求得牟合方盖的体积，然后利用刘 徽的结果，得到了球体积公式。
祖暅还明确总结出了“幂势既 同，则积不容异”这样一条求 积原理。该原理现被称为“祖 暅原理”。事实上，刘徽也使 用过这一原理，只是未能将其 概括为一般形式。这一原理在 西方被称为卡瓦列里原理，但 他17世纪前叶才提出，比祖暅
迟了1100多年。
[鸡兔同笼]今有雉兔同笼，上
有三十五头，下有九十四足。
问雉、兔各几何？答曰：雉二
十三，兔一十二。
孙
术曰：上置头，下置足，半其
子
足，以头除足，以足除头，即
算
得。
经
[物不知数]今有物，不知其数。
三三数之，剩二；五五数之剩
三；七七数之，剩二。问物几

何？答曰：二十三。
明代数学家程大位的《算法统
宗》中所载的“孙子歌”以诗
弦 图
《九章算术》成书于公元前后，
是我国最重要、影响最深远的
一本数学著作。后世不少人，
如刘徽、祖冲之、李淳风等人
九
均对《九章算术》作过注。特
章
别是刘徽的注，加进了不少自
算 术
己的精辟见解，阐述了重要的
数学理论。《九章算术注》是 《九章算术》得以流芳百世的
重要补充和媒介。
日本数学家小苍金之助把《九
元
《详解九章算法》（杨辉）、
数
《益古演段》（李冶）和《四
学
元玉鉴》（朱世杰）等
问题：求满足的
N r 1 ( m o d p 1 ) r 2 ( m o d p 2 ) ...... r n ( m o d p n )
大
最小自然数N。
衍
◆设 M pi， Mi M/ pi
总
求乘率 M
i
使
MiMi 1(modpi)
是把《周髀算经》看作具有周
代的骨架加上汉代的皮肉。”
昔者周公问于商高曰：“窃闻
于大夫善数也，请问古者包牺
立周天历度，夫天不可阶而升，
地不可得尺寸而度，请问数安
勾
从出？”商高曰：“数之法出
股
于圆方，圆出于方，方出于矩，
定 理
矩出于九九八十一。故折矩， 以为勾广三，股修四，径隅 五。”
《周髀算经》中荣方与陈子的
中国古代数学的主要成就
《周髀(音同“币”)算经》是我
国最早的天文著作，系统地记
载了周秦以来适应天文需要而
周
逐步积累的科技成果。该书的
髀
主要内容是周代传下来的有关 测天量地的理论和方法。
算 经
《周髀算经》也是中国最古的 算书，成书确切年代没有定论，
一般认为在公元前2、3世纪。
李约瑟认为：“最妥善的办法
史料上没有关于祖冲之推算圆周
率方法的记载，一般认为是沿用
了刘徽的“割圆术”。刘徽用
“割圆术”从圆内接正六边形出 发，算到圆内接正192边形，得到 圆周率约为3.14124，如果用这一 方法算到圆内接正24576边形，便
得到圆周率在3.1415926和 3.1415927之间。祖冲之在圆周率
的计算方面领先于西方近千年。 为了纪念祖冲之的贡献，20世纪
数
则总数
章算术》说成是中国的《几何
原本》。吴文俊教授也认为，
《九章算术》和刘徽的《九章
九
算术注》，在数学的发展历史
章
中具有崇高的地位，足可与希
算
腊的《几何原本》东西辉映，
术
各具特色。
《九章算术》全书共分9章，
246道题，体例采用问题集形
式。
刘徽，公元3世纪魏晋时人，
刘
于公元263年撰《九章算术 注》。该书包含了刘徽本人的
冲
公府参军，都是地位不高的小官，
之
但他却成为历代为数不多能名列正 史的数学家之一。
的
祖冲之最大的数学成就是对圆周率
数
的精确计算。得出了圆周率的上限
学
3.1415927（盈数），下限 3.1415926（肭数）。另外还得出了
成
圆周率的两个分数形式的近似值约
就
率22/7，和密率（祖率）355/113。
出于官方数学教育的需要，唐
高宗亲自下令对以前的数学著
作进行整理。公元656年由李
淳风负责编定了算经十书：
算
《周髀算经》、《九章算术》、
经
《孙子算经》、《五曹算经》、
十 书
《张邱建算经》、《夏候阳算 经》、《缉古算经》、《海岛 算经》、《五经算术》和《缀
术》，后因《缀术》失传，而
以《数术记遗》替代。
歌形式介绍了物不知数问题的
解法：“三人同行七十稀，五
孙
树梅花廿一枝，七子团圆整半 月，除百零五便得知。”
子 歌
这一问题的解法后经秦九韶推
广到一般情形，被称为“孙子
定理”，又称为“中国剩余定
理”。
宋元时期（960-1368）的杰出
数学家秦九韶、杨辉、李冶、 朱世杰被称为“宋元四大家”。
宋
宋元时期的数学代表著作有 《数书九章》（秦九韶）、
的日本天文学家将自己发现的一 颗行星以祖冲之的名字命名。
从东汉以来，有关球体积的计算公 式，经过张衡、刘徽等人的努力， 最后由祖冲之和他的儿子祖暅完成， 成为中国数学史上的一件大事。祖 氏父子的这一成就，被唐代李淳风 记录在自己的《九章算术注》中， 才使人们得以了解其具体的研究方
法。祖氏父子利用“两等高几何体， 若在任意同一高度上的截面积均相 等，则它们的体积相等”这一原理，
一段对话中，则包含了勾股定
勾
理的一般形式。
股
陈子曰：“若求邪至日者，以
定
日下为勾，日高为故，勾、股
理
各自乘，并而开方除之，得邪 至日，…”
《周髀算经》主要是以文字形式叙述 了勾股算法。中国古代最先完成勾股
定理证明的数学家是三国时期的赵爽
（公元3世纪）。赵爽为《周髀算经》 作注时，所作的“勾股圆方图注”中 给出了“弦图”，相当于运用面积的 出入相补证明了勾股定理。
刘徽的面积、体积理论建立在一 条简单而又基本的原理之上，这
就是“出入相补原理”：一个几 何图形被分成若干部分后，面积 或体积的总和保持不变。刘徽利
用这条原理成功地证明了《九章 算术》中的许多面积公式。
祖冲之（公元429—500）活跃于南
祖
朝宋、齐时代，出生于历法世家， 本人做过南徐州（镇江）从事史和
徽
许多创造，其中最突出的成就
的
是“割圆术”和求积理论。
数
割圆术的要旨是用圆内接正多 边形去逐步逼近圆。刘徽从圆
学
内接正六边形出发将边数逐次
成 就
加倍，计算每次得到的正多边 形周长和面积。他指出：“割 之弥细，所失弥少，割之又割，
以至于不可割，则与圆合体而
无所失矣。”
刘徽用“割圆术”从圆内接正六 边形出发，算到圆内接正192边形， 得到圆周率约为3.14124，其精确 到小数点后两位的近似值 3.14=157/50，被称为“徽率”。