0 1 1 x1 x1 u 1 2 1
y 0 1 x1
第四章 线性系统的能控性与能观性
系统能观性分解结构图
第四章 线性系统的能控性与能观性
定理4.6.4
能观子系统与原系统的传递函数矩
G1 (s) G(s)
阵相同
G(s) C(sI A)1 B C(sI A)1 B
2 To 1 0
1 0 0
1 2 1
第四章 线性系统的能控性与能观性
状态变换后的系统状态空间表达式
0 1 0 1 x 1 u x 1 2 0 1 0 1 0
y 1 0 0 x
二维能观子系统
1 o
C CTo C1
0
第四章 线性系统的能控性与能观性
在变换后的系统中，将前n2维部分提出来，得到
下式
x1 A11x1 B1u
这部分构成n2维能观子系统。 而后n-n2维子系统
y1 C1 x1
x2 A21x1 A22 x2 B2u
为不能观子系统。
第四章 线性系统的能控性与能观性
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.6
4.6.1
线性定常系统的结构分解
系统能控性分解
x Ax Bu y Cx
设系统的状态空间表达式为
假设系统的能控性矩阵的秩n1<n（n为状态向量 维数），即系统不完全能控。 关于系统的能控性分解，有如下结论。
第四章 线性系统的能控性与能观性
定理4.6.1
第四章 线性系统的能控性与能观性
定理4.6.3 变换 换成
存在非奇异矩阵To，对系统进行状态 ，可使系统的状态空间表达式变
x Ax Bu
y Cx
x To x
其中
A11 0 A T ATo A21 A22
1 o
B1 B T B B2
y 0 1 2 x
能控性矩阵的秩
1 0 1 1 1 3 2 3 2 rank b Ab A b rank 0 1 2 可知系统不完全能控
第四章 线性系统的能控性与能观性
在能控性矩阵中任选两列线性无关的列向量。 为计算简单，选取其中的第1列和第2列。易知它们
中选择n1个线性无关的列向量；
● 将所得列向量作为矩阵Tc的前n1个列，其余列 可以在保证Tc为非奇异矩阵的条件下任意选择
第四章 线性系统的能控性与能观性
例4.6.1
对下列系统进行能控性分解。
0 0 1 1 x 1 u x 0 1 0 1 0 1 3 0
对于能观性分解，变换矩阵的求法有其特殊 性。应由构造其逆做起，即先求 To1 。 方法如下: ● 从能观性矩阵中选择n2个线性无关的行向量。 ● 将所求行向量作为 To1 的前n2个行，其余的行 可以在保证
T
1 o
为非奇异矩阵的条件下任意选择。
第四章 线性系统的能控性与能观性
例4.6.2
系统同例4.6.1，进行能观性分解。
计算能观性矩阵的秩
C 0 1 2 rank 1 2 3 2 3 rank CA 2 CA 2 3 4
任选其中两行线性无关的行向量，再选任一个与 之线性无关的行向量，得
To1 0 1 0 1 2 0 2 3 1
0 1 1 1 x 0 u x 1 2 2 0 0 1 0
y [1 1 2]x
二维能控子系统
0 1 1 x1 x1 u 1 2 0
y 1 1 x1
第四章 线性系统的能控性与能观性
系统能控性分解结构图
第四章 线性系统的能控性与能观性
定理4.6.2
能控子系统的传递函数矩阵与原系
统的传递函数矩阵相同，即
G1 (s) G(s)
因为
.
G(s) C(sI A)1 B C(sI A)1 B
C1 sI A11 C2 0
1
A12 B1 sI A22 0
C1
sI A11 0 A 21
1
0 B1 sI A22 B2
1
C1 sI A11 B1 G1 ( s )
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.6.2 系统能观性分解
设系统的状态空间表达式为
x Ax Bu y Cx
假设系统的能观性矩阵的秩 n2<n （ n 为状态 向量维数），即系统不完全能控。 关于系统的能观性分解，有如下结论。
是线性无关的。
再选任一列向量，与前两个列向量线性无关。 变换矩阵
1 0 2 Tc 1 1 0 0 1 1
1 2 2 1 1 Tc 1 1 2 3 1 1 1
第四章 线性系统的能控性与能观性
状态变换后的系统状态空间表达式
第四章 线性系统的能控性与能观性
在变换后的系统中，将前n1维部分提出来，得到
下式
x A11x1 A12 x2 B1u
这部分构成n1维能控子系统。 而后n-n1维子系统
x2 A22 x2
为不能控子系统。
第四章 线性系统的能控性与能观性
关键
变换矩阵Tc的构造
An1B]
求法如下：
● 在能控性矩阵 U C [B AB
存在非奇异矩阵Tc，对系统进行状态
变换 x Tc x ，可使系统的状态空间表达式变换 成
x Ax Bu
y Cx
其中
A11 A12 A T ATc 0 A22
1 c
B1 B T B 0
1 c
C CT