一、填空题（共14小题）
1.函数的最小正周期为▲．
2.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取
一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人若
高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为▲．
3.若复数为虚数单位为纯虚数，其中，则
▲．
4.执行如图程序，若输出的结果是4，则输入的x的值是▲．
5.函数的定义域为▲．(第4题)
6.将一颗质地均匀的骰子一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方
体玩具先后抛掷2次，则向上的点数之差的绝对值是2的概率为▲．
7.离心率为2且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是▲．
8.设抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则▲．
9.已知，则的值等于▲．
10.方程的解可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐
标若方程的各个实根，，，所对应的点2，，
均在直线的同侧，则实数a的取值范围是▲．
二、解答题（本大题共6小题）
11.在中，角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，且满足，．
求的面积；
若，求a的值．
12.
如图，直三棱柱中，D，E分别是AB、的中点，．证明：平面；
平面平面．
13.如图，在正三棱柱中，，，则四棱锥的体积
是▲．
(第10题) (第11题)
14.如图，在中，D为AC的中点，，，则▲ .
15.在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，P为圆上一动点，
则的最大值是▲．
16.已知实数a，b满足，则的最大值是▲．
17.（本小题满分14分）
科学研究证实，二氧化碳等温空气体的排放简称碳排放对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m 万吨．
求A市2019年的碳排放总量用含m的式子表示；
若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．
18.已知椭圆C：的焦距为2，左右焦点分别为，，以原
点O为圆心，以椭圆C的半短轴长为半径的圆与直线相切．
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ设不过原点的直线l：与椭圆C交于A，B两点．
若直线与的斜率分别为，，且，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；
若直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项，求面积的取值范围．
19.已知，．
Ⅰ求函数图象恒过的定点坐标；
Ⅱ若恒成立，求a的值；
Ⅲ在Ⅱ成立的条件下，证明：存在唯一的极小值点，且．
20.给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称
与“接近”．
设是首项为1，公比为的等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由；
设数列的前四项为：，，，，是一个与接近的
数列，记集合2，3，，求M中元素的个数m；
已知是公差为d的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在
，，，中至少有100个为正数，求d的取值范围．
21.已知矩阵．
求A的逆矩阵；
若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点，求点P的坐标．
22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合若
曲线的方程为，曲线的方程为为参数．将的方程化为直角坐标方程；
若上的点Q对应的参数为，P为上的动点，求PQ的最小值．|
23.如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，
，，．
求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，
求线段BQ的长．
24.在集合2，3，4，，中，任取元素构
成集合若的所有元素之和为偶数，则称为A 的偶子集，其个数记为；
若的所有元素之和为奇数，则称为A 的奇子集，其个数记为令
．
当时，求，的值；
求．
1. 6
2. 1200
3. 2
4. 2
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13. 4
14.
15. 解：因为，
所以，．
又由得，所以
因此．
由知，，又，
由余弦定理，得，所以．16. 解：连结，交点O，连DO，则O是的中点，
因为D是AB的中点，故
因为平面，平面
所以平面
取AC的中点F，连结EO，OF，FB，
因为O是的中点，
故且
显然且
所以且
则四边形BEOF是平行四边形
所以
因为
所以
所以直线平面
因为
所以直线平面
所以平面平面
17. 解：设2018年的碳排放总量为，2019年的碳排放总量为，，由已知，，
．
市2019年的碳排放总量为．
，
．
由已知有，，
当即时，，满足题意；
当，即时，为递减数列，
，解得．
综合得；
当即时，，
，解得，综合得．
综上可得所求范围是．
18. 解：Ⅰ由题意可得，即，
由直线与圆相切，
可得，解得，
即有椭圆的方程为；
Ⅱ证明：设，，
将直线代入椭圆，
可得，
即有，
，，
由，
即有，
代入韦达定理，可得，
化简可得，
则直线的方程为，即，
故直线l恒过定点；
由直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项，
即有，即为
，
可得，
解得，
代入，
可得，且．
由O到直线的距离为，
弦长AB为，
则面积为，
当且仅当，即时，取得最大值．
则面积的取值范围为
19. 解：Ⅰ要使参数a对函数值不发生影响，必须保证，此时，所以函数的图象恒过点．
Ⅱ依题意得：恒成立，
恒成立．
构造函数，
则恒过，，
若时， 0'/>，在R上递增，
不能恒成立．
若时，，．
时，，函数单调递减；
时， 0'/>，函数单调递增，
在时为极小值点，，
要使恒成立，只需．
设，则函数恒过，，
， 0'/>，函数单调递增；，，函数单调递减，在取得极大值0，
要使函数成立，只有在时成立．
证明Ⅲ，
设，
，
令 0'/>，
在单调递减，在单调递增，
，
在处取得极小值，
可得一定有2个零点，分别为的一个极大值点和一个极小值点，
设为函数的极小值点，则，
，，
，，
在区间上存在一个极值点，
最小极值点在内
函数的极小值点的横坐标，
函数的极小值，
20. 解：数列与接近．
理由：是首项为1，公比为的等比数列，
可得，，
则，，
可得数列与接近；
是一个与接近的数列，
可得，
数列的前四项为：，，，，
可得，，，，
可能与相等，与相等，但与不相等，与不相等，
集合2，3，，
M中元素的个数或4；
是公差为d的等差数列，若存在数列满足：与接近，可得，
若，取，可得，
则，，，中有200个正数，符合题意；
若，取，则，，
可得，
则，，，中有200个正数，符合题意；
若，可令，，
则，
则，，，中恰有100个正数，符合题意；
若，若存在数列满足：与接近，
即为，，
可得，
，，，中无正数，不符合题意．
综上可得，d的范围是．。