则称ϕ1、ϕ２Lϕ n 线性相关；
(ii) 若 c1ϕ1 + c2ϕ 2 + L + cnϕ n ≡ 0
仅当
c1
才成立，则称
ϕ=1c、2
=L= ϕ２Lϕ
cn
n
≡0
线性无关。
（２） 线性空间的维数
若线性空间Ｅ满足
（i）任意 n+1 个元素一定线性相关。
（ii）存在着 n 个线性无关的元素。
则称线性空间Ｅ的维数为 n。
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosα ≤ a ⋅ b
上式为 Euclid 空间的三角不等式，此式仅是 Schwarz 不等式的一个特例。 ５、收敛性与完备性 （1）收敛性
∀ 点列{xn } ∈E（赋范线性空间），若存在
lim xn − x0 = 0
n →∞
则，x0 称为点列{xn }的强极限，读作：{xn }强收敛于 x0 ，注意模的定义不同收敛的涵
c1ϕ1 + c2ϕ 2
c1ϕ1′ + c2ϕ 2′
第 1 页 共 17 页
有限元分析与应用
霍战鹏
也在（a, b）上连续。所有函数本身及一阶导数都在（a, b）上连续的函数组成一种线性空
间，记作 C1[a, b]。 例４ Rn n 维欧氏空间是线性空间，R2（二维平面）, R3（三维空间）是 n 维欧氏空
形的项点为结点，以结点处的函数值对单元内的位移场进行分片线性插值。根据第 3-4 节的
分析可知，对于这样定义的函数 u(x,y)在Ω上连续，且积分
y
∫∫ ∫∫ ∫∫ Ω
u 2dxdy
、
Ω
∂u ∂x
2 dxdy
、
Ω
∂u ∂y
2 dxdy
存在。
在单元边界和结点处，通常意义下 ∂u ∂x 、∂u ∂y 不存在。
义导数的空间就是完备的线性空间，由于在通过结点时 u′ 不连续，有限跳跃量， u′′ 在结点
处为δ—函数。δ—函数本身可积，但平方不可积。我们可以得到这样的结论：对于分段线
性插值的函数 u(x)而言：u∈H1(0, L)，但 u∉H2(0, L)。 （２）设Ω为一平面二维区域，将Ω分成若干三角形的片（单元）（图 4-3）。取各三角
例１ 在平面Ｒ２内，向量 x（x1, x2）可以有下列三种模的定义
x= 2
x12
+
x
2 2
x 1
=
x1
+
x2
{ } x ∞
= max
x1 ,
x2
例２ 设 x, y ∈E 则，x－y 的模可以表示这两个元素的“接近程度”，若在 R2 空间中的
两个元素，x (1,1), y (2, 4) 可以有如下模的定义
（可加性） (u, u)=0。
定义了内积的线性空间称为内积空间。
例 ∀ u(x), v(x) ∈C2[a, b] 至少存在以下四种形式的内积
(u,
v)
=
b
∫a
u
⋅
vdx
(u,
v)
=
b
∫a
[u
⋅
v
+
u′
⋅
v′]dx
(u,
v)
=
∫b a
[u
⋅
v
+
u′
⋅
v′
+
u′′
⋅
v′′]dx
(u,
v)
=
b
∫a
ρ
(x
)⋅
b
u = ∫ ρu ⋅ udx a
而 u、v 正交则意味着
b
(u, v) = ∫ ρu ⋅ vdx = 0
a
即通常理解的 u、v 以ρ为权正交。
４、Schwarz 不等式
设 u、v 是内积空间的两个元素，t 为任一实数，则 tu-v 也是内积空间的一个元素，显
然，它自身的内积
(tu − v,tu − v) ≥ 0
许多数学物理问题的解存在于某一类函数空间中。换句话来说为了得到有意义的 解，必需明确解的存在空间。即对组成解的函数的类型作一限定。值得注意的是，如果 限制的过于严格会将一些解排除在外，限制过宽可能导致解无意义。有限元解的存在空 间为索伯列夫空间，是 Hilbert 空间的子空间。
§4-3 索伯列夫空间 HK
( ) ≤ 2 c12ϕ12 (x) + c2 2ϕ 2 2 ( x) 2
所以 c1ϕ1 ( x) + c2ϕ 2 (x) 也是（a, b）上平方可积的函数。所有（a, b）上平方可积的函数
组成一个线性空间，记作 L2 (a, b) 。 例３ C1[a,b]
若 ϕ1 (x) 、ϕ1′(x) 、ϕ 2 (x)、ϕ 2′ (x) 在[a, b]上连续，则
故定义在[a, b]上的所有连续函数组成一个线性空间。记作 C[a, b]。
例２ L2（a,b）
若ϕ1 ( x) 、ϕ 2 ( x)是（a, b）上平方可积的函数，即
存在，则
b
b
∫ ∫ ϕ1 (x)2 dx ， ϕ 2 (x)2 dx
a
a
(c1ϕ1 ( x) + c2ϕ 2 (x))2
= c12ϕ12 ( x) + c2 2ϕ 2 2 (x) + 2c1c2ϕ1 ( x)ϕ 2 ( x)
则模
b
∫ u = u ⋅ udx = u L2 a
而 u、v 正交则意味着 b ∫ u ⋅ vdx = 0 a
例如在[0, π]上当 m≠n 时 sinmx 与 sinnx 正交。
第 4 页 共 17 页
有限元分析与应用
霍战鹏
例２ 若ρ>0 且积分 存在，也可定义 则模
b
∫ ρu ⋅ vdx
a
b
(u, v) = ∫ ρu ⋅ vdx a
(iii) 对任意 x、y∈E 有 ‖x+y‖≤‖x‖＋‖y‖ （此式又称三角不等式）。
只要满足这些要求，均可作为一种模的定义。‖x‖描述了元素 x 的“大小”，‖x-y‖
第 2 页 共 17 页
有限元分析与应用
霍战鹏
则描述了两个元素 x、y 之间的“距离”。设真实解为 u，有限元解为 uh，如果当网格无限细 分时有‖u-uh‖→0，则说明有限元解收敛于真实解。模的定义不同，收敛的意义也不同。
y (2,4)
x−y = 2
(x1 − )y1 2 + (x2 − ) y2 2 =
10
x− y 1
=
x1 − y1
+
x2
− y2
=4
{ } x − y ∞ = max x1 − y1 , x2 − y2 ＝3
可见模的定义不同，其意义不同, 在实数域内，
10 3
x１ (1,1)
模 x 与绝对值 x 是等价的。
（iii） (α + β )x = αx + βx （iv） α (x + y) = αx + αy
若Ｋ为实数域则Ｅ称为实线性空间，Ｋ为复数域则Ｅ称为复线性空间。
例１ C[a,b]
若 ϕ1 ( x)、ϕ 2 ( x) 是[a, b]上的连续函数，则 c1ϕ1 + c2ϕ 2 也是[a, b]上的连续函数。
u − v = (u − v,u − v)
３、正交性
内积空间与一般线性空间的不同之处是可以用内积来定义两个元素之间的正交关系，函
数之间的“正交”。
若（ u、v）＝０ 则称 u、v 正交。显然，模及正交性涵义取决于内积的定义。
例１ 若积分 存在，则可定义
b
∫ u ⋅ vdx
a
b
(u, v) = ∫ u ⋅ vdx a
u
⋅
vdx
其中 ρ(x)是[a, b]上的给定函数。
２、内积模 对于内积空间，可以直接利用内积来定义元素的模
u = (u,u)
模的定义并不是唯一的，如果确有必要，我们仍然可以再定义其他形式的模（例如一致 模）。但对于内积空间用得最多的当然是由内积定义的模。
在内积空间Ｅ中， ∀u,v ∈ E ，u 与 v 之间的距离可用内积模表示为
例１ 若 ϕ1、ϕ２Lϕ n 线性无关，则所有形式为
c1ϕ1 + c2ϕ 2 + L + cnϕ n
的试探函数组成 n 维线性空间。而所有形式为
n
∑ u = uiϕi i =1 n
∑ v = viϕ i i =1
的位移场则组成 2n 维线性空间。
例２ 由于可以找出任意多个线性无关的连续函数（例如：１、x、x 2 L x n L ），
图４－１
（２）两种常用的模
下面是最常见、也是具有代表性的两种模
① 一致模 若 u∈C[a, b]，则 u 必在[a, b]上取到最大值和最小值，故可按如下方式定
义一致模‖u‖∞。
u ∞ = max u a ≤ x≤b
② L2 模
若 u∈L2(a, b) 则
b
∫ L2 = u 2dx a
存在，可以按如下方式定义 L2 模
间的特例。
例５ Pn(x) [a,b] 定义在[a,b]上的 n 次多项式 Pn(x) [a,b]⊂C[a,b] ２、线性空间的维数
构成线性空间。
（１）线性相关与线性无关
设 ϕ1、ϕ２Lϕ n 为线性空间Ｅ的 n 个元素 （i）若存在不全为零的常数 c 1、 c 2… c n 使得
c1ϕ1 + c2ϕ 2 + L + cnϕ n ≡ 0
v 的内积，记作（u、v），且满足
(i) （ u、v）＝（v、u）
（对称性）
第 3 页 共 17 页
有限元分析与应用