《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第十一章 计数原理、随机变量及分布列第4课时 离散型随机变量及分布列、1. (选修23P 52习题1改编)下列问题属于超几何分布的有________．(填序号) ① 抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X ，求X 的概率分布列； ② 有一批种子的发芽率为70%，现任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X ，求X 的概率分布列；③ 一盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，现任取3只球，把不是红色的球的个数记为X ，求X 的概率分布列；④ 某班级有男生25人，女生20人，现选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X ，求X 的概率分布列．答案：③④解析：注意超几何分布的特征，其中涉及三个参量，①、②属于独立重复试验问题．2. (选修23P 47例题3改编)设随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝k15(k ＝1，2，3，4，5)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X<52＝________. 答案：15解析：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X<52＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＝115＋215＝15. 3. (选修23P 52习题4改编)口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1.若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________．答案：1363解析：数字之和小于2或大于3的对立事件为数字之和为2或者3，发生的概率为2·C 25C 35C 510，所以数字之和小于2或大于3的概率为1－2·C 25C 35C 510＝1363.4. (选修23P 51练习2改编)设50件商品中有15件一等品，其余为二等品．现从中随机选购2件，则所购2件商品中恰有一件一等品的概率为________．答案：37解析：N ＝50，M ＝15，n ＝2，r ＝1，P(X ＝1)＝H(1，2，15，50)＝C 115C 135C 250＝37.5. (选修23P 50例1改编)某班级有男生12人、女生10人，现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委，则至少两名男生当选的概率为________．答案：103133解析：把选出的4人中男生的人数记为X ，显然随机变量X 满足超几何分布，所求事件的概率可以表示为P(X≥2)．有P(X≥2)＝P(X ＝2)＋P(X ＝3)＋P(X ＝4)＝C 212C 210C 422＋C 312C 110C 422＋C 412C 010C 422＝103133.1. 离散型随机变量的分布列(1) 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．(2) 设离散型随机变量X 可能取的值为x 1，x 2，…x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n)的概率P(X ＝x i )＝p i ，则称表为随机变量X 的概率分布，具有性质： ①p i ≥0，i ＝1，2，…，n ； ②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 2. 如果随机变量X 的分布列为其中0<p<1，q ＝1－p ，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的01分布(或两点分布)． 3. 超几何分布列在含有M 件次品数的N 件产品中，任取n 件，其中含有X 件次品数，则事件{X ＝r}发生的概率为P(X ＝r)＝C rM ·C n －rN －MC nN(r ＝0，1，2，…，l)，其中l ＝min{n ，M}，且n≤N，M ≤N ，n 、M 、N∈N，称分布列为超几何分布列．记为X ～H(n ，M ，N)，并将P(X ＝r)＝C r M ·C n －rN －MC nN记为H(r ；n ，M ，N)．[备课札记]题型1 离散型随机变量的概率分布例1 随机地将编号为1，2，3的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子放入一个小球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做“放对球”，否则叫做“放错球”，设放对球的个数为ξ.求ξ的分布列．解：ξ的分布列为变式训练在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取三个不同的数字．将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设ξ为三个数字中相邻自然数的组数(例如：若取出的三个数字为0，1，2，则相邻的组为0，1和1，2，此时ξ的值是2)，求随机变量ξ的分布列．解：随机变量ξ的取值为0、1、2，ξ的分布列为题型2 超几何分布例2 已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2只正品，每次取一个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X 为取出的次数，求X 的概率分布列．解：P(X ＝2)＝810·79＝2845，P(X ＝3)＝810·29·78＋210·89·78＝1445，P(X ＝4)＝1－P(X ＝2)－P(X ＝3)＝115，所以X 的概率分布列如下表一盒中有9个正品和3个次品零件，每次取一个零件，如果取出的是次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布，并求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤X≤52.解：易知X 的可能取值为0、1、2、3这四个数字，而X ＝k 表示，共取了k ＋1次零件，前k 次取得的都是次品，第k ＋1次才取得正品，其中k ＝0、1、2、3.故X 的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤X≤52＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＝944＋9220＝27110.题型3 实际问题例3 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．(1) 求取出的4个球均为黑球的概率；(2) 求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(3) 设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列． 解：(1) 设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A 、B 相互独立，且P(A)＝C 23C 24＝12，P(B)＝C 24C 26＝25.故取出的4个球均为黑球的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)＝12×25＝15.(2) 设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C 、D 互斥，且P(C)＝C 23C 24·C 12·C 14C 26＝415，P(D)＝C 13C 24·C 24C 26＝15.故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(C ＋D)＝P(C)＋P(D)＝415＋15＝715.(3) ξ可能的取值为0，1，2，3.由(1)，(2)得P(ξ＝0)＝15，P(ξ＝1)＝715，P(ξ＝3)＝C 13C 24·1C 26＝130.从而P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝310.ξ的分布列为备选变式（教师专享）黄山旅游公司为了体现尊师重教，在每年暑假期间对来黄山旅游的全国各地教师和学生，凭教师证和学生证实行购买门票优惠．某旅游公司组织有22名游客的旅游团到黄山旅游，其中有14名教师和8名学生．但是只有10名教师带了教师证，6名学生带了学生证．(1) 在该旅游团中随机采访3名游客，求恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人的概率；(2) 在该团中随机采访3名学生，设其中持有学生证的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列．解：(1) 记事件A 为“采访3名游客中，恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人”，则该事件分为两个事件A 1和A 2，A 1为“1名教师有教师证，1名学生有学生证”； A 2为“1名教师有教师证，0名学生有学生证”．P(A)＝P(A 1)＋P(A 2)＝C 110·C 16·C 16C 322＋C 110·C 26C 322＝1877＋15154＝51154， ∴ 在随机采访3人，恰有1人持有教师证且持有学生证者最多1人的概率为51154.(2) 由于8名学生中有6名学生有学生证，∴ ξ的可能取值为1，2，3 ， 则P(ξ＝1)＝C 16C 22C 38＝328，P(ξ＝2)＝C 26C 12C 38＝1528，P(ξ＝3)＝C 36C 38＝514，∴ ξ的分布列为1. (2012·广东理)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________．答案：19解析：两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，个位数为0的有5个，所以概率为545＝19.2. (2013·新课标Ⅱ)从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝________．答案：8解析：从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有：(1，4)，(2，3)共2种情况；从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为C 2n ，由古典概型概率计算公式，得从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为P ＝2C 2n .所以C 2n ＝28，即n （n －1）2＝28，解得n ＝8.3. (2013·江苏)现在某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．答案：2063解析：m 可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7共7个，n 可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个，所以总共有7×9＝63种可能，符合题意的m 可以取1，3，5，7共4个，符合题意的n 可以取1，3，5，7，9共5个，所以总共有4×5＝20种可能符合题意，所以符合题意的概率为2063.4. 如图，从A 1(1，0，0)、A 2(2，0，0)、B 1(0，1，0)、B 2(0，2，0)、C 1(0，0，1)、C 2(0，0，2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V ＝0)．(1) 求V ＝0的概率；(2) 求V 的分布列及数学期望E(V)．解：(1) 从6个点中随机选取3个点总共有C 36＝20种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有C 13C 34＝12种，因此V ＝0的概率为P(V ＝0)＝1220＝35.(2) V 的所有可能取值为0、16、13、23、43，因此V 的分布列为则V 的数学期望E(V)＝0×35＋16×120＋13×320＋23×320＋43×120＝940.1. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是______．答案：35解析：∵ 以1为首项，－3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，－27，…，其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，∴ 从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是610＝35.2. 在一次面试中，每位考生从4道题a 、b 、c 、d 中任抽两题做，假设每位考生抽到各题的可能性相等，且考生相互之间没有影响．(1) 若甲考生抽到a 、b 题，求乙考生与甲考生恰好有一题相同的概率； (2) 设某两位考生抽到的题中恰好有X 道相同，求随机变量X 的概率分布．解：(1) P ＝C 12·C 12C 24＝23.(2) X 的可能取值为0、1、2，P(X ＝0)＝C 24·C 22C 24·C 24＝16，P(X ＝2)＝C 24·1C 24·C 24＝16，P(X ＝1)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝2)＝23，所以随机变量X 的概率分布为3. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．(1) 求袋中原有白球的个数； (2) 求随机变量ξ的概率分布； (3) 求甲取到白球的概率．解：(1) 设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2n C 27＝n （n －1）27×62＝n （n －1）7×6，∴n(n －1)＝6，得n ＝3或n ＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球． (2) 由题意，ξ的可能取值为1、2、3、4、5. P(ξ＝1)＝37； P(ξ＝2)＝4×37×6＝27；P(ξ＝3)＝4×3×37×6×5＝635； P(ξ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P(ξ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以ξ的分布列为：(3) 因为甲先取，所以甲只有可能在第1次、第3次和第5次取球，记“甲取到白球”为事件A ，则P(A)＝P(“ξ＝1”，或“ξ＝3”，或“ξ＝5”)．∵事件“ξ＝1”，或“ξ＝3”，或“ξ＝5”两两互斥，∴P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝2235.4. 老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1) 抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2) 他能及格的概率．解：(1) 设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X ，则X 是一个随机变量，它可能的取值为0、1、2、3，且X 服从超几何分布，分布列如下：即(2) 该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝12＋16＝23≈0.667.超几何分布中的注意问题：(1) 超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、男女生选举问题上，这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的“合格”与“不合格”，球的“红色”与“非红色”，学生的“男生”与“女生”等．(2) 超几何分布问题涉及四个参数，学习中要多注意它们的特征和顺序．如产品问题中，H(r ；n ，M ，N)的意义是“超几何分布(取出产品中不合格品数；取出产品数，所有产品中不合格品数，所有产品数)”；再如取球问题中，H(r ；n ，M ，N)的意义是“超几何分布(取出球中红色球数；取出的球数，所有球中红色球数，所有球数)”．(3) 公式的记忆要联系组合数的意义，超几何分布问题中事件的意义，掌握公式中每个式子的意义，这样记起来就事半功倍了．请使用课时训练（B ）第4课时（见活页）.[备课札记]。