福州大学数学与计算机科学学院
《计算机算法设计与分析》上机实验报告（2）
i<=k<j,则：m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。

由于在计算是并不知道断开点k的位置，所以k还未定。

不过k的位置只有j-i个可能。

因此，k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。

综上，有递推关系如下：
若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。

s[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为
(A[i:k])(A[k+1:j)。

从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，进一步递推，A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为
(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]] )。

同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在
s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去，最终可以确定
A[1:n]的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。

3、动态规划迭代算法设计：
用动态规划迭代方式解决此问题，可依据其递归式自底向上的方式进行计算。

在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。

每个子问题只计算一次，而在后面需要时只需简单检查一下，从而避免了大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。

4、算法代码：
1.//3d1-2 矩阵连乘动态规划迭代实现
2.//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25
3.//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
4.#include "stdafx.h"
5.#include <iostream>
ing namespace std;
7.
8.const int L = 7;
9.
10.int MatrixChain(int n,int **m,int **s,int *p);
11.void Traceback(int i,int j,int **s);//构造最优解
12.
13.int main()
14.{
15.int p[L]={30,35,15,5,10,20,25};
16.
17.int **s = new int *[L];
18.int **m = new int *[L];
19.for(int i=0;i<L;i++)
20. {
21. s[i] = new int[L];
22. m[i] = new int[L];
23. }
24.
25. cout<<"矩阵的最少计算次数为：
"<<MatrixChain(6,m,s,p)<<endl;
26. cout<<"矩阵最优计算次序为："<<endl;
27. Traceback(1,6,s);
28.return 0;
29.}
30.
31.int MatrixChain(int n,int **m,int **s,int *p)
32.{
33.for(int i=1; i<=n; i++)
34. {
35. m[i][i] = 0;
36. }
37.for(int r=2; r<=n; r++) //r为当前计算的链长（子问题规
模）
38. {
39.for(int i=1; i<=n-r+1; i++)//n-r+1为最后一个r链的
前边界
40. {
41.int j = i+r-1;//计算前边界为r，链长为r的链的后
边界
42.
43. m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];//将链
ij划分为A(i) * ( A[i+1:j] )
44.
45. s[i][j] = i;
46.
47.for(int k=i+1; k<j; k++)
48. {
49.//将链ij划分为( A[i:k] )* (A[k+1:j])
50.int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]
*p[j];
51.if(t<m[i][j])
52. {
53. m[i][j] = t;
54. s[i][j] = k;
55. }
56. }
57. }
58. }
59.return m[1][L-1];
60.}
61.
62.void Traceback(int i,int j,int **s)
63.{
64.if(i==j) return;
65. Traceback(i,s[i][j],s);
66. Traceback(s[i][j]+1,j,s);
67. cout<<"Multiply A"<<i<<","<<s[i][j];
68. cout<<" and A"<<(s[i][j]+1)<<","<<j<<endl;
69.}
上述迭代算法的运行过程如下图所示：
当R=2时，先迭代计算
出： m[1:2]=m[1:1]+m[2:2}+p[0]*p[1]*p[2]；
m[2:3]=m[2:2]+m[3:3]+p[1]*p[2]*p[3];。