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上图是曼德布洛特集最常见的表现形式，它给我
们提供了一种理解周围世界的粗糙程度的方式。
这一以数学家贝努瓦· 曼德布洛特命名的理论观察
到，不管是在物理、生物和经济等各种领域中的
许多复杂现象，都可以“以严格而有力的定量形
式逼近。”
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2. 科赫曲线 给定线段AB，科赫曲线可以由以下步骤生成：
① 将线段分成三等份（AC,CD,DB）； ② 以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角 形DMC ；
③ 将线段CD移去；
④ 分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。
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3. 康托三分集合 取一条长度为1的直线段E0，将它三等分，去掉中间一 段，剩下两段记为E1，将剩下的两段再分别三等分，各 去掉中间一段，剩下更短的四段记为E2，……，将这样 的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃
|z2| 的等高线地图。
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f(z) = |z2|
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可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
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如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ， 那么整个图会怎样变化呢？
对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ， 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋 转）。
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我们用不同的颜色来表示不同大小的模，那么整个复平面 大致如下图所示。
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如果我们用 |z| 来表示复数 z 的模，那么上图也就
是函数 f(z) = |z| 的“等高线地图”。
复数的模有一个重要的性质：乘积的模等于模的
乘积，即 |a· = |a|· 。 b| |b|
我们对复平面上的所有点都进行平方，画出 f(z) =
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其数学表达为： 一个二维仿射变换ω ：R2→ R2
x a b x e y f y c d
a,b,c,d,e,f均为实数。 这是一种最广泛的线性变换。
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我们可以通过一系列的收缩仿射变换，使某 图形具备自相似性，从而得到分形结构。
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再寻找上图中的点的
平方根。
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然后迭代（平移→求平方根）
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然后再次平移
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这里发生了一个非常值得注意的现象：原点现在
跑到了灰色区域的外边。也就是说，这个点在若
干次迭代之后不能落入那个半径为 2 的圆盘里，
表明这个点的模最终将会发散。换句话说， 0 不
这给出了上图的另外一种解读方法：随着迭代次 数的增加，复平面上各个点的模的发散速度。
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有没有什么复数，随着迭代次数的增加，最终并
不会趋于无穷呢？当然有。比如方程 z2 + 0.3 = z
的两个复数解，它是这个迭代下的不动点，每次
迭代后都维持原来的值，自然不会趋于无穷。我 们把所有这种迭代后不会趋于无穷的点所组成的 集合就叫做 Julia 集，它是以法国数学家 Gaston Julia 命名的。
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常数 c 还可以是复数。右 图则是迭代过程 z → z2 + (0.2 + 0.5 i) 迭代 12 次的 结果，其中也有一些模非 常小的点，它们不会发散，
构成了连通的 Julia 集。
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在 Julia 集相关领域中，有一个非常漂亮而且非常重要的 定理叫做 fundamental dichotomy theorem ，它告诉我们， 一个 Julia 集要么是完全连通的，任意两点间都有一条通 路；要么是完全不连通的，整个图形全是一个个孤立的点。 随着常数 c 的变化，对应的 Julia 集也会连续地发生变化。
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1. 分形的数学描述
在计算机上生成分形结构的方法很多，目 前使用数学系统来实现具有自相似性的分 形结构的方法最成功的是——迭代函数系 统（Iterated Function System）。
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仿射变换
仿射变换是一种实现几何变换的公式，平移、
比例、旋转、对称和错切变换是二维仿射变
换的特例，任何常用的二维仿射变换总可表 示为这五种变换的组合。
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接下来，我们再对所得的 图形进行平方，继续加剧
模的变化。
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然后，再给每个点的实数 部分加上 0.3 ，于是得到 f(z) = |(z2 + 0.3)2 + 0.3| 的 图像。
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再加上 0.3
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再平方
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再加上0.3.这也就是函数 f(z) = |(((z2 + 0.3)2 + 0.3)2 + 0.3)2 + 0.3| 的图像，它 反映了对复平面上的各个 复数“平方再加 0.3 ”迭代
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正如实数可以用数轴上的点来表示一样，复数可
以用平面直角坐标系上的点来表示。令 x 轴表示
复数的实数部分，令 y 轴表示复数的虚数部分，
则 a + b i 就对应了平面上的点 (a, b) 。我们把这 个平面直角坐标系叫做“复平面”。
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复数与复数之间不但可以相加相减，还可以相乘相除。(a + b i) + (c + d i) 就等于 (a + c) + (b + d) i ，而 (a + b i) (c + d i) 则等于 (ac - bd) + (bc + ad) i 。需要注意的是，我 们不能讨论一个复数乘以另一个复数后是变大了还是变小 了，因为复数根本没有大小之分。如果真的要比较它们的 大小，我们可以比较它们的模。复数 a + b i 的模就是 a2 + b2 的平方根，也就是它到复平面原点的距离。
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因此，我们有了 Julia 集合的另一个定义。 z → z2 + c 对 应的 Julia 集，就是无限迭代下去后模仍然不超过 2 的点。 于是，我们立即有了 Julia 集的另一种生成方法。 我们可以从复平面上模不超过 2 的所有点，也就是以原点 为中心半径为 2 的圆盘出发，看看哪些点的平方加 c 后会
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5. Julia集合
在复平面上，对于复数Z和C，
如果存在变换 Zn+1= Zn2+C，那么所有这
些初始的复数Z所构成的集合称为Julia集， 它随着C的变化而变化。
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经迭代后，最后的Z值有三种可能：
1、Z值没有界限增加（趋向无穷）；
2、Z值衰减（趋向于0）；
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z → z2 + 0.3 的 Julia 集是由一些孤点组成
的，我们无法把它画出来。上图中的四叶草 形区域也只是那些发散比较慢的点，但再多
迭代几次，最终也会趋于无穷。
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是否存在适当的常数 c ， 使得迭代 z → z2 + c 的 Julia 集能够形成一块连 通的区域呢？答案是肯定 的。 右图是对复平面上的点执 行 12 次 z → z2 - 1 迭代 后的结果，中间这些紫色 和黄色的点已经稳定下来， 不会发散了，它们构成了 一块连通的 Julia 集.
过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，
在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三 分集。
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康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于
非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其 局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。
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4. Mandelbrot集合 曼德博集合可以用复二次多项式来定义： fc(z)=z2+C; 其中 c 是一个复数参数。 从 z = 0 开始对 fc(z) 进行迭代：
落在这个圆盘内，进而考察哪些点平方加 c 再平方加 c 后
将会落在这个圆盘内，如此反向迭代，不断找出原象，反 推出符合要求的点集。
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我们在复平面上画出
模为2的点的集合。
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我们把上图右移一个单
位，得到所有加上 -1
后模小于 2 的点。
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我们再找出上图区域中的每个点的平方根
3、Z值是变化的，即非1或非2
Julia集的形状基本上分三种：象尘埃一样的结构、
稳定的固态型或象树枝状。
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分析的获取
1. 关于复数
由于承认“负数也能开平方”将会带来很多幽雅
和便利的结论，因此我们发明了虚数，用 i 来表
示 -1 的平方根（即虚数单位），并把实数扩展为
复数（即一切形如 a + b i 的数）。
（别忘了，每个数都有两个平方根，因此每 个点都有两个原象），于是得到所有平方再