可见求和上限n,下限 从图中可见求和上限 下限 图中可见求和上限 下限0
1 − α n+1 n m u(n) y(n) = ∑α ⋅ u(n) = 1 −α m=0 当n → ∞时 1 y(n) = 1 −αX源自波形x(n)1
h(n)
第 7 页
⋯
o 1 2 3
h(n − m)
X
第
y(n)的元素个数 的元素个数? 的元素个数
x(n) nA
12 页
h(n)
y(n)
nB
nC = nA + nB − 1
若：
x(n)序列
h(n)序列
n1 ≤ n ≤ n2，
n3 ≤ n ≤ n4
则y(n)序列
(n1 + n3 ) ≤ n ≤ (n2 + n4 )
4个元素 5个元素 8 个元素
X
例如： 例如：
h(n) = δ (n) + 2δ (n − 1) + 3δ (n − 2)
11 页
利用分配律
x(n) ∗ h(n) = δ (n) + 2δ (n − 1) + 3δ (n − 2)
+ δ (n − 1) + 2δ (n − 2) + 3δ (n − 3)
+ δ (n − 2) + 2δ (n − 3) + 3δ (n − 4) = δ (n) + 3δ (n − 1) + 6δ (n − 2) + 5δ (n − 3) + 3(n − 4)
x(n) ∗ h(n) = h(n) ∗ x(n)
4 页
2．结合律 ． x(n) ∗ h1(n)∗ h2 (n) = x(n) ∗[h1(n)∗ h2 (n)] 3．分配律 ．
x(n)∗[h1(n) + h2 (n)] = x(n) ∗ h (n) + x(n) ∗ h2(n) 1
4． x(n) ∗δ (n) ． 不存在微分、积分性质。 不存在微分、积分性质。
X
第
例7-6-1
已知x(n) = α nu(n) (0 < α < 1) , h(n) = u(n),求卷积 y(n) = x(n) ∗ h(n)。
6 页
y(n) = x(n) ∗ h(n) =
m=−∞
∑α
∞
m
要点： 要点： u(m)u(n − m) 定上下限
宗量: m ≥ 0, m ≤ n 即： m ≤ n, n ≥ 0 0≤
= x(n) ∗ h(n)
∞
∑x(m)h(n − m)
加权。 处由 x(m)加权。 卷积和的公式表明： 卷积和的公式表明：
系统对x(n) 的响应= 每一样值产生的响应之 ，在各 和
h(n)将输入输出联系起来， 将输入输出联系起来， 即零状态响应 x(n) ∗ h(n)。 =
X
第
二．离散卷积的性质
1．交换律 ．
x(n) =
10 页
{ }
1 1 1 ↑
x(n) ∗h(n)
1 1 1 1 2 1 2 3 1 3 6 ↑
2 3 1 1 2 3 3 5 3
X
= δ (n) + 3δ (n − 1) + 6δ (n − 2) + 5δ (n − 3) + 3(n − 4)
第
例7-6-4
x 2 x 已知 (n) = R3 (n), h(n) = 1 ，3，求求 (n) ∗ h(n)。 ， ↑ n=0 x(n) = δ (n) + δ (n − 1) + δ (n − 2)
n
o 1 2 3
h(n − m)
n
⋯
amu(m) ⋯
m
⋯
amu(m) ⋯
o 1 2 3 n=0
n
o 1 2 3 n =1
m
y(n) 1− αn+1 y(n) = u(n) ⋅ ∑αm = u(n) 1 1− α 1 −α 1 m=0
⋯
n
X
1 y 当n →∞时， (n) = 1− α
o 1 2 3 4
第
例7-6-2
x 已知 1(n) = 4 , 3, 2, 1，x2 (n) = 3 , 2, 1, ， ↑ ↑ n=0 n=0 求： (n) = x1(n) ∗ x2 (n) y
8 页
使用对位相乘求和法求卷积 步骤： 步骤： 两序列右对齐→ 两序列右对齐 逐个样值对应相乘但不进位→ 逐个样值对应相乘但不进位 同列乘积值相加（注意n=0的点） 同列乘积值相加（注意 的点） 的点
x(n)： 0 ≤ n ≤ 3 h(n)： 0 ≤ n ≤ 4 y(n)： 0 ≤ n ≤ 7
X
第
三．卷积计算
x(n) ∗ h(n) =
m=−∞
5 页
∑x(m)h(n − m)
∞
m范围由 (n), h(n)范围共同决定。 x 范围共同决定。
离散卷积过程：序列倒置→移位→相乘→ 离散卷积过程：序列倒置→移位→相乘→取和 1.解析式法 1.解析式法 2.图解法 2.图解法 3.对位相乘求和法求卷积 3.对位相乘求和法求卷积 4.利用性质 4.利用性质
2 页
=
m=−∞
∑x(m)δ (n − m)
x(n) δ (n) h(n) y(n) h(n)
∞
X
第 3 页
时不变 均匀性 可加性 输出
δ (n − m) →h(n − m)
x(m)δ (n − m) → x(m)h(n − m)
x(n) = y(n) =
m=−∞ ∞ m=−∞
∑x(m)δ (n − m)
X
第 9 页
x1(n)
:
:
×
x2 (n)
↑ n=0
4
3
↑ n=0
2
2
1
1
3
+
y(n) :
4 8 6 12 9 6
↑ n=0
3 4 3
2 2
4
1
12 17 16 10
1
y 1 所以 (n) = 12，17，16，10， 4， ↑ n=0
X
第
例7-6-3
x 2 ， x 已知 (n) = R3 (n), h(n) = 1 ，3 求 (n) ∗ h(n)。 ， ↑ n=0
信号与系统
7.5
7.7
§7.6 卷积（卷积和）
•卷积和定义 卷积和定义 •离散卷积的性质 离散卷积的性质 •卷积计算 卷积计算
烟台大学光电学院
第
一．卷积和定义
x δ : 任意序列 (n)表示为 (n)的加权移位之线性组合
x(n) = ⋯x(− 1)δ (n + 1) + x(0)δ (n) + x(1)δ (n − 1) + ⋯+ x(m)δ (n − m) +⋯