原油开采与输送问题 1问题重述某炼油厂有四口自备油井，为了满足炼油厂的需要，炼油厂一方面计划再打一些油井，另一方面从外部购买部分原油。

该炼油厂现有的四口油井经过多年使用后，年产油量也在逐渐减少，在表1中给出它们在近9年来的产油量粗略统计数字。

表1 现有各油井在近几年的产油量（万吨）根据专家研究和预测，拟计划打的8口油井基本情况如下：表2 打井费用（万元）和当年产油量（万吨）编号 1 2 3 4 5 6 7 8 打井费用 5 7 5 4 6 5 5 3 当年产油2536321531282212每口油井的年产油量还会以平均每年10%左右的速率减少炼油厂与附近一个油田的输油管道距离20公里，铺设管道的费用为L Q P 51.066.0 （万元），其中Q 表示每年的可供油量（万吨/年），L 表示管道长度（公里）。

铺设管道从开工到完成需要三年时间，且每年投资铺设管道的费用为万元的整数倍。

要求完成之后，每年能够通过管道至少提供100万吨油。

炼油厂从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于打井和铺设管道，为了保证从2012至2016年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨油，请作出一个从2010年起三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支尽量节省。

2关键字石油开采 最优化 一元线性回归 matlab3问题分析年份 产油量 编号 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 1号井 32.2 31.3 29.7 28.6 27.5 26.1 25.3 23.7 22.7 2号井 21.5 15.9 11.8 8.7 6.54.83.52.62.03号井 27.9 25.8 23.8 21.6 19.5 17.4 15.5 13.3 11.2 4号井46.232.626.723.0 20.0 18.9 17.5 16.3本问题是最优化求解问题，最优化求解的基本思想是在满足一定的约束条件下，寻找一组参数值，以使得某些最优性度量得到满足，即使形同的某些性能指标达到最大或者是最小。

最优化问题的应用可以说遍布社会经济、工业、管理等各个领域，其重要性是不言而喻的。

本文论述了利用最优化问题方法解决一炼油厂投资与产量最优化问题，在解决本问题是我们面临以下两个问题1根据已有油井前几年份数据如何预测从2012到2016年油井的产油量2怎样合理安排从2000年到2012年的投资，使得满足2012到2016的产油量预期目的。

首先来看问题1，我们通过excel处理现存油井采油量，发现采油量变化近似的为一条直线，因此我们通过一元线性回归的方法进行求解验证，利用matlab得到从2012年到2016年采油预测量。

对于本题目的第二问题，本文利用最优化的解题思想，不断的分析简化问题模型，最后通过穷举法，利用C++编程进行解决。

得到最后的最优化求解。

4模型假设1新开采的油井的年产油量还会以平均每年10%左右的速率减少2新开采的油井及铺设的管道，其实际投资与文中计划相一致，不会出现意外事故3所有的油井以及管道在预计年份不会出现任何问题，都能正常工作。

5符号变量以及说明本文用到符号都直接给出意义，同时大部分运算都以程序进行，程序代码都有备注，故此处省去代码说明。

6模型的建立与求解题目给出了近9年来的产油量粗略统计数字，我们利用了excel 对数据进行了作图处理，如下图所示，根据数据的观察与分析我们发现采油量的数据基本满足线性的趋势，因此我们采用了一元线性回归的方法对数据进行处理，得到采油量的变化模型，从而预测从2012到2016年现有的油井的采油量的数据。

一元线性回归方程反应一个因变量与一个自变量之间的线性关系，当直线方程Y'=a+bx 的a 和b 确定时，即为一元回归线性方程。

普通最小二乘估计方法（OLS —Ordinary L ,ˆ0βkββˆ,,ˆ1 east Squares ）是最基础的参数估计方法。

它不是参数估计的唯一方法，比如，还存在最大或然法（ML ）、矩估计方法等。

普通最小二乘估计方法的基本思路是：对于一个给定的样本，,ˆ0βkββˆ,,ˆ1 的选定值应使得由(2-1-9)确定的样本回归方程（直线）对样本数据拟合得最好。

如何确立具体的拟合标准呢？对容量为n 的样本，普通最小二乘估计法给出的拟合最好的标准是：∑===ni i uQ 12min ˆ (2-2-1) 在一元情形中，（2-2-1）意味着：∑∑===--=-=ni ii n i i i X Y Y Y Q 121012min )ˆˆ()ˆ(ββ （2-2-2）显然，对于给定的样本数据而言，)ˆ,ˆ(10ββf Q =，即0ˆβ和1ˆβ的选定值不同，Q 的取值也不同，它是0ˆβ和1ˆβ的一个二元二次函数。

0ˆβ和1ˆβ选什么值可以使(2-2-1)中的残差平方和最小呢？微积分学中的极值原理告诉我们，(2-2-1)存在最小值，其充分必要条件是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=---=∂∂=-=---=∂∂∑∑∑∑0ˆ2)ˆˆ(2ˆ0ˆ2)ˆˆ(2ˆ102101i i i i i i i i u X X X Y Q u X Y Q ββββββ (2-2-3)由(2-2-3)得正规方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑ii i i i i Y X X X Y X n 22121ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆββββ (2-2-4) 解(2-2-4)得：∑∑∑∑∑∑--=-=2221)(ˆˆiiii iiiX X n Y X X Y X X Y ββ (2-2-5)∑∑∑∑∑∑∑∑∑=---=--=22221)())(()(ˆii i ii ii i i i i i xy x X X Y Y X X X X n Y X Y X n β (2-2-6)其中，n Y Y n XX i i/,/∑∑==，称为样本的均值；Y Y y X X x i i i i -=-=,，称为样本（对均值）的离差。

因此，今后一定要注意大、小写字母含义的区别。

(2-2-5)和(2-2-6)就是根据普通最小二乘原理得出的一元线性回归模型的（普通最小二乘）参数估计公式（方法）。

普通最小二乘估计方法的结果的三个重要特征值得一提。

从(2-2-3)中的第一个方程可知∑=0ˆiu，说明该方法所选定的0ˆβ和1ˆβ的值，使各样本点偏离样本回归直线的正负距离之和等于零，或“均衡地”分布在样本回归直线两侧，这满足我们对0)(=u E 的要求；从第二个方程我们又知道∑=0ˆiiuX ，这意味着从样本来看，解释变量X 与u 不相关（线性无关）。

而从(2-2-5)可知，X Y 10ˆˆββ+=，与样本回归方程(2-1-6)比较，说明我们求出的样本回归方程肯定穿过样本均值点（Y X ,）。

上述两点，为我们根据样本点确定回归直线，提供了一个参考标准。

现在，我们可以对(2-2-5)和(2-2-6)给出两种不同说法：对于给定的一个样本数据{}n i X Y i i ,,2,1:),( =而言，(2-2-5)和(2-2-6) 给出了两个（确定的）估计值，此时我们所强调的是将{}n i X Y i i ,,2,1:),( =作为具体的数据代入(2-2-5)和(2-2-6)后所计算出的具体数值；而对于任一个容量为n 的样本而言，由于在此种条件下i Y 和i X 对于我们来讲都是随机变量，故(2-2-5)和(2-2-6)给出了两个（随机的）估计量，此时我们所强调的是由随机性的样本作为自变量、由(2-2-5)和(2-2-6)作为计算公式而确定的两个随机变量（函数）。

做一简短的总结就是，一个估计量实际上是一个（样本）统计量，它给出了一个规则、公式或方法，告诉人们怎样利用手中任意给定（容量）的样本数据去估计总体的参数。

而一个估计值则是指将一个给定的样本数据代入一个特定的估计量之后计算出的具体数值。

值得强调的是，OLS 估计方法不仅能对（狭义的）变量之间的线性模型进行估计，也能对（广义的）针对参数而言的线性模型进行估计。

对于下述（广义的）一元线性模型：u X f Y g ++=)()(10ββ （2-2-17） OLS 方法的估计结果为：∑∑∑∑∑∑--=-=22_____1_____0))(()()()()()()()(ˆ)(ˆiii iiiiX f X f n Y g X f X f Y g X f X f Y g ββ （2-2-18）21))(()()()()()(ˆ∑∑∑∑∑--=i i i i i i X f X f n Y g X f Y g X f n β （2-2-19）上述方法的实质是，先将（2-2-17）变换为：u X Y ++=**10ββ （2-2-20） 其中)(),(X f X Y g Y ==**，然后对（2-2-20）进行OLS 估计。

利用上面的思想我们利用了matlab 作为工具来进行计算最后的系数，我们仅仅拿第一口井的系数为例：可以得到油井对应的响应系数为a=-1.2017;b=33.4639,利用同样的方法我们可以得到其他的三口油井的对应的系数，可以得到从2012到2015年的已有的四口油井所对应的开采量。

2012 2013 2014 2015 2016一号井21.4469 20.2452 19.0435 17.8418 16.6401二号井0 0 0 0 0三号井9.1306 7.0456 4.9606 2.8756 0.7906四号井 4.7761 1.0713 0 0 0从表格中可以看到，对于第二号井以及对于四号油井，到2016年都已经开采枯竭。

题目中的要求是“保证从2012至2016年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨油”，由于新开采的油井已经现在已经有的油井其开采量是不断地减少的，但是题目中的计划是从2012到2016为不断的增加的数据，因此我们便可以得出只要满足使得在2016年满足其能得到190万吨油就能符合题意。

因此现在问题转化为在2016年，能够达到190万吨的原油就可以了，同时由于通过一元线性规划我们得到在2016年已有的油井可以得到17.4万吨的采油量，因此新开采的以及管道运输的满足在2016年得到172.6万吨，就能满足我们题目的要求。

我们现在来观察待开采的油井，我们发现其以每年10%量不断的减少，因此为了更加满足计划的要求，我们在头两年不对新的油井进行开采，等到第三年再对油井进行开采，以使2016年我们能够尽可能的使得油井开采量更高。

同时我们可以计算得到其每个油井采油量与投资的比值，如下表所示：编号 1 2 3 4 5 6 7 85 7 5 46 5 5 3 打井费用当年产25 36 32 15 31 28 22 12油比值 5 5.14 6.4 3.75 5.17 5.6 4.4 4根据图中的比值我们便可以进行排序，得到比值从高到低的数据排序为：3、6、5、2、1、7、8、4。