§1.4 地震波的反射、透射和折射序：在§1.3中讨论了无限均匀完全弹性介质中波的传播情况。

当地震波遇到岩层界面时，波的动力学特点会发生变化。

地震勘探利用界面上的反射、透射和折射波。

一、平面波的反射及透射同光线在非均匀介质中传播一样，地震波在遇到弹性分界面时，也要发生反射和透射。

首先讨论平面波的反射与透射。

（一）斯奈尔（snell）定律1．费马原理（最小时间原理）波从一点传播到另一点，以所需时间最小来取传播路径。

如图，波从P1点传到P2点。

速度均匀时，走路径①，直线，t最小,s也最小。

速度变化时，走路径②，曲线，t最小,s不最小。

注意:时间最小,不一定路程最小(取决于速度)。

P 1 P2路径①路径②例1:人要去火车站(见图)。

方法①从A步行到B，路程短，用时却多。

方法②从A步行到C，再坐车到B，路程长，用时却少。

步行速度V1V2 >>V1汽车速度V2例2：尽快地将信从A送到B① 傻瓜路径 ② 经验路径③ 最小时间路径，满足透射定律：21sin sin V V βα=②A2．反射定律、透射定律、斯奈尔定律波遇到两种介质的分界面，就发生反射和透射（注：地震透射、物理折射）。

（1） 反射定律：反射波位于法平面内，反射角=入射角。

注：法平面——入射线与界面法线构成的平面，也叫入射平面或射线平面。

O S地面 入射角=反射角与下式等价：111sin sin V V αα= （1）（2） 透射定律透射线位于法平面内，入射角与透射角满足下列关系：221sin sin V V αα= （2） （3） 斯奈尔定律综合（1）和(2)式，有P V V V ===22111sin sin sin ααα 这就是斯奈尔定律，P 叫射线参数．．．．。

推广到水平层状介质有：P V V V nn ====αααsin ......sin sin 2211 （6.1-65） 注：斯奈尔定律满足费马原理，上例2中把信由A 送到B 路径③是最小时间路径，它满足透射定律（用高等数学求极值可证明）。

（4）说明：反射定律中说入射角=反射角是有条件的。

即：入射波和反射波是同类波，同时为纵波或同时为横波。

例如：理论和实验均证明：P 波非垂直入射，将产生反射P 波，透射P 波，反射SV 波，透射SV 波。

地面 透射SV 波 应用斯奈尔定律，有P V V V V V s p s p p =====222211111sin sin sin sin sin βαβαα （6.1-66）虽然反射SV 波是反射波，但1βα≠，即P 波的入射角≠反射SV 波的反射角。

（5） 转换波当以一种波入射，产生了与入射波不同类型的反射波或透射波，叫转换波。

Note: SH 波没有转换波。

P 波和SV 波垂直入射无转换波，非垂直入射有转换波。

O S地面 S1 地面地面透射SV 波地面地面透射SV波地面思考：固体液体斯奈耳定律描述了入射波、反射波、透射波的射线方向。

(二）诺特方程1．平面波的反射、透射示意图当平面纵波P1入射到界面上时,会产生同类反射波P11，会产生转换反射波P1S1，会产生同类透射波P12，会产生转换透射波P1S2。

zP19 图6.1-18 （书上角度错，振动方向错）下面用位函数表示这些波。

2．平面波位移位函数的表达式αBC=Zcosαxsinα+Zcosα设入射波P1的位函数：)cossin()(11PPVzxtfAVrtfAααφ+-=-=注：ααcossin zxr+=则同类反射波P11的位函数)cossin(1111PVzxtfARααφ--⋅=注：反射波与z轴方向相反转换反射波P1S1的位函数)cossin(1111SVzxtfABββψ--⋅=同类透射波P12的位函数)cossin(2222PVzxtfATααφ+-⋅=转换透射波P 1S 2的位函数)cos sin (22202S V z x t f A D ββψ+-⋅= (6.1-66A)其中：系数，称同类波位移位反射入射波的振幅同类反射波的振幅=R系数，称转换波位移位反射入射波的振幅转换反射波的振幅=B系数，称同类波位移位透射入射波的振幅同类透射波的振幅=T系数，称转换波位移位透射入射波的振幅转换透射波的振幅=D下面要用已知的入射波的位函数φ及界面上的边界条件，表示出1φ、1ψ、2φ、2ψ，实际上是求出R 、B 、T 、D 。

3．边界条件 （1）4个边界条件应力连续：界面两侧正应力要相等 界面两侧剪应力要相等位移连续：界面两侧x 方向上的位移要相等 界面两侧z 方向上的位移要相等 （2）应用4个边界条件，可得到P19的4个方程]2)21([]2)()21()([22222222222222222221221212122121212121zx VV x V V z V z x V V x V V z V P S P S P P S P S P ∂∂∂+∂∂-+∂∂=∂∂∂+∂+∂-+∂+∂ψφφρψφφφφρ]2[])(2[2222222222212212212121zx z x V z x z x V S S ∂∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂+∂∂-∂∂φψψρφφψψρz x z x ∂∂-∂∂=∂∂-∂+∂2211)(ψφψφφ x z x z ∂∂+∂∂=∂∂+∂+∂2211)(ψφψφφ (6.1-66B) 物理意义:用位移位函数表示的应力连续和位移连续边界条件。

4．诺特方程将（6.1-66A ）代入(6.1-66B)，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----111121221211221211221221222221122211221221111122122111112cos 2sin cos sin 2sin 2cos 2sin 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin sin cos sin cos cos sin cos sin βαααβρρβρρβββρραρρβαβαβαβαβαD T B R V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V S P S S P P S P S P P P S P S P P P S P(6.1-67) 这个方程很难解出R 、B 、T 、D ，下面研究垂直入射的情况。

（三）平面波法线入射的情况 1．位移位反射和透射系数法线入射即α=0，由斯奈尔定律可知：02121=====ββααα，代入(6.1-67)，求解，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+-===11222111221122200P P P P P P P V V V T V V V V R D B ρρρρρρρ (6.1-70) 2．物理意义（1）平面波垂直入射时，不产生转换波，因为计算结果B=D=0。

（2）位移位透射系数02112221〉+=P P P V V V T ρρρ,说明透射波与入射永远是同相的。

（3）位移位反射系数11221122P P P P V V V V R ρρρρ+-=①当01122〉-P P V V ρρ时，R>0,反射波与入射波同相。

②当01122〈-P P V V ρρ时，R<0,反射波与入射波反相。

③当01122=-P P V V ρρ时，R=0,无反射波。

④垂直入射时，产生反射波的条件是1122P P V V ρρ≠或12z z ≠，即界面两侧存在波阻抗差。

3．位移反射系数R d 和透射系数T d垂直入射没有转换波，故0=ψrot∴k w j v i u k zj y i x grad rot grad U++=∂∂+∂∂+∂∂==+=φφφφψφ 注：因垂直入射只有z 分量 0 0 ∴zw U ∂∂==φ∴入射波在z 方向的位移是zw ∂∂=φ 反射波在z 方向的位移是z w ∂∂=11φ 透射波在z 方向的位移是zw ∂∂=22φ 由(6.1-66A),得入射波的位移位函数：)(10P V z t f A -=φ 注：r 与z 一致。

反射波的位移位函数)(101P V z t f A R --⋅=φ 注：反射波与z 轴方向相反 透射波的位移位函数)(202P V zt f A T -⋅=φ ∴)1)((11'0P P V V z t f A z w --=∂∂=φ )1)((11'011P P V V z t f RA z w +=∂∂=φ )1)((22'02P P V V z t f TA z w --=∂∂=φR V A V RA w w R P P d -=-==)1(11011的振幅入射波位移的振幅反射波位移T V V V A V TA w w T P P P P d ⋅=--==2110202)1()1(的振幅入射波位移的振幅透射波位移将(6.1-70)代入上式，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=112211112222112P P P d P P P P d V V V T V V V V R ρρρρρρρ (6.1-71) 5．说明（四）平面波的倾斜入射倾斜入射时，有转换波。

在界面处各种波的能量分配关系由诺特方程（6.1-67）决定。

诺特方程很复杂，要直观地了解这时的能量分配情况，通常采用作图法。

1．对P22两图的说明：（1）α=0，表示⊥入射，R+T=1,B=D=0,没有转换波。

（2）随着α↗，B 、D 就不再为0，有转换波。

（3）α达到某一角度以后，R 很大，基本没有能量向下透射。

（4）R 的峰值对应着临界角。

（5）P22的b 图，Z 1=Z 2 ，在α=0时，T=1,R=B=D=0，没有反射波，没有转换波。

随着α↗，R ≠0、B ≠0、D ≠0，有反射波，有转换波。

有波阻抗差才有反射波，只适合于垂直入射的情况。

能量系数 5.02=P V 8.02=ρ12Z Z 〈10 20 30 40 50 60 70 80 90 α (a) 能量系数 212=P P V V 5.012=ρρ12Z Z =10 20 30 40 50 60 70 80 90 α (b)P22 图6.1-19 反射系数与入射角的关系 2．对P23两图的说明： （1）112〈P P V V 和112→P P V V时，曲线变化相对平缓。

（2）112〉P P V V 曲线变化剧烈。

（3）12ρρ对R 的影响没有12P P V V 对R 的影响大，所以有时近似用1212V V V V R +-=求反射系数。

R2P V 为参数(a) R 12ρρ为参数10 20 30 40 50 60 70 80 90 α (b)P23 图6.1-20 反射系数与12P P V V 、12ρρ的关系 总结：（1）斯奈尔定律指出各种波在界面处的传播方向。