数学建模
题目：中国未来五十年的人口预测
班级：0701
专业：信息与计算科学
学号：0705010102
姓名：池毓深
论文摘要：
当今，人类生存面临五大问题：人口问题、工业化的资金问题、粮食问题、资源问题和环境污染问题。

其中人口问题为首要问题，主要是人口增长过快，尤其是20世纪70年代到80年代，增加10亿人口只用了12年。

有人预计到21世纪中叶，人类将超过100亿。

地球上人类可利用的资源是有限的，世界人口的迅速膨胀，尤其是发展中国家过高的人口增长率成为十分严峻的问题。

面临这样的形式问题，我们国家作为发展中国家的必须进行自我控制，即采取必要的措施来抑制过快的人口增长率。

而影响人口增长的因素有哪些？其中人口的基数、出生率和死亡率的高低、人口男女比例大小、人口年龄组成情况、工农业生产水平的高低、营养条件、医疗水平、人口素质和环境污染等诸因素都影响人口增长、另外各民族的风俗习惯、传统观念、自然灾难、战争和人口迁移等也与人口增长密切相关。

试建立一个数学模型，对我国人口作出增长预测和控制，为正确的人口政策提供科学的依据。

关键字：Malthus模型Logistic模型现代Logistic模型科技贡献率
一、问题提出及分析
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，人口的基数、出生率和死亡率的高低、人口男女比例大小、人口年龄组成情况、工农业生产水平的高低、营养条件、医疗水平、人口素质和环境污染等诸因素都都影响着中国人口的增长。

2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》还做出了进一步的分析。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。

试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。

模型一 Malthus 模型
经过分析，假设：人口增长只与人口的基数和增长率有关，这两项即为主要因素；人口的增长过程可用微分方程来描述。

符号说明：
()t N 表示t 时刻人口总数；
()()t N t r ,表示t 时刻人口增长率，它时间t 与t 时刻的人口总数()t N 有关
当 ()()t N t r ,=r （常数）
()()()⎪⎩⎪
⎨
⎧==0
0N t N t rN dt t dN 对上式进行求解，其解为
()()
00t t r e
N t N -=
模型二 Logistic 模型
考虑地球上的各种资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用，人口不可能无限的增长。

假设：人口增长与人口的基数和增长率有关，这两项即为主要因素；环境可容纳的人口的最大数量K ；人口的增长率为()⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
K t N r 1 符号说明：
K 表示为环境可容纳的人口最大数； ()t N 表示t 时刻的人口总数；
r 表示为人口的内禀增长率； 建立如下模型
()()()()⎪⎩⎪
⎨
⎧=⎪⎭⎫
⎝⎛-=00
1N
t N t N K t N r dt t dN 对上式求解，其解为
()()
0110t t r e
N K K
t N --⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=
模型三 现代Logistic 模型
虽然地球上的各种资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用，但是随着人类科技的迅猛发展，人类运用科学技术来增大环境可容纳的人口的最大数量K 。

例如：建立海上城市。

假设：人口增长与人口的基数和增长率有关，这两项即为主要因素；环境可容纳的人口的最大数量K ；环境可容纳的人口最大数的增长率为a （科技贡献率）；人口的增长率为
()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-K t N r 1
符号说明：
K 表示为最初环境可容纳的人口最大数； ()t N 表示t 时刻的人口总数； r 表示为人口的内禀增长率；
a 环境可容纳的人口最大数的增长率为a （科技贡献率）。

建立如下模型
()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+-=00
11N
t N t N a K t N r dt t dN
对上式求解，其解为
()()()()011110t t r e
N a K a K t N --⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+++=
三、模型求解
通过用中国国家统计局近三十年的统计数据，人口自然增长率r=0.011。

用Malthus 模型来预测中国未来50年的人口增长，下表为预测数据值：
2010—2060年我国人口总数数据预测表一
2010—2060年我国人口总数坐标图形一
用模型二（Logistic模型）假设K=20, 来预测未来50年的人口数量，计算出下表为预测数据值：
2010—2060年我国人口总数数据预测表二
2010—2060年我国人口总数坐标图形二
用模型三（现代Logistic模型）假设K=20, 科技贡献率a=0.535来预测未来50年的人口数量，计算出下表为预测数据值：
2010—2060年我国人口总数数据预测表三
2010—2060年我国人口总数坐标图形三
四、结果分析与模型检验
Ⅰ模型一的检验：
模型一分析：通过数据分析该模型检验过去很好，但对未来人口预测存在较大的误差。

Ⅱ模型二的检验：
模型二分析：通过数据的对比和分析该模型可以很好的预测未来的人口。

Ⅲ模型三的检验：
模型三分析：该模型算出的数据和过去的数据对比和分析，同样对未来可以很好预测人口数量。

五、模型评价
模型一检验过去模型效果很好，但该模型用来作长期的人口预测是很不合理的，因为在有限的生存环境不可能出现人口无限的增长。

模型二显然作为作为长期预测未来人口的增长效果很好，但做检验过去的人口数量时没有模型一好
模型三模型三作为模型的改进模型由于人类的科技不断的进步，同样继承模型二的优缺点。

但是人类为了满足人口不断增长需求模型三反应了世界解决人口问题的一种趋势。

参考文献
[1] 杨启帆.数学建模.北京：高等教育出版社，2005
[2] 杨尚俊.数学建模简明教程.安徽：安徽大学出版社，2006
[3] 冯杰，黄力伟等.数学建模原理与案例.北京：科学出版社，2007
[4] 刘卫国.MATLAB程序教程.北京：中国水利水电出版社，2005
[5] 谭永基,蔡志杰.数学模型.上海复旦大学出版社，2005.2。