.《函数的概念》的教学设计浙江省义乌市第三中学陈向阳【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（ A 版）》的第一章 1.2.1 函数的概念。

函数是中学数学中最重要的基本概念之一，它贯穿在中学代数的始终，从初一字母表示数开始引进了变量，使数学从静止的数的计算变成量的变化，而且变量之间也是相互联系、相互依存、相互制约的，变量间的这种依存性就引出了函数。

在初中已初步探讨了函数概念、函数关系的表示法以及函数图象的绘制。

到了高一再次学习函数，是对函数概念的再认识，是利用集合与对应的思想来理解函数的定义，从而加深对函数概念的理解。

函数与数学中的其他知识紧密联系，与方程、不等式等知识都互相关联、互相转化。

函数的学习也是今后继续研究数学的基础。

在中学不仅学习函数的概念、性质、图象等知识，尤为重要的是函数的思想要更广泛地渗透到数学研究的全过程。

函数是中学数学的主体内容，起着承上启下的作用。

函数又是初等数学和高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系。

因此对函数概念的再认识，既有着不可替代的重要位置，又有着重要的现实意义。

本节的内容较多，分二课时。

本课时的内容为：函数的概念、函数的三要素、简单函数的定义域及值域的求法、区间表示等。

（第二课时内容为：函数概念的复习、较复杂函数的定义域及值域的求法、分段函数、函数图象等）【学情分析】学生在学习本节内容之前，已经在初中学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系。

然而，函数概念本身的表述较为抽象，学生对于动态与静态的认识尚为薄弱，对函数概念的本质缺乏一定的认识，对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难度。

初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质。

例如，对于函数1, 当 x是有理数时f ( x)如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强。

但0, 当x是无理数时如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然。

因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概念的再认识，就很有必要。

由于数学符号的抽象性，学生因此会望而却步，从而影响了学生学习数学的积极性。

高一学生虽然在初中已接触了函数的概念，但在重新学习它时还是存在一定的障碍，其中一个原因就是对新引进的函数符号“y=f(x) ”不甚其解。

教师应在教学中有意识地挖掘函数符号的审美因素，以美启真。

在本节课的教学过程中，教师应该给学生提供实践动手的机会，为学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察、计算、思考，从而理解问题的本质，归纳总结出结论。

【学法指导】本节内容的学习要注意运动变化观和集合对应观两个观念下函数定义的对比研究；注意借助熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数加深对函数这一抽象概念的理解；要重视符号f(x) 的学习，借助具体函数来理解符号y=f(x) 的含义，由具体到抽象，克服由抽象的数学符号带来的理解困难，从而提高理解和运用数学符号的能力。

【教学目标】知识目标——通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素及函数符号的深刻含义；会求一些简单函数的定义域及值域。

能力目标——培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽象、归纳概括的逻辑思维能力；培养学生联系、对应、转化的辩证思想；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想。

情感目标——渗透数学思想和文化，激发学生观察、分析、探求的兴趣和热情；强化学生参与意识，培养学生严谨的学习态度，获得积极的情感体验；体会在探究过程中由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点；感受数学的简洁美、对称美、数与形的和谐统一美；树立“数学源于实践，又服务于实践”的数学应用意识。

【教学重点】函数的概念及 y=f(x) 的理解与深化。

【教学难点】函数的概念及函数符号f(x) 的理解。

【教学关键】在集合与对应的基础上理解函数的概念。

【教学方法】以建构主义理论为指导，辅以多媒体手段，采用着重于学生探索研究的启发式教学为主，变式教学为辅，及引导、探究、讲解、演练相结合。

在教学过程中，多一点情境和归纳，多一点探索和发现，多一点思考和回顾。

通过不同形式的自主学习、探究活动，丰富和改善教与学的方式，体验数学发现和创造的历程，发展创新意识和实践能力。

在课堂结构上，设计“创设情境——引入课题；引导探求——形成知识；变式训练——巩固知识；讨论研究——深化知识；总结反思——提高认识；任务后延——自主探究” 这样几个主要环节，环环相扣，层层深入，以期达到教学目标。

设计思想设计设计意图师生活动环节以实际问题为背景，以学教师提出问题 1：一、生熟悉的情境入手激活学生我们在初中学习过函数的概念，它是如何定义的呢？创设的原有知识，形成学生的“再在初中已经学过哪些函数？（在学生回答的基础上出问题创造”欲望，让学生在熟悉的示投影）情境环境中发现新知识，使新知识我们已经学习了一些具体的函数，那么为什么还要学，引出和原知识形成联系，同时也体习函数呢？先请同学们思考下面的两个问题：课题现了数学的应用价值。

通过问问题 2：由上述定义你能判断“y=1 ”是否表示一个函。

题 2 这两个用已有概念不太x 2表示同一个函数吗？数？函数 y=x 与函数y容易回答的问题，引发学生的x学生思考、讨论后，教师点拨：仅用上述函数概念很认知冲突，有着承上启下的作难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概用。

既是对初中已学的函数概念。

这就是今天我们要学习的课题：函数的概念（板念的进一步深入，又是为下一书）步用集合语言来刻画函数的本质做好伏笔。

二、以实际问题为载体，以信师：（实例 1）演示动画，用《几何画板》动态地显示息技术的作图功能为辅助。

在炮弹高度 h 关于炮弹发射时间t 的函数。

启发学生观借助三个实例的教学中，重点在于察、思考、讨论，尝试用集合与对应的语言描述变量信息引导学生体会函数概念中的之间的依赖关系：在 t 的变化范围内，任给一个t，按技术对应关系。

通过实例 1，体会照给定的解析式，都有唯一的一个高度h 与之相对应。

，讨论用解析式刻画变量之间的对生：用计算器计算，然后用集合与对应的语言描述变归纳应关系，关注t 和 h 的范围；量之间的依赖关系。

通过实例 2 体会用图象刻画师：（实例 2）引导学生看图，并启发：在t 的变化范变量之间的对应关系，关注t 围内，任给一个 t，按照给定的图象，都有唯一的一个和 S 的范围；通过实例 3 体臭氧空洞面积 S 与之相对应。

会用表格刻画变量之间的对生：动手测量，然后用集合与对应的语言描述变量之应关系。

间的依赖关系。

为了更好地使学生尝试师生：（实例 3）共同读表，然后用集合与对应的语言用集合与对应的语言进行描描述变量之间的依赖关系。

述，可以利用信息技术设置教问题3：分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同学情境。

通过学生的观察、思特点？考、讨论来归纳结论，体现了生：分组讨论三个实例的共同特点，然后归纳出函数学生自主探究的学习方式。

让定义，并在全班交流。

他们通过实践来进一步体验师生：由学生概括，教师补充，引导学生归纳出三个到在集合对应观下的函数内实例中变量之间的关系均可描述为：涵，也为学生应用信息技术解对于数集 A 中的每一个x，按照某种对应关系 f ，在数决数学问题提供了一种新的集 B 中都有唯一确定的y 与它对应，记作f:A →B途径和方法。

三、从特殊到一般，引出函数概念。

从特殊到一般，揭示数学通常的发现过程，给学生“数学创造” 的体验。

这种引出概念的方式自然而又易于学生接受和形成概念。

注重双语，规范数学概念的理解。

在涉及的每一个数学概念其后注明英语，有利于教师实施双语教学，也有利于教师和学生阅读外文数学材料，这也是体现新课标实验教材的创新之处。

函数y=f(x) 是学生学习的难点，这是一个抽象的数学符号。

教学时首先要强调符号“y=f(x) ”为“ y 是 x 的函数”这句话的数学表示，它仅仅是数学符号，而不是表示“ y 等于f 与 x 的乘积”。

在有些问题中，对应关系 f 可用一个解析式表示，但在不少问题中，对应关系 f 不便用或不可能用解析式表示，而用其他方式（如图象、列表）来表示。

所以教师应向学生明确指出，y=f(x) 不一定就是解析式，函数的表示方式除了解析式外，还有其它表示方法，如实例 2 的图象法，实例 3 的列表法。

问题 4：函数能否看做是两个集合之间的一种对应呢？如果能，怎样给函数重新下一个定义呢？（在学生回答的基础上教师归纳总结）设 A 、 B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在数集 B中都有唯一确定的f(x) 和它对应，那么就称f:A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（function ） . 记作y=f(x) ． x∈ A ．自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域（ domain）；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）．在函数概念得出后，教师强调指出“ y=f(x) ”仅仅是数学符号。

为了更好地理解函数符号y=f(x) 的含义，教师提出下一个问题：问题 5： y=f(x) 一定就是函数的解析式吗？师生：函数的解析式、图象、表格都是表示函数的方法。

补充练习：下列图象中不能作为函数y f (x) 的图象的是（）y y y y2 2 2 2o xo x o x ox2 2 2 2（A）（B）（C）（D）启发并引导学生思考、讨论、交流，教师归纳总结出函数的要点：1．函数是一种特殊的对应——非空数集到非空数集的对应；2．函数的核心是对应法则，通常用记号 f 表示函数的对应法则，在不同的函数中， f 的具体含义不一样。

函数记号 y=f(x) 表明，对于定义域 A 的任意一个 x 在“对.四、借助熟悉函数平台，加深对函数概念的理解。

五、再创情境，引导探究设置问题 6 这个情境，目的是用函数的定义去解释学过的一次函数、反比例函数、二次函数，使得对函数的描述性定义上升到集合与对应语言刻画的定义。

同时利用信息技术工具画出函数的图象，是让学生进一步体会“数”与“形”结合在理解函数中的作用，更好地帮助理解上述函数的三个要素，从而加强学生对函数概念的理解，进一步挖掘函数概念中集合与函数的联系。

明确定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体，以此更好地培养学生深层次思考问题的习惯。

问题 8 利用学生思维的空白处设置问题，能引起学生探究的欲望，从而自然引出以形求数的思想。

接着，通过“引导”，给学生解决后续问题的方法，即观察图象的方法。