微专题3---球的组合体问题一、选择题（本大题共6小题，共30.0分）1. 在四面体PABC 中，PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，AP =BP =AB =2PC =2，则四面体PABC 外接球的表面积是( ) A.17π12B. 19π12C. 19π3D. 17π3 【答案】C【解析】【分析】本题给出特殊的三棱锥外接球的表面积的求解．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球的表面积公式等知识，属于中档题．由已知可得PC ⊥平面PAB ，先设O 是外接球球心，H 是△ABP 的中心，由去球的性质可知，OH ⊥平面PAB ，且OH =12PC ，根据勾股定理求出外接球半径，即可求解． 【解答】解：∵PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，且PA ∩PB =P ，∴PC ⊥平面PAB ，AP =BP =AB =2PC =2，设O 是外接球球心，H 是△ABP 的中心，由球的性质可知，OH ⊥平面PAB ，则OH =12PC =12，PH =2×√32×23=2√33，则R 2=OP 2=OH 2+PH 2=1912，故四面体外接球的表面积是S =4πR 2=19π3．故选C ．2. 如图所示，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面PDC 为等腰直角三角形且垂直于底面ABCD ，若PD =PC =√2，AD =1，则四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积为( )A. 5π3B. 4πC. 5πD. 20π【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查球的表面积，解答本题的关键是球的半径的求法，属于中档题．先求出OP =√52，再依据矩形对角线互相平分且相等推出OA 与OB 、OC 、OD 的关系，即可推出结论．【解答】解：如图，连接AC ，BD 交于点O ，作PQ ⊥CD 于点Q ，连接OP ，OQ ，由条件可知PQ =12CD =1，OQ =12，侧面PDC ⊥底面ABCD ， 侧面PDC ∩底面ABCD =CD ，PQ ⊥CD ，PQ ⊂侧面PDC ， ∴PQ ⊥底面ABCD ，又OQ ⊂底面ABCD ， ∴PQ ⊥OQ ，所以OP =√52．由矩形对角线互相平分且相等可得OA =OB =OC =OD =√52． 所以点O 为该四棱锥外接球的球心，球的半径为√52， 所以四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积为4π×(√52)2=5π．故选C ．3. 在△ABC 中，AB = 3，BC =4，AC =5，过B 点作AC 的垂线，垂足为D ，以BD 为折痕将△ABD 折起使点A 到达点P 处，满足平面PBD ⊥平面BDC ，则三棱锥P −BDC 的外接球的表面积为( )A. 25πB. 16πC. 48πD. 48125π 【答案】D【解析】【分析】本题考查棱椎外接球表面积的求法，属中档题．由题意可发现三棱锥P −BDC 是长方体的一角，DP 、DB 、DC 为同一直角顶点的三个棱，且它的外接球的直径即为原长方体的体对角线，故2R =√DP 2+DB 2+DC 2求得各边即可求解． 【解答】 解：如图由题意知，BD ⊥CD ，BD ⊥AD 即BD ⊥PD ，因为平面PBD ⊥平面BDC ，平面PBD ∩平面BDC =BD ，BD ⊥PD ，PD ⊂平面PBD ，所以PD ⊥平面BDC ，又BD 、DC ⊂平面BDC ，所以DP ⊥DC ，DP ⊥BD ，即三棱锥D −PBC 是长方体的一角，DP 、DB 、DC 为同一直角顶点的三个棱，且它的外接球的直径即为原长方体的体对角线，故2R =√DP 2+DB 2+DC 2．又由AB =3，BC =4，AC =5得AB ⊥BC ，BD 是直角边上的高，由直角三角形可知，DB =125，DC =165，DP =95，所以2R =√DP 2+DB 2+DC 2 =√(165)2+(125)2+(95)2=√48125．故外接球的表面积为．故选D ．4. 三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB =BC =1，PA =√3，则该三棱锥外接球的表面积为 ( )A. 5πB. √2πC. 20πD. 4π 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．根据题意，证出BC ⊥平面PAB ，PC 是三棱锥P −ABC 的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据算出PC =√5，得外接球半径R =√52，从而得到所求外接球的表面积．【解答】 解：如图，取PC 的中点O ，连接OA ，OB ，∵PA ⊥平面ABC ，AC 、BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥AC ，PA ⊥BC ，在Rt △PAC 中，O 为PC 的中点，∴OA =12PC ， 又PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA ∩AB =A ，PA 、AB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥PB ，在Rt △PBC 中，可得OB =12PC ， ∴O 是三棱锥P −ABC 的外接球的球心．∵Rt △PAC 中，AC =√2，PA =√3，∴PC =√5，∴三棱锥P −ABC 的外接球的半径长R =12PC =√52，∴该三棱锥外接球的表面积S =4πR 2=5π． 故选A ．5. 已知点A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的动点，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，BC =3，PB =2√2，PC =√5，则三棱锥P -ABC 外接球的表面积为( ) A. 6π B. 10π C. 12π D. 16π 【答案】B【解析】【分析】本题考查了三棱锥的外接球的表面积，将空间问题转化为平面问题，利用正余弦定理是解题的关键，属于中档题． 由O 为△ABC 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内，可得球心O 1一定在面PBC 内，即球心O 1也是△PBC 外接圆的圆心，在△PBC 中，由余弦定理、正弦定理可得R 即可． 【解答】解：因为O 为△ABC 外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内， 根据球的性质，球心一定在垂线l 上，∵球心O 1一定在面PBC 内，即球心O 1也是△PBC 外接圆的圆心， 在△PBC 中，由余弦定理得cosB =PB 2+BC 2−PC 22BP⋅BC=√22，⇒sinB =√22，由正弦定理得：PC sinB =2R ，解得R =√102，∴三棱锥P −ABC 外接球的表面积为s =4πR 2=10π． 故选B ．6. 已知三棱锥P −ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P −ABC的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.16π3B. 40π3C. 64π3D. 80π3 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点P 到面ABC 的距离．根据三棱锥P −ABC 的体积可得点P 到平面ABC 的距离为√3，从而得到球心O 到平面ABC 的距离为√3，正△ABC 的外接圆半径为，因此R 2=r 2+(3)2=203，从而求出外接球的表面积．【解答】解：依题意，记三棱锥P −ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC 的距离为h ， 则由V P−ABC =13S △ABC ℎ=13×(√34×42)×ℎ=163得ℎ=√3．又PC 为球O 的直径，因此球心O 到平面ABC 的距离等于12ℎ=√3． 又正△ABC 的外接圆半径为r =AB2sin60∘=3，因此R 2=r 2+(3)2=203，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积等于4πR 2=803π. 故选D ．二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）7. 已知△ABC 是等腰直角三角形，斜边AB =2，P 是平面ABC 外的一点，且满足PA =PB =PC ，∠APB =120°，则三棱锥P −ABC 外接球的表面积为______．【答案】16π3【解析】【分析】本题考查三棱锥外接球的表面积，根据已知求出球的半径是解答的关键，为中档题．由已知可得棱锥顶点P 在底面投影为△ABC 的外心，则△ABP 的外接圆半径等于三棱锥P −ABC 外接球半径． 【解答】解：∵PA =PB =PC ，∴棱锥顶点P 在底面投影为△ABC 的外心，则△ABP 的外接圆半径等于三棱锥P −ABC 外接球半径， ∵△ABC 是等腰直角三角形，斜边AB =2，∠APB =120°， ∴△ABP 外接圆半径r =√33AB =2√33， 则三棱锥P −ABC 外接球的半径R =2√33，故三棱锥P −ABC 外接球的表面积S =4πR 2=16π3．故答案为：16π3．8. 已知平行四边形ABCD 中，AB =√2，AD =1，∠A =45°，沿BD 将△ABD 折起到△BDA′位置，使A′C =√3，则空间四边形A′BCD 的外接球表面积为__________． 【答案】【解析】【分析】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积，属于基础题．分析出这个三棱锥A ′−BCD 在一个棱长为1的正方体中的位置，求解即可． 【解答】解：在三角形ABD 中，BD =√AB 2+AD 2−2AB ·AD ·cos45°=1， 所以三角形ABD 是以∠ADB 为直角的等腰直角三角形，因为平行四边形ABCD ，所以三角形BCD 是以∠DBC 为直角的等腰直角三角形， 结合A ′C =√3，可得可以将这个三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以外接球的半径为√3，所以表面积为．2故答案为．。