第1讲 六招求解选择题[题型分析·高考展望] 选择题是高考试题的三大题型之一，其特点是：难度中低，小巧灵活，知识覆盖面广，解题只要结果不看过程．解选择题的基本策略是：充分利用题干和选项信息，先定性后定量，先特殊再一般，先排除后求解，避免“小题大做”．解答选择题主要有直接法和间接法两大类．直接法是最基本、最常用的方法，但为了提高解题的速度，我们还要研究解答选择题的间接法和解题技巧．高考必会题型方法一 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．例1 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，线段BF 与双曲线的一条渐近线交于点A ，若F A →＝2AB →，则双曲线的离心率为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 答案 D解析 设点F (c,0)，B (0，b )，由F A →＝2AB →，得OA →－OF →＝2(OB →－OA →)， 即OA →＝13(OF →＋2OB →)，所以点A (c 3，2b 3)，因为点A 在渐近线y ＝ba x 上，则2b 3＝b a ·c3，即e ＝2.点评 直接法是解答选择题最常用的基本方法，直接法适用的范围很广，一般来说，涉及概念、性质的辨析或运算比较简单的题多采用直接法，只要运算正确必能得出正确的答案．提高用直接法解选择题的能力，准确地把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，在稳的前提下求快，一味求快则会快中出错．变式训练1 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 由图可知，T 2＝11π12－5π12，即T ＝π，所以由T ＝2πω可得，ω＝2，所以函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 又因为函数图象过点(5π12，2)，所以2＝2sin(2×5π12＋φ)，即2×5π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又因为－π2<φ<π2，所以φ＝－π3.方法二 特例法特例法是从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等．例2 (1)已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B ·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( ) A.32 B. 2 C ．1 D.12(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 均不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24) 答案 (1)A (2)C解析 (1)如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点，AO →＝23AD →，则有13AB →＋13AC →＝2m ·AO →， ∴13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，∴13·2AD →＝43mAD →，∴m ＝32，故选A. (2)不妨设0<a <1<b ≤10<c ，取特例， 如取f (a )＝f (b )＝f (c )＝12，则易得a ＝10－12，b ＝1012，c ＝11，从而abc ＝11，故选C.点评 特例法具有简化运算和推理的功效，用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．变式训练2 (1)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2,3，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( ) A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2(2)如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1D.3∶1答案 (1)C (2)B解析 (1)因为a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)， 所以令n ＝3，代入得a 5·a 1＝26， 再令数列为常数列，得每一项为8， 则log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＝9＝32. 结合选项可知只有C 符合要求．(2)将P 、Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有111111,3C AA B A ABC ABC A B C V V V ==－－－故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分的体积之比为2∶1. 方法三 排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确答案．例3 (1)函数f (x )＝2|x |－x 2的图象为( )(2)函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－22，0 B ．[－1,0] C ．[－2，－1] D.⎣⎡⎦⎤－33，0 答案 (1)D (2)B解析 (1)由f (－x )＝f (x )知函数f (x )是偶函数， 其图象关于y 轴对称，排除选项A 、C ； 当x ＝0时，f (x )＝1，排除选项B ，故选D. (2)令sin x ＝0，cos x ＝1， 则f (x )＝0－13－2×1－2×0＝－1，排除A ，D ；令sin x ＝1，cos x ＝0，则f (x )＝1－13－2×0－2×1＝0，排除C ，故选B.点评 排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．变式训练3 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2](2)(2015·浙江)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )答案 (1)D (2)D解析 (1)若a ＝－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ≤0，x ＋1x －1，x >0，易知f (－1)是f (x )的最小值，排除A ，B ；若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，x ＋1x ，x >0，易知f (0)是f (x )的最小值，故排除C.故D 正确．(2)∵f (x )＝(x －1x)cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x ＝π时，f (x )＜0，排除C.故选D. 方法四 数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法，有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论．例4 (1)已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为( ) A ．60° B ．90° C ．120°D ．150°(2)定义在R 上的奇函数f (x )和定义在{x |x ≠0}上的偶函数g (x )分别满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，0≤x ＜1，1x，x ≥1，g (x )＝log 2x (x >0)，若存在实数a ，使得f (a )＝g (b )成立，则实数b 的取值范围是( ) A ．[－2,2]B ．[－12，0)∪(0，12]C ．[－2，－12]∪[12，2]D ．(－∞，－2]∪[－2，＋∞)答案 (1)B (2)C 解析 (1)如图，因为〈a ，b 〉＝120°，|b |＝2|a |，a ＋b ＋c ＝0，所以在△OBC 中，BC 与CO 的夹角为90°，即a 与c 的夹角为90°.(2)分别画出函数f (x )和g (x )的图象， 存在实数a ，使得f (a )＝g (b )成立，则实数b 一定在函数g (x )使得两个函数的函数值重合的区间内， 故实数b 的取值范围是[－2，－12]∪[12，2]．点评 图解法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果．不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择．变式训练4 (1)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 2，C 1上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．52－4 B .17－1 C ．6－2 2 D.17(2)已知函数f (x )＝4x 与g (x )＝x 3＋t ，若f (x )与g (x )的交点在直线y ＝x 的两侧，则实数t 的取值范围是( )A ．(－6,0]B ．(－6,6)C ．(4，＋∞)D ．(－4,4) 答案 (1)A (2)B解析 (1)作圆C 1关于x 轴的对称圆C 1′：(x －2)2＋(y ＋3)2＝1， 则|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|，由图可知当点C 2、M 、P 、N ′、C 1′在同一直线上时， |PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|取得最小值， 即为|C 1′C 2|－1－3＝52－4.(2)根据题意可得函数图象，g (x )在点A (2,2)处的取值大于2，在点B (－2，－2)处的取值小于－2，可得g (2)＝23＋t ＝8＋t >2，g (－2)＝(－2)3＋t ＝－8＋t <－2，解得t ∈(－6,6)，故选B. 方法五 正难则反法在解选择题时，有时从正面求解比较困难，可以转化为其反面的问题来解决，即将问题转化为其对立事件来解决，实际上就是补集思想的应用．例5 (1)设集合A ＝{x |a －1<x <a ＋1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |0<a <6} B ．{a |a <2或a >4} C ．{a |a ≤0或a ≥6} D ．{a |2≤a ≤4}(2)已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，若在[－1,1]上存在x 使得f (x )>0，则实数p 的取值范围是( ) A ．[－32，－12]∪[1,3]B ．[1,3]C ．[－12，3]D ．(－3，32)答案 (1)A (2)D 解析 (1)当A ∩B ＝∅时， 由图可知a ＋1≤1或a －1≥5， 所以a ≤0或a ≥6，故当A ∩B ≠∅时，0<a <6.(2)若在[－1,1]上不存在x 使得f (x )>0， 即当x ∈[－1,1]时，f (x )≤0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－2p 2＋p ＋1≤0，－2p 2－3p ＋9≤0，解得⎩⎨⎧p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3，即p ∈(－∞，－3]∪[32，＋∞)，其补集是(－3，32)．点评 应用正难则反法解题的关键在于准确转化，适合于正面求解非常复杂或者无法判断的问题．变式训练5 若函数y ＝e x ＋mx 有极值，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，1) 答案 B解析 y ′＝(e x ＋mx )′＝e x ＋m ，函数y ＝e x ＋mx 没有极值的充要条件是函数在R 上为单调函数， 即y ′＝e x ＋m ≥0(或≤0)恒成立， 而e x ≥0，故当m ≥0时，函数y ＝e x ＋mx 在R 上为单调递增函数， 不存在极值，所以函数存在极值的条件是m <0. 方法六 估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程．因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．估算法往往可以减少运算量，但是提升了思维的层次．例6 (1)已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，x 2是方程x ＋10x ＝3的根，则x 1＋x 2等于( ) A ．6 B ．3 C ．2 D ．1(2)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( ) A.92B ．5C ．6 D.152答案 (1)B (2)D解析 (1)因为x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，所以2<x 1<3，x 2是方程x ＋10x ＝3的根，所以0<x 2<1， 所以2<x 1＋x 2<4.(2)该多面体的体积比较难求，可连接BE 、CE ，问题转化为四棱锥E －ABCD 与三棱锥E －BCF 的体积之和， 而V E －ABCD ＝13S ·h＝13×9×2＝6， 所以只能选D.点评 估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项．变式训练6 (1)设43322log 3,2,3,a b c -===则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <aD ．a <c <b(2)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5 (π2<θ<π)，则tan θ2等于( )A.m －3q －mB.m －3|q －m | C ．－15D ．5答案 (1)B (2)D解析 (1)因为2>a ＝log 23>1，b ＝232>2，c ＝3－43<1，所以c <a <b . (2)由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 一定为确定的值进而推知tan θ2也是一确定的值， 又π2<θ<π，所以π4<θ2<π2，故tan θ2>1. 所以D 正确．高考题型精练1．已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁R P )∩Q 等于( )A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]答案 C解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}，∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}，故选C.2．(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x答案 B解析 A 项，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意； B 项，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意； C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意； D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意． 3．已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 227＝1B.y 29－x 227＝1C.y 212－x 224＝1 D.y 224－x 212＝1 答案 B解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为(0,6)，所以双曲线的焦点坐标为(0,6)和(0，－6)，所以双曲线中c ＝6，又因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，所以a b ＝33，所以a 2b 2＝13， 又a 2＋b 2＝36，得a 2＝9，b 2＝27.故选B.4.图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )答案 B解析 由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.5．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则z ＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A ．[－1，13] B ．[－12，13] C ．[－12，＋∞) D ．[－12，1) 答案 B解析 如图，z ＝y －1x ＋1表示可行域内的动点P (x ，y )与定点A (－1,1)连线的斜率． 6．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )等于( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1D ．e －x －1答案 D解析 依题意，f (x )向右平移一个单位长度之后得到的函数是y ＝e －x ，于是f (x )相当于y ＝e －x 向左平移一个单位的结果，所以f (x )＝e －x －1.7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )A ．1 B. 2 C.2－12 D.2＋12答案 C解析 由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12. 8．给出下面的程序框图，若输入的x 的值为－5，则输出的y 值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案 C解析 由程序框图得：若输入的x 的值为－5，(12)－5＝25＝32>2， 程序继续运行x ＝－3，(12)－3＝23＝8>2， 程序继续运行x ＝－1，(12)－1＝2， 不满足(12)x >2， ∴执行y ＝log 2x 2＝log 21＝0，故选C.9．(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1]C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞) 答案 C解析 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1. 当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23，故选C. 10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＜0，且S 2 015＝0，则当S n 取得最小值时，n 的取值为( )A ．1 009B ．1 008C ．1 007或1 008D ．1 008或1 009答案 C解析 等差数列中，S n 的表达式为n 的二次函数，且常数项为0，故函数S n 的图象过原点，又a 1＜0，且存在n ＝2 015使得S n ＝0，可知公差d ＞0，S n 图象开口向上，对称轴n ＝2 0152，于是当n ＝1 007或n ＝1 008时，S n 取得最小值，选C.11．已知四面体P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为( )A ．7πB ．8πC ．9πD ．10π答案 C解析 依题意，记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2,1,2，于是有(2R )2＝12＋22＋22＝9,4πR 2＝9π，所以球O 的表面积为9π.12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200等于( )A ．100B ．101C ．200D ．201答案 A解析 因为A ，B ，C 三点共线，所以a 1＋a 200＝1，S 200＝a 1＋a 2002×200＝100. 13．若动点P ，Q 在椭圆9x 2＋16y 2＝144上，O 为原点，且满足OP ⊥OQ ，则O 到弦PQ 的距离|OH |必等于( )A.203 B .234C.125 D .415答案 C解析 选一个特殊位置(如图)，令OP 、OQ 分别在长、短正半轴上，由a 2＝16，b 2＝9得，|OP |＝4，|OQ |＝3，则|OH |＝125.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，选项C 正确．故选C. 14．在抛物线y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)答案 B解析 如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D ，故选B.15．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)答案 B解析 ∵f (a )>－1，∴g (b )>－1，∴－b 2＋4b －3>－1，∴b 2－4b ＋2<0，∴2－2<b <2＋ 2.故选B.16．若不等式m ≤12x ＋21－x在x ∈(0,1)时恒成立，则实数m 的最大值为( ) A ．9 B.92C ．5 D.52答案 B解析 12x ＋21－x＝(12x ＋92x )＋[92(1－x )＋21－x ]－92≥2 12x ×92x ＋2 92(1－x )(21－x )－92＝2×32＋2×3－92＝9－92＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＝92x ，92(1－x )＝21－x即x ＝13时取得等号， 所以实数m 的最大值为92，故选B. 17．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )在R 上恒有f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为( ) A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 D解析 记g (x )＝f (x )－12x －12， 则有g ′(x )＝f ′(x )－12<0， g (x )是R 上的减函数，且g (1)＝f (1)－12×1－12＝0， 不等式f (x 2)<x 22＋12， 即f (x 2)－x 22－12<0，g (x 2)<0＝g (1)， 由g (x )是R 上的减函数得x 2>1，。