一、二项分布的背景以及概率计算的简单介绍。

例：用淋菌培养方法，检查患者是否患有淋病。

该检查方法没有假阳性，只有假阴性。

对于淋病患者，若用该方法检查一次的检出率为0.8，问：1)重复检查3次，检查结果均为阴性的概率是多少？P=(1-0.8)3=0.0082)重复检查3次，检查结果中最少是阳性的概率是多少？P＝1-(1-0.8)3=0.9924) 检查4个患者，每人检查一次，第一个患者和第二个患者为阳性且其他均为阴性的概率是多少？P=0.820.22=0.02565) 检查4个患者，每人检查一次，其中二个患者为阳性且其他均为阴性的概率是多少？其中2C为4个患者中有2个阳性的各种不同情况总数。

4在医学上，经常需要研究或观察这样一类现象：其结果只有两种可能：如：抢救急性心肌梗塞患者，其结果可分为：抢救成功或失败如：检查幽门螺杆菌(HP)：＋或－。

上述类似研究中，我们把观察或治疗一个研究对象统称为一次试验(在上例中，把检查一个患者是否阳性视为一次试验)。

如果研究背景满足下列条件：1)每次试验的可能结果(Outcome)仅为两种(视为成功或失败，在上例中阳性或阴性)。

2)定义试验中其中一个可能的结果成功，另一种可能的结果为失败(在上例中把检查结果为阳性可视为成功，检查结果为阴性为失败)。

3)每次试验的条件相同。

每次试验成功的概率为π，失败的概率为π-1(在上例中把检出阳性的概率为π＝0.8，检查阴性的概率为π-1=0.2)。

3)试验次数为n(上例中n=4)。

则在n 次试验中，有X 次成功的概率(在上例中，4个患者检查，即：n=4;有x 个患者为阳性的)为X n X X n Xx n)1()!x n (!x !n )1(C )x (P --π-π-=π-π=。

n ,,2,1,0x =。

并记为X ～B(n,π)例：英语测试时，每道题有4个答案选择，随机选择答案，每道题正确的概率为0.25，问(1)做8道题，正好有2道题正确的概率是多少？(2)做20道题，正好有5道题正确的概率是多少? 解：(1)n=8，π＝0.25，311462.075.025.0278)2X (P 62=⨯== (2)n=20，π=0.25，202331.075.025.0543211617181920)5X (P 155=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯== 二、二项分布的图形。

(见P190)三、服从二项分布的变量X 的均数和标准差。

变量X 所对应的总体均数为n π，总体的标准差为)1(n π-π。

四、平均发生率P 的均数和标准差。

对于统计研究中，往往需要了解发生率π。

由于π往往是未知的，通常计算平均发生率nXp =估计总体发生率π，平均发生率对应的总体均数为πμ＝p 以及标准误为n)1(p π-πσ＝。

对应的样本标准误为n)p 1(p S p -=。

例：某医院治疗了50个HP ＋的患者，35个患者转阴，请计算样本转阴率和样本标准误(把治疗一个HP ＋患者视为一次试验，治疗50个患者，视为50次试验，把患者通过治疗后转阴的结果视为试验成功)。

解：转阴率7.05035P ==, 转阴率的标准误0648.050)7.01(7.0S p =-=。

五、大样本时，二项分布的总体发生率π的95%可信区间计算。

性质：设X 服从二项分布B(n,π)，n π>5以及n(1-π)>5，当n 充分大时，则π≈P 且P 近似服从正态分布，因此p s n)P 1(P n )1(=-≈π-π=σπ则π的95％可信区间(95%CI)为p 1.96S P ± 即： π的95%CI 为)1.96S P ,1.96S (P P P +-例：调查了1000名男性，检查出10名男性是色盲的，试求色盲患病率的95％可信区间。

解：色盲样本患病率01.0100010P ==，n=1000。

因此nP 与n(1-P)均大于5以及n 也充分大，003146.01000)01.01(01.0=-⨯=P S ，所以95％CI 为：(0.01-196×0.003146，0.01+1.96×0.003146)=(0.003834，0.016166)。

六、样本量较小时，计算比较复杂，因此建议查本书附表7(百分率的可信区间)例：治疗25个HP ＋患者，12个患者转阴，求转阴率的95％可信区间:解：n=25，X ＝12，查附表7，95%CI=(0.28，0.69)例：某医院抢救20个AMI 患者，14个抢救成功，求抢救成功率的95%CI 。

解：由于X 仅列出n/2的可信区间，不能直接查表求95％CI 。

本例n=20，6个抢救未成功，故可查未成功率1-π的95%CI 为： 0.12<1-π<0.54，因此-0.12>π-1>-0.54，所以0.88=1-0.12>π>1-0.54=0.46，即：95％CI 为(0.46，0.88)。

七、二项分布的正态近似问题。

大样本时 样本发生率XP n=近似服从正态分布(5>πn 且5)1(>π-n ，且n>40)。

X Z π-==近似服从标准正态分布N(0,1) 其中样本发生率nXP =。

例：用传统的治疗方案治疗HP ＋患者的治愈率为0.8。

某研究用一种新的治疗方案治疗了100个HP ＋患者，治愈了90个，问：用新的治疗方案的治愈率是否高于传统的治疗方案？ 解：用新的治疗方案的样本治愈率9.010090==P H 0：新的治疗方案的总体治愈率8.0=π vs H 1:8.0≠π5808.0100>=⨯=πn 且5202.0100)1(>=⨯=π-n 且n=100>40，故可用正态分布进行近似。

5.204.01.01002.08.08.09.01002.08.08.0==⨯-=⨯-=P U ，对于05.0=α，U 0.025=1.96U> U 0.025，差别有统计意义，P<0.05。

结论：新的治疗方案的治愈率高于传统治疗方案的治愈率，差别有统计意义，P<0.05。

八、小样本时，样本率P 与总体率π的比较。

直接计算：例：根据以往经验，一般的溃疡病患者的人群HP ＋的患病率为30%。

某医院在某社区随机检查了10名25岁以下的溃疡病患者，有1个溃疡病患者的HP ＋。

问：该地溃疡病患者的HP ＋率是否为30％？解：n=10，用X 表示10个中有HP ＋的患者个数。

则X 服从二项分布。

若π0＝0.30为真，则X 的总体均数n π0=10×0.3=3。

H 0：π=0.3 vs H 1:π≠0.3。

样本值X 0=1，若H 0：π=0.30 为真，则对应的概率为121061.0)7.0(3.0)1(9110===C X P 若X ＝1属于小概率事件，概率小于0.121061的事件均属于小概率事件，并属于拒绝域。

因此P 值＝所有那些概率1)P(X =≤的事件的概率之和。

由下列计算可知：那些概率1)P(X =≤的事件有X=0，10，9，8，7，6，5；反之那些概率1)P(X =>的事件有X=2，3，4。

因此P 值=P 0+P 1+P 10+P 9+P 8+P 7+P 6+P 5=0.028248+0.121061+0.00000595+0.000138+0.001447+0.009002+0.036757+0.102919=0.299578也可以这样计算：P 值=1-(那些概率1)P(X =>的事件的概率) =1-(P 2+P 3+P 4)=1-0.233474-0.266827-0.200121=0.299578 九、两个样本率比较的U 检验问题。

当n 1p 1>5、n 1(1-p 1)>5、n 2p 2>5且n 2(1-p 2)>5，n 1和n 2较大时，可以应用U 检验。

)n 1n 1)(p 1(p p p u 21c c 21+--=其中p c 为合并阳性率，即：2121c n n X X p ++=若n 1p 1>5、n 1(1-p 1)>5、n 2p 2>5且n 2(1-p 2)>5，但n 1和n 2不是足够大时，用校正公式：)n 1n 1)(p 1(p 2/)n /1n /1(|p p |u 21c c 2121+-+--=例：现有二种治疗方案治疗高血脂症：用A 方案治疗120个高血脂患者，其中30个患者治疗有效；用B 方案治疗110个高血脂患者，其中45个患者治疗有效。

问这两种治疗方案何种更好？ 解：H 0:π1=π2 vs H 1:π1≠π225.04030p ,120n 11===，409.011045p ,110n 22===,326.01101204530p c =++= 因为n 1p 1>5、n 1(1-p 1)>5、n 2p 2>5且n 2(1-p 2)>5，且n 1和n 2也较大，故用u 检验：57.211011201674.0326.0|409.025.0|u =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=，查附表2：t 检验表(v=∞)，U 0.05=1.96，p<0.05故可以认为B 方案的治疗有效率显著地高于A 方案的治疗有效率。

十、Poisson 分布的背景及其简单计算。

在医学上研究中，经常需要研究某一事件在一定的时间内发生的次数。

如：24小时内发生早搏的次数；如：哮喘病患者在一年中发病的次数。

在医院管理中，要考虑前来门诊的患者个数(把有一个患者前来门诊视为一个事件发生)。

又如：无菌的水放在露天10分钟，细菌落到水里的个数等一些个体计数资料。

这些现象可以用Poisson 分布的变量进行描述。

变量X 表示某一个事件在固定的一段时间内随机发生的次数。

如果X 的总体平均发生次数为λ，则该事件发生k 次的概率为：λ-λ==e !k )k X (P k ，x=0，1，2，3…。

例：某市平均交通事故3起/天。

问：一天内发生2起或2起以下的交通事故的概率是多少？解：总体均数λ＝3，因此一天内发生2起或2起以下的交通事故的概率为4232.0e !23e3e)2X (P )1X (P )0X (P )2X (P 3233=++==+=+==≤--- 十一、Poisson 分布的图形(见p199)十二、Poisson 分布的总体均数和方差。

可以证明：Poisson 分布的总体均数为λ＝总体方差.十三、Poisson 分布的可加性(再生性)。

如果变量X 服从总体均数为λ1的Poisson 分布，变量Y 服从总体均数为λ2的Poisson 分布，且X 与Y 独立，则X ＋Y 服从总体均数为λ1＋λ2的Poisson 分布 十四、二项分布与Poisson 分布的关系:当二项分布资料中n 较大时，而且发生的次数非常稀少时(发生率π很小)，二项分布的概率计算可以用Poisson 分布公式近似。