习 题 2.14. 一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。

试写出定解问题。

解：由题意可知定解问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-=-<<===========)(,)/(,)0(,0,00,0)/(000002L x L I u L x u u u u u a u Y u t t t t t x x x xx xxtt εερερ习 题 2.23. 设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡—玻尔兹曼定律正比于u 4，即d Q =k u 4d S d t ，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数 ),,,(t z y x ϕ。

试写出边界条件。

解：由题意可知：dsdt u dsdt nuk)(44ϕσ-=∂∂- ∴边界条件为：)(44ϕσ--=∂∂u knu s习 题 2.34. 由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰=⋅VSV S E d 1d 0ρε，求证：0▽ερ=⋅E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。

证明：由题意可知由静电场高斯定理：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==⋅VSVV V divE S E d 1d d 0ρε∴ 00▽ερερ=⋅⇒=E divE 习 题 2.42. (1) 032=-+yy xy xx u u u 解：由题意可知：△=12－1×(-3)=4﹥0 => 双曲型03d d 2d d 2=--⎪⎭⎫⎝⎛x y x y => 3d d =x y 或 -1 令 ⎩⎨⎧+=-=yx yx ηε3则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=1113 y x y x Q ηηεε => ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''''08801113311111132212121122121211 T Q a a a a Q a a a a 00b 0b 21='='=-='=-='f c c L c L ηηεε∴ )()3()()(016y x g y x f g f u u ++-=+=⇒=ηεεη (5) 031616=++yy xy xx u u u 解：由题意可知：△=82－16×3=16﹥0 => 双曲型03d d 16d d 162=+-⎪⎭⎫⎝⎛x y x y =>43d d =x y 或 41 令 ⎩⎨⎧-=-=y x yx 443ηε则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=4143y x y x Q ηηεε => ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''''03232044133881641432212121122121211 T Q a a a a Q a a a a 00b 0b 21='='=-='=-='f c c L c L ηηεε∴ )4()43()()(064y x g y x f g f u u -+-=+=⇒=-ηεεη习 题 2.52.试证明：若),,(τt x V 是定解问题⎪⎩⎪⎨⎧====><<=-====),(,00,0,0,002ττττx f V V V V t L x V a V t t t L x x xx tt的解，则⎰=td t x V t x u 0);,(),(ττ是定解问题⎪⎩⎪⎨⎧====><<=-====0,00,00,0),,(0002t t t L x x xx tt u u u u t L x t x f u a u的解。

证明：由题意可知：00==t u 0);0,(0===τx V u t t其次，因),,(τt x V 是齐次定解问题的解，因此，0,00====L x x u u∴ ⎰=td t x V t x u 0);,(),(ττ是定解问题⎪⎩⎪⎨⎧====><<=-====0,00,00,0),,(0002t t t L x x xx tt u u u u t L x t x f u a u的解。

习 题 2.61. (3) 证明公式：)0()()(≠=a ax ax δδ证明：由题意可知：1)()(1)()(=⇒=⎰⎰+∞∞-+∞∞-x d ax a ax d ax δδ且 1)()(=⎰+∞∞-x d x δ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=)()()()(x d ax x d ax δδ∴ )0()()(≠=a ax ax δδ习 题 3.13. (4) []⎪⎩⎪⎨⎧=+'==+''==0,0002L x x hX X X X Xβ解：由题意可知：可分为两种情况来讨论（令2βλ=）a) 当02==βλ时，方程0=''X 的通解为X(x)=Ax+B. （A 、B 为任意常数） 代入边界条件得X(0)= B=0 [X ´(L)+hX(L)]=A+h(AL+B)=0 => (1+hL) A=0b) 当02>=βλ时，方程0=+''X X λ的通解为x x x X λλBsin Acos )(+=.（A 、B 为任意常数） 代入边界条件得 X(0)=A=0[]L hBsin L hAcos L cos B L sin A(L)(L)λλλλλλ+++-=+'hX X=> 0L hBsin L cos B =+λλλ => hL tg λλ-=∴ 边值问题的固有值n λ为 hL tg λλ-=的正根。

相应的固有函数为 x x X n n n λsin B )(=7. 一根长为L 的杆，一端固定，另一端受力F 0而被拉长。

求杆在去掉F 0时的振动。

设杆的截面积为S ，杨氏模量为Y 。

解：由题意可知定解问题为：⎪⎩⎪⎨⎧====><<=====0,)(0,00,0,00002t t t L x x x xx tt u x SY F u u u t L x u a u=> ⎩⎨⎧='==+'' 0)L (,0)0(0X X X X λ=> 当0< λ时，边值问题只有零解。

当0= λ时， X(x)=Ax+B. 当A=0，B ≠0时，方程满足条件。

当0> λ时， x x x X λλBsin Acos )(+=. （A 、B 为任意常数） 代入边值条件得： X(0)= A=0，0L cos B )(=='λλL X =>2)12(πλ+=n L(n=0,1,2··)则固有值为2224)12(L n n πλ+= ，相应固有函数为x Ln x X n n 2)12(sin B )(π+=（B n 为任意非零常数） ∴x Ln L at n L at n t x u n n n 2)12(sin ]2)12(sin D 2)12(cosC [),(0πππ++++=∑∞= (n=0,1,2··)代入初始条件为：∑∑∞=∞=++==+==002)12(sin 2)12(D )()0,(,2)12(sin C )()0,(n n t n n x L n L a n x x u x L n x x u ππψπϕ=> ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅=+-=+=⎰⎰L n L n n d L n a n L L n SY LF d L n L 0022002)12(sin )(2D )12()1(82)12(sin)(2C ξπξξψππξπξξϕ∴ ∑∞=+++-=02202)12(sin 2)12(cos )12()1(8),(n n L xn L at n n SY LF t x u πππ (n=0,1,2··) 习 题 3.22. 一根长为L 的细杆侧面和两端绝热，初始时刻细杆上的温度为)(x ϕ。

求细杆上的温度变化的规律。

其定解问题为：⎪⎩⎪⎨⎧===><<====)(0,00,0,002x u u u t L x u a u t L x x x x xx t ϕ解：由题意可知定解问题的固有值问题为：⎩⎨⎧='='=+'' 0)L (,0)0(0X X X X λ => 当0< λ时，边值问题只有零解。

当0= λ时， X(x)=Ax+B. 当A=0，B=0时，边值问题只有零解。

当0> λ时， x x x X λλBsin Acos )(+=. （A 、B 为任意常数） 代入边值条件得：0)0(=='B X λ，0L sin A )(=='λλL X =>πλn L = (n=0,1,2··)∴固有值为222L n n πλ= ，相应固有函数为x Ln x X n n πcos A )(=（A n 为任意非零常数）又 t a n n n e t T t T a t T 2C )(0)()(2λλ-=⇒=+' ∴ x Ln et x u tL a n n ππcos A ),(2222-= ， ⎰=L n d L n L 0cos )(2A ξξπξϕ习 题 3.34. 求解圆域内Laplace 方程Neumann 问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂<<-<<=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=)(,0,011222θρπθπρθρρρρρρf uR uu R 解：由题意可知Laplace 方程一般解为：∑∞=++=100)sin cos (2),(n n n nn b n a a u θθρθρ 其中0a 为任意常数⎰--=ππθθθπd n f R n a n n cos )(11，⎰--=ππθθθπd n f Rn b n n sin )(11 （n=1,2，··） 习 题 3.42. 一个长、宽各为a 的方形膜，边界固定，膜的振动方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<<<+=====0,0,0),(002a y y a x x yy xx tt u u u u t a y a x u u k u 求方形膜振动的固有频率。

解：由题意可知将定解问题进行时空分离和空间变量分离：相应空间固有值问题的固有值为()2222m nanm +=πλ求解关于T(t)的常微分方程，可得通解为：t m n at m n at T )(sinB )(cosA )(22mn 22mn +++=ππ∴相应的方形膜振动的固有频率am n m n af nm2)(2)(2222+=+=υυππ习 题 3.52. 求解定解问题：⎪⎩⎪⎨⎧===><<=+-===-00020,00,0,0T u u u t L x Ae u a u t L x x x xx tα 其中，T 0是常数。