H [ s(t )] 表示 s量，
– Hilbert变换的反变换： – 解析信号：
1 1 x( ) s(t ) * x (t ) d tπ π t
• 与实信号 s(t ) 对应的解析信号 z (t ) 定义为 z(t ) A[s(t )] ， 其中 A[s(t )] s(t ) jH [s(t )] 构成解析信号的算子。
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• 随机信号的一般特性
– 随机信号在理论上可分为平稳和非平稳两大类； – 长期以来，由于理论和分析工具的局限性，常将许 多非平稳信号简化为平稳信号； – 研究非平稳信号处理的必要性：实际应用中的许多 信号是非平稳的，简化为平稳信号处理，带来相应 的误差；
– 研究非平稳信号处理的可行性：自20世纪80年代以 来，非平稳信号处理理论与方法得到迅速发展和应 用，出现了许多非平稳信号分析处理的方法，其主 要部分为：时频分析。
大连理工大学硕士研究生校管课程
信号处理与数据分析
Part V
现代信号处理
电子信息与电气工程学部 邱天爽 2013年12月
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大连理工大学硕士研究生校管课程
信号处理与数据分析
第16章
时频分析方法
电子信息与电气工程学部 邱天爽 2012年9月
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• 瞬时频率与群延迟
– 瞬时频率：设复信号 s(t ) a(t )e j ( t ) ，其瞬时频率为：
i (t ) (t )
d dt
– 瞬时频率与傅里叶频率的区别：
• 傅里叶频率是一个独立的量，瞬时频率是时间的函数。
• 傅里叶频率与傅里叶变换关联，瞬时频率与Hilbert变换关 联。
• 信号具有时变均值，时变方差，相关函数与时间 起点有关
ˆ x (t )] mx (t ) E[m
ˆ x (t )] Var[m 1 2 x (t ) N
– 均方值估计为：
1 N 2 ˆ Dx (t ) xx (t ) N i 1
ˆ (t )] D (t ) – 可以证明此估计为无偏估计，即 E[ D x x
– 如果随机过程（随机信号）满足下述条件：
E[ X (t )] X (t ) X E[ X 2 (t )] RX ( ) E[ X (t ) X (t )] E[ X (t t1 ) X (t t1 )]
– 则 X (t ) 为宽平稳随机过程（随机信号）或广义平稳 随机过程（随机信号）。
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• 时频分析举例：线性调频信号
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§16.2 时频分析的概念
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• 信号的时宽概念
– 用 | s(t ) |2 表示信号的能量密度，即瞬时功率。
– 信号的时间中心： t0 t t | s(t ) |2 dt
– 信号的均方持续：t 2 t 2 | s(t ) |2 dt
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• 非平稳信号的统计特征（续）
– 非平稳信号的方差特性一般分析比较困难。
– 但若非平稳信号x(t)在任意t 时刻服从均值为 mx (t ) ， 方差为 x2 (t ) 的高斯分布，可以证明有：
2 2 2 4 ˆ Var[ Dx (t )] [ Dx (t ) mx (t )] N
为x,y的2阶联合概率密度函数。

xyp( x, y; t , t )dxdy
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– 自协方差函数与互协方差函数定义为

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Cxx ( t1 ,t2 ) E{[ x ( t1 )mx ( t2 )][ x ( t2 )mx ( t2 )]} Cxy ( t1 ,t2 ) E{[ x ( t1 )mx ( t2 )][ y ( t2 )my ( t2 )]}
STFTx (t, f )


x(u) w* (u t )e j2 fudu
• 其中信号x(t)是慢变的， w* (t )是短时窗函数，*表示共轭
– STFT与Fourier变换的关系
• STFT是加窗的Fourier变换； • STFT是时间和频率的二维函数。
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– STFT具有时移特性：
x(t ) x(t t0 ) STFTx (t, f ) STFT(t t0 , f )
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• 短时傅里叶变换示意图
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• STFT的逆变换

z (u )


• 短时傅里叶变换的主要性质
– STFT是一种线性时频变换；
If x(t ) STFTx (t, f ), y (t ) STFTy (t, f ) Then ax(t ) by (t ) aSTFTx (t, f ) bSTFTy (t, f )
– STFT具有频移特性：
x(t ) x(t )e j2 πf0t STFTx (t, f ) STFT(t, f f 0 )
内容概要
• §16.1 • §16.2 • §16.3 • §16.4 • §16.5 • §16.6 • §16.7 概述 时频分析的概念 短时傅里叶变换 Gabor展开 Wigner-Ville分布 Cohen类时频分布 时频分布的应用
§16.1 概述
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• 随机信号广义平稳性概念的回顾
• 傅里叶频率是全局量，瞬时频率是局部量。
– 群延迟：设频域信号 S () | S () | e j ( ) ，则信号 群延迟为：
tg ( ) ( )
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s (t )
的
d ( ) d
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• 不确定原理（测不准原理）
– 对于信号分析而言，不确定原理表明：信号的时宽和 带宽不可能同时任意地窄，即信号的时宽带宽之积不 可能无限地小，定量地：
– 信号的时宽： t (t t )2 | s(t ) |2 dt
– 各量之间的关系：
1/ 2
(t t0 )2 | s(t ) |2 dt
1/ 2
t t 2 t 2
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• 信号的频宽概念




[ e

j2 πf ( t ' u )
df ] x( t ' ) w* ( t ' t ) g ( u t )dtdt '
1/ 2
1 ( 0 )2 | S ( ) |2 d 2π
1/ 2
– 各量之间的关系：
2 2 2
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• Hilbert变换与解析信号
– 实信号 s(t ) 的Hilbert变换定义为：
1 s( ) 1 x (t ) d s(t ) * s(t ) * h(t ) H [ s(t )] π t tπ
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• 分析非平稳信号的主要方法
时频 分析法 线性变换的 时频分析法 短时傅里 叶变换 非线性变换的 时频分析法 Wigner-Ville 分布 Cohen类 时频分布
Gabor变换
小波变换
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• 时频分析举例：分段正弦信号
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ˆ 2 (t )] 0 – 当 N 时，Var[D x 致估计。
。故这种情况的
ˆ (t ) D x
是一
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• 非平稳信号的相关函数
– 设非平稳随机信号 x1 , x2 的2阶联合概率密度函数 为 p( x1 , x2 ; t1, t2 ) ，其自相关函数定义为

j2 πfu STFT ( t , f ) g ( u t )e dtdf x
– 将短时傅里叶正变换式带入上式，有
z (u )
– 注意到：


(


x(t ) w (u t )e
' *
j2 πft '
dt ' ) g (u t )e j2 πfudtdf
• 举例
– 设信号 x(t )由3段频率不同的正弦信号构成，如左图：
– 右下图为该信号的频谱与时频分析结果（时频谱）
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• 短时傅里叶变换（STFT）
– 思路：在时间轴上滑动固定的时间窗，将x(t)划分 成多段相同时长的短时信号。在短时内，把信号看 作平稳的。 – STFT的定义：

rxx (t1 , t2 ) E[ x(t1 ) x(t2 )]
– x,y的互相关函数定义为
rxy (t1 , t2 ) E[ x(t1 ) y (t2 )]


x x p( x , x ; t , t )dx dx
1 2 1 2 1 2 1
2
–
p( x, y; t1, t2 )
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• Hilbert变换与解析信号的作用
– 在自然界中，信号都是实的。
– 由傅里叶变换，实信号的能量普密度是偶函数，其中 心频率为0.