，AD=2，PA=3，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，由PB=PD，得PO⊥BD，再由已知PA⊥BD，利用线面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，进一步得到平面PAC⊥平面ABCD；（2）由（1）知，平面PAC⊥平面ABCD，可得BD⊥AC，则AB=AD，得到四边形ABCD 为菱形，然后求解三角形可得△POA的面积，再由等积法求得四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，∵底面ABCD是平行四边形，∴O为BD的中点，又PB=PD，∴PO⊥BD，又PA⊥BD，PA∩PO=P，∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD；（2）解：由（1）知，平面PAC⊥平面ABCD，∴BD⊥AC，又O为BD的中点，∴AB=AD，则四边形ABCD为菱形，∵∠BAD=60°，∴△BAD为正三角形，又AD=2，∴AO=，OD=1，在Rt△POD中，由∠PDO=60°，OD=1，可得PD=2，PO=，在△POA中，∵AO=PO=，PA=3，可得PA边上的高为．∴，则．∴=．19．某公司要推出一种新产品，分6个相等时长的时段进行试销，并对卖出的产品进行跟踪以及收集顾客的评价情况（包括产品评价和服务评价），在试销阶段共卖出了480件，通过对所卖出产品的评价情况和销量情况进行统计，一方面发现对该产品的好评率为，对服务的好评率为0.75，对产品和服务两项都没有好评有30件，另一方面发现销量和单价有一定的线性相关关系，具体数据如下表：时段123456单价x（元）800820840860880900销量y（件）908483807568（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为产品好评和服务好评有关？（2）该产品的成本是500元/件，预计在今后的销售中，销量和单价仍然服从这样的线性相关关系（=x+），该公司如果想获得最大利润，此产品的定价应为多少元？（参考公式：线性回归方程=x+中系数计算公式分别为：=，=﹣；K2=，其中n=a+b+c+d）（参考数据P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 x i y i=406600，x i2=4342000）【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）由题意得到2×2列联表，由公式求出K2的观测值，对比参考表格得结论；（2）求出样本的中心点坐标，计算回归方程的系数，写出利润函数w的解析式，求出w（x）的最大值以及对应的x的值．【解答】解：（1）由题意可得产品好评和服务好评的2×2列联表：服务好评服务没有好评总计产品好评31090400产品没有好评503080总计360120480其中a=310，b=90，c=50，d=30，ad﹣bc=4800，代入K2=，得K2=8＜10.828．∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为产品好评和服务好评有关；（2）设获得的利润为w元，根据计算可得，=850，，代入入回归方程得，．∴w=（﹣0.2x+250）（x﹣500）=﹣0.2x2+350x﹣125000．此函数图象为开口向下，对称轴方程为x=875，∴当x=875时，w（x）取的最大值．即该公司如果想获得最大利润，此产品的定价应为875元．20．过椭圆C：+y2=1的右焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，M是AB的中点．（1）求动点M的轨迹方程；（2）过点M且与直线l垂直的直线和坐标轴分别交于D，E两点，记△MDF的面积为S1，△ODE的面积为S2，试问：是否存在直线l，使得S1=S2？请说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；J3：轨迹方程．【分析】（1）：（1）设点M的坐标为（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2）；过椭圆C：+y2=1的右焦点F（1，0）的直线l为：y=k（x﹣1），联立，消去y，整理得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣1=0，求出动点M 坐标，消去参数k，即可得到动点M 的轨迹方程（2）假设存在直线AB，使得S1=S2，确定G，D的坐标，利用△GFD∽△OED，即可得到结论．【解答】解：（1）设点M的坐标为（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2）；过椭圆C：+y2=1的右焦点F（1，0）的直线l为：y=k（x﹣1），联立，消去y，整理得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣1=0，∴x1+x2=，x1x2=；∴x==，y=k（x﹣1）=k（﹣1）=；∴=﹣2k，∴k=；代入l的方程，得y=（x﹣1），化简得x2﹣x+2y2=0，整理得4+8y2=1；∴点M的轨迹方程为4+8y2=1；（2）假设存在直线AB，使得S1=S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直．由（1）可得M（，），设D（m，0）因为DG⊥AB，所以k MD×k=﹣1，即⇒m=∵Rt△MDF和Rt△ODE相似，∴若S1=S2，则|MD|=|OD|=（⇒4k4+3k2+1=0因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得S1=S221．已知函数f（x）=，g（x）=﹣x2+ax+1．（1）求函数y=f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最大值；（2）若函数y=x2f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导数，再分类讨论，确定函数在区间上的单调性，即可求得函数的最小值；（2）函数由两个不同的极值点转化为导函数等于0的方程有两个不同的实数根，进而转化为图象的交点问题，由此可得结论．【解答】解：（1）由f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＞e，故f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，①t+2＜e即0＜t＜e﹣2时，f（x）在[t，t+2]递增，f（x）max=f（t+2）=，②t≥e时，f（x）在[t，t+2]递减，f（x）max=f（t）=，③t＜e＜t+2时，f（x）在[t，e）递增，在（e，t+2]递减，f（x）max=f（e）=；故f（x）max=；（2）y=x2f（x）+g（x）=xlnx﹣x2+ax﹣1，则y′=lnx﹣2x+1+a，题意即为y′=lnx﹣2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），即a=﹣lnx+2x﹣1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），等价于直线y=a与函数G（x）=﹣lnx+2x﹣1的图象有两个不同的交点∵G′（x）=﹣+2，∴G（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，画出函数图象的大致形状（如右图），由图象知，当a＞G（x）min=G（））=ln2时，x1，x2存在，且x2﹣x1的值随着a的增大而增大，而当x2﹣x1=ln2时，由题意，两式相减可得ln =2（x1﹣x2）=﹣ln2，∴x2=2x1代入上述方程可得x2=2x1=ln2，此时a=ln2﹣ln（）﹣1，所以，实数a的取值范围为a＞ln2﹣ln（）﹣1．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xoy中，过M（2，1）的直线l的倾斜角为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ+）．（1）求直线l的参数方程与圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A，B两点，求+的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用过M（2，1）的直线l的倾斜角为，求直线l的参数方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的转化方法，求出圆C的直角坐标方程；（2）参数方程为（t为参数）代入x2+y2﹣4x﹣4y=0，整理可得，利用参数的几何意义，求+的值．【解答】解：（1）过M（2，1）的直线l的倾斜角为，参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ+），即ρ=4sinθ+4cosθ∴两边都乘以ρ，得ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ可得圆C的普通方程是：x2+y2=4x+4y，即x2+y2﹣4x﹣4y=0；（2）参数方程为（t为参数）代入x2+y2﹣4x﹣4y=0，整理可得设A、B对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=，t1t2=﹣7，∴+===，五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．（1）解不等式f（x）＜2；（2）求直线y=3与f（x）的图象所围成的封闭图形的面积．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，解不等式f（x）＜2；（2）直线y=3与f（x）的图象所围成的封闭图形是三角形，即可求出其面积．【解答】解：（1）①当x＜﹣1时，不等式f（x）＜2即1﹣2x+（﹣x﹣1）＜2，∴x ＞﹣，∴此时无解；②当﹣1≤x＜时，不等式即1﹣2x+x+1＜2，∴x＞0，∴此时0＜x＜；③当x≥时，原不等式即2x﹣1+x+1＜2，∴x＜，∴此时≤x＜，∴综上，原不等式解集为{x|0＜x＜}；（2）直线y=3与f（x）的图象所围成的封闭图形，如图所示y=3时，x=﹣1或1，x=，y=，∴所求面积为=．。