11级第一次(作业)请充分利用网络、本校及外校图书馆的相关资料，同时联系相关专业的老师，调查关于固体物理的简史、发展趋势以及当代的热门前沿课题(针对自己感兴趣的某个方面)，形成一份报告，阐述自己的看法，要求2000字以上。

(已经在第一次课布置，11月1日前后上交)11级固体物理第2次习题和思考题1.在结晶学中，我们课堂上讲的单胞，也叫元胞，或者叫结晶学原胞，也叫晶胞，试回忆一下晶胞是按晶体的什么特性选取的？答：在结晶学中，晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。

2.解释Bravais 点阵并画出氯化钠晶体的结点所构成的Bravais 点阵。

答：晶体的部结构可以概括为由一些相同的结点构成的基元在空间有规则的作周期性的无限分布，这些结点构成点阵，如果基元只由一个结点构成，这种点阵称为Bravais 点阵。

氯化钠晶体的Bravais 点阵可参照书p8的图1-13，点阵的结点由钠离子和氯离子组成。

3.说明金刚石结构是复式点阵的原因。

答：金刚石结构可这样描述：面心立方的体心向顶角引8条对角线，在互不相邻的四条对角线中点，各有一个原子。

以金刚石为例，顶角和面心处的原子周围情况和对角线上的原子周围情况不相同，因而金刚石结构是复式晶格，可看作两套面心立方子晶格沿体对角线移开1/4体对角线长度而成。

Bravais 点阵包含两个原子。

4.体心立方点阵和面心立方点阵互为正、倒格子，试证明之。

答：面心立方的三个基矢为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=)(2)(2)(2321i k a a k j a a j i a a ρρρρρρρρρ其体积为43a ，根据倒格矢的定义得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=⨯⋅⨯=++-=⨯⋅⨯=+-=⨯⋅⨯=)(2)(2)(2)(2)(2)(2321213321132321321k j i a a a a a a b k j i a a a a a a b k j i a a a a a a b ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρππππππ 可见，除了系数不同之外，方向正好是体心立方的晶格基矢。

反之亦然。

5、翻看资料，试画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。

(1)氯化铯； (2)硅； (3)砷化镓； (4)硫化锌答：(1)氯化铯为简单立方，氯离子处于立方的顶角组成子晶格，铯离子处于立方的顶角组成 子晶格，两套子晶格沿着体对角线移开一半体对角线长度，使得氯离子子晶格的体心 恰好有一个铯离子，铯离子子晶格的体心恰好有一个氯离子。

元胞就是简单立方。

一 个元胞里有一个氯离子和一个铯离子；配位数为6。

(2)硅为复式格子，硅原子组成面心立方子晶格，两套子晶格沿体对角线移开1/4体对角线长度，形成金刚石结构。

初基元胞就是面心立方，一个元胞里有两个硅原子。

配位数为4。

(3)、(4)砷化镓和硫化锌的结构相同，属于闪锌矿结构，晶格实际上是金刚石结构，只是原子不同类。

图略，参见书p5~6的图1-8、1-9、1-106.用倒格矢的性质证明，立方晶格的(hcl )晶向与(hcl )晶面垂直。

答：根据倒格矢的性质，对应于(hcl )晶面的倒格矢为：321b l b c b h G hcl ρρρρ++=，它垂直于(hcl )晶面；而(hcl )晶向为：321a l a c a h N hcl ρρρρ++=。

根据倒格矢与正格矢的关系即倒格矢的定义可知：在立方晶格中，)3,2,1(//=i b a i i ρρ，大小成比例，所以立方晶格的(hcl )晶向与(hcl )晶面垂直。

7.若轴矢、、a b c 构成简单正交系，证明，晶面族(h 、k 、l )的面间距为2222)()()(1c l b k a h hkld ++=答：设晶面族(h 、k 、l )的公共法线的单位矢量为n ρ，则：hkl hkl hkl ld n c kd n b hd n a =⋅=⋅=⋅ρρρρρρ、、即：hkl hkl hkl ld n c c kd n b b hd n a a =⋅=⋅=⋅)cos()cos()cos(ρρρρρρ、、d hkl 为面间距，整理后结论即得证明。

8.基矢为a 1=a i ，a 2=a j ，a 3=2a (i +j +k )的晶体为何种结构？若a 3=2a (j +k )+23a i ，又为何种结构？为什么？ 答：由已知条件，可计算出晶体的原胞的体积Ω= a 1·a 2×a 3=23a 。

由原胞的体积推断，晶体结构为体心立方。

构造新的矢量：u =a 3-a 1=2a(-i +j +k )， v =a 3-a 2=2a(i -j +k )，w =a 1+a 2-a 3=2a(i +j -k )。

u ，v ，w 对应体心立方结构，可以验证，u ，v ，w 满足选作基矢的充分条件。

可见基矢为a 1=ai ，a 2=aj ，a 3=2a(i +j +k )的晶体为体心立方结构。

若a 3=2a (j +k )+23ai ，则晶体的原胞的体积Ω= a 1·a 2×a 3=23a ，该晶体仍为体心立方结构。

9.利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为(1)简单立方6π；(2)体心立方83π；(3)面心立方62π；(4)六角密积62π；(5)金刚石163π。

答：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：6)2(3413413333πππα=⋅=⋅=R R a R（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数3/4R a =，则体心立方的致密度为：83)3/4(3423423333πππα=⋅=⋅=R R a R（3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 22=，则面心立方的致密度为：62)22(3423443333πππα=⋅=⋅=R R a R（4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R，则原胞的晶体学常数R a 2=，R a c )3/64()3/62(==，则六角密积的致密度为：62)3/64(4)2(363464363462323πππα=⋅⋅=⋅⋅=RR R c a R（5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a )3/8(=，则金刚石的致密度为：163)3/8(34834833333πππα=⋅=⋅=RR a R10.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。

答：体心立方格子的基矢为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=+-=++-=)(2)(2)(2321k j i a k j i a k j i a a a a根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=Ω⨯=+=Ω⨯=+=Ω⨯=)(2][2)(2][2)(2][2213132321j i a a b k i a a b k j a a b a a aππππππ 由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。

同理可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。

11、对于六角密积结构，固体物理学原胞基矢为j i a a a 2321+=j i a a a 2322+-=k a c =3试求倒格子基矢。

答：根据倒格子基矢的定义可知：][2321321a a a a a b ⨯⋅⨯=π)]()232[()232()()232(2k j i j i k j i c a a a a c a a ⨯+-⋅+⨯+-=π c a acac 2232232j i +=π＝)32(2j i +a π][2321132a a a a a b ⨯⋅⨯=π)]()232[()232()232()(2k j i j i j i k c a aa a a ac ⨯+-⋅++-⨯=π c a acac 2232232j i +-=π＝)32(2j i +-a π][2321213a a a a a b ⨯⋅⨯=π)]()232[()232()232()232(2k j i j i j i j i c a a a a a a a a ⨯+-⋅++-⨯+=π c a a 2223232kπ==k c π212、一晶体原胞基矢大小a =4Å、b =6 Å 、c=8 Å，基矢间夹角α=β=90°，γ=120°。

试求：(1)、倒格子基矢的大小； (2)、正、倒格子原胞的体积； (3)、正格子(210)晶面族的面间距。

答：(1) 由题意可知，该晶体的原胞基矢为：ai =1a)2321(2j i a +-=bk a c =3由此可知：][2321321a a a a ab ⨯⋅⨯=π=abc bc 23)2123(2j i +π=)31(2j i +a π][2321132a a a a ab ⨯⋅⨯=π=abc ac 232j π=322⋅b π ][2321213a a a a a b ⨯⋅⨯=π=abc ab23232kπ=k ⋅c π2所以1b ＝22)31(12+⋅a π＝110108138.134-⨯=m aπ2b ＝2)32(2⋅b π＝110102092.134-⨯=m bπ3b ＝212⋅cπ＝110107854.02-⨯=m cπ(2) 正格子原胞的体积为：][321a a a ⨯⋅=Ω＝)]()2321([)(k j i i c b a ⨯+-⋅＝328106628.123m abc -⨯=倒格子原胞的体积为：][321b b b ⨯⋅=Ω*＝)](2)32(2[)31(2k j j i c b a πππ⨯⋅+＝3303104918.1316-⨯=m abc π (3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为：hh d K π2==3210122b b b ++π=j i )3434(42ba a ππππ++=m ba a 1022104412.1)3131()1(142-⨯=++⋅ππ13.教科书p16面的公式(1-5)是用正基矢a 1、a 2、a 3表示倒基矢b 1、b 2、b 3的，试用倒基矢b 1、b 2、b 3来表示正基矢a 1、a 2、a 3。

答：231122331122123123223121311231212221(2){2}{2}[()()][][](2)(2){[()][()]}[()](2)ππππππ⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯⋅⨯⋅⨯Ω=⨯⋅-⨯⋅=⨯⋅ΩΩ=Ωa a a a b b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a因为*2πΩ=Ω所以*1232321(2)2ππΩ=⨯=⨯Ωa b b b b 同理*2312πΩ=⨯a b b 、*3122πΩ=⨯a b b ，其中Ω*是倒原胞体积。