函数的概念及其表示
【知识点分析及例题】 一、函数的概念
1、函数的定义
一般地：设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称
():f x A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：(),y f x x A =∈.
注意：函数概念中的关键词
(1) A ，B 是非空数集.若求得自变量取值范围为∅，则此函数不存在． (2)任意的x ∈A ，存在唯一的y ∈B 与之对应. 2. 函数的定义域、值域
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域.
3. 函数的三要素：定义域、值域和对应法则. 注：常见定义域的取值范围
（Ⅰ）关系式为整式或齐次根式时，函数定义域的取值范围为全体实数； （Ⅱ）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （Ⅲ）关系式含有偶次根式时，被开方数大于等于零；
（Ⅳ）关系式中含有零指数幂或负指数幂的式子时，底数不等于零；
（Ⅴ）实际问题中，函数定义域的取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义.
4. 相等函数
如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据.
5. 区间的概念
设,a b 是两个实数，而且a b <.我们规定：
（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b . （2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b . （3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[,)a b ，(,]a b .
这里的实数都叫做相应区间的端点.
实数R 可以用区间表示为(,)-∞+∞.“∞”读作“无穷大”， “-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们可以把满足x a ≥，x a >，x b ≤，x b <，的实数x 的集合分别表示为[,)a +∞，(,)a +∞，(,]b -∞，(,)b -∞.
二、函数的表示
1、函数的表示法
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法.
（2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法.
（3）图像法: 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.
用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线).
2、求函数的解析式的方法
（1）待定系数法: 适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等.
（2）换元法: 适用于已知(())
f g x的解析式,求()
f x.
（3）消元法: 适用于同时含有()
f x和
1
()
f
x
，或()
f x和()
f x
.
3、分段函数
当自变量x在不同的取值区间(范围)内取值时，函数的对应法则也不同的函数为分段函数．
注意：分段函数是一个函数，不是几个函数，只是在定义域的不同范围上取值时对应法则不同，分段函数是普遍存在又比较重要的一种函数．
4、映射的概念
设A ，B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则 ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素()f x 与之对应，那么就称对应
():f x A B →为从集合A 到集合B 的一个映射。

注意：由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A 、B 必须是非空数集. 【例题】
类型一：函数与映射概念考查
例1、判断下列图象能表示函数图象的是（ ）
例2
、 判断以下是否是函数：
（2）542-=x y ；（3）x y ±=；（4）x x y -+-=23；（5）922=+y x
例3、下列是映射的是（ ）
图1 图2 图3 图4 图5
(A)图1、2、3 (B)图1、2、5 (C)图1、3、5 (D)图1、2、3、 类型二：相等函数
例4、下列各对函数中，是相等函数的序号是________．
①f (x )＝x ＋1与g (x )＝x ＋x 0 ②f (x )＝(2x ＋1)2
与g (x )＝|2x ＋1| ③f (n )＝2n ＋1(n ∈Z)与g (n )＝2n －1(n ∈Z) ④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2 类型三：求函数定义域
例5、求下列函数的定义域
①2
3
-+
=x x y ； ②1-=x x y ； ③12--=x x y ； ④1321)(-⋅-=x x x f ；
(A)
⑤0)3(2
1
)(-+-=x x x f ； ⑥2)(2-+=x x x f .
例6
、已知函数1()2
f x x =+. (1)求函数的定义域. （2）求(3)f -,(6)f 的值.
(3）当0a >时，求()f a ,(1)f a -的值.
类型四：求函数值域
例7、求下列函数的值域.
（1
）1y =（观察法） （2）246,[1,5]y x x x =-+∈（配方法）
（分离常数法） （4
）y x =+
类型五：抽象函数的定义域
1、已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

3
x
y x =
-
2、已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域
方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

3、已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由
()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。

4、已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例8、已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．
例9、函数
定义域是
，则
的定义域是（ ）
A. B. C. D.
例10、若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．
类型六：求函数解析式
例11、（1）已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式；
（2）已知f (x )满足x x
f x f =+)1
(2)(，求)(x f .
（3）已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．
例12、已知f (x )是－次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )，
f (x ＋1)的解析式．
类型七：分段函数问题
例12、已知函数22,1(),122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
（1）求1
(3),(),(5)2
f f f -的值.（2）若()3f x =，求x 的值.
例13、已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧
x ＋2 x ≤0
－x ＋2 x >0，不等式f (x )≥x 2的解集为( )
A ．[－1,1]
B ．[－2,2]
C ．[－2,1]
D ．[－1,2]
例14、如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿折线BCDA 由点
B(起点)向点A(终点)运动，设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y.
(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f(x)；(2)画出y ＝f(x)的图象；(3)若△APB 的面积不小于2，求x 的取值范围．。