《微积分初步》单元学习辅导一（函数极限连续）微积分初步学习辅导（一）——函数、极限和连续部分学习重难点解析（一）关于函数的概念1.组成函数的要素:(1)定义域:自变量的取值范围D ；(2)对应关系：因变量与自变量之间的对应关系f .函数的定义域确定了函数的存在范围，对应关系确定了自变量如何对应到应变量.因此，这两个要素一旦确定，函数也就随之确定.所以说，两个函数相等（即)()(x g x f =）的充分必要条件是两个函数的定义域和对应关系都相等.若两者之一不同，就是两个不同的函数.2.函数定义域的确定对于初等函数，一般要求它的自然定义域，具体说来通过下面的途径确定：(1) 函数式里如果有分式，则分母的表达式不为零；(2) 函数式里如果有偶次根式，则根式里的表达式非负；(3) 函数式里如果有对数式，则对数式中真数的表达式大于零；(4)如果函数表达式是由若干表达式的代数和的形式，则其定义域为各部分定义域的公共部分；(5)对于分段函数，其定义域为函数自变量在各段取值的之并集.(6)对于实际的应用问题，应根据问题的实际意义来确定函数的定义域.3.函数的对应关系函数的对应关系f 或f （ ）表示对自变量x 的一个运算，通过f 或f （ ）把x 变成了y ，例如152)(3+-==x x x f y ，则f 代表算式 1)(5)(2)(3+-=f括号内是自变量的位置，运算的结果得到因变量的值.（二）关于函数的基本属性函数的基本属性是指函数的单调性、奇偶性、周期性和有界性.了解函数的属性有助于我们对函数的研究.理解函数属性中需要注意下面的问题：1.关于函数的奇偶性：讨论函数的奇偶性，其定义域必须是关于原点对称的的区间，函数奇偶性的判别方法是函数奇偶性定义和奇偶函数的运算性质，即奇函数±奇函数=奇函数奇函数±偶函数=非奇非偶函数奇函数⨯奇函数=偶函数奇函数⨯偶函数=奇函数偶函数⨯偶函数=偶函数并记住常见的奇函数有x x n sin ,12+；常见的偶函数有x x n cos ,2.2. 关于函数的单调性单调函数是与相应的区间相联系的，例如，函数2x y =在)0,(-∞是单调递减的，在),0(+∞是单调递增的，在),(+∞-∞内不是单调函数.单调递增（或递减）函数的图形是随着自变量的增大在上升（或下降）的.（三）函数的函数—函数的复合运算我们可以这样理解复合函数的概念：当一个函数的自变量用另一个函数的因变量代替，就可能产生复合函数，例如在函数x y lg =中，用21)(x x u -==ϕ替换x ，即得)1lg())(()(2x x f u f y -===ϕ.这里的函数)1lg(2x y -=可以看成由函数x lg 和函数21x -复合而成的.但是要注意，不是任何两个函数都可以构成复合函数的，例如，由1)(-=x x f 和21)(x x -=ϕ就不能构成复合函数，因为221)1())((x x x f -=--=ϕ，而负数""2x -开方是没有意义的.复合函数的复合环节可以多于两个，例如，x v v u u y 21,sin ,2-===可复合为函数.通过课程的学习我们知道，由若干个简单函数，经过有限次的四则运算和复合步骤可以产生许许多多的函数——初等函数.反过来，对于一个比较复杂的函数，在对它进行研究时，常常要将其分解成若干个组成它的函数.例如)1ln(2x x y ++= 可以分解为21,,ln x v v x u u y +=+==.（四）关于对极限的概念的理解极限概念作为微积分的基础，在高等数学中占有很重要的地位，本章中连续性的概念和第二章中导数的概念都是用极限来定义的.在我们的课程中对于极限概念只要求从几何上的直观描述来理解.即极限是描述函数在自变量的某个变化过程中，函数和某一个确定的常数无限的靠近，而且要多近就有多近.理解极限的定义要弄清楚，函数在自变量的某个变化过程中，是否有极限存在决定于在自变量的这个变化过程中函数是否有固定的变化趋势，而且这个变化趋势与自变量的变化趋势和求极限的函数有关，而与函数在该点处是否有定义无关.例如，1sin lim0=→xx x （第一个重要极限） 其中函数xx x f sin )(=在0=x 处无定义.又如 0sin lim =∞→x x x （当∞→x 时，为无穷小量乘以有界变量等于无穷小量） 注意到这个极限式中的函数与前式相同，但自变量的变化趋势不同，则极限不同.在极限概念中，我们介绍了七种极限形式：数列极限： )(∞→→n A x n函数极限： )()(∞→→x A x f)()(+∞→→x A x f)()(-∞→→x A x f)()(0x x A x f →→左、右极限： )()(0-→→x x L x f)()(0+→→x x R x f且有结论：⇔=→A x f x x )(lim 0)(lim 0x f x x -→A x f x x ==+→)(lim 0由于极限是一个局部概念，函数在某点处是否有极限决定于在该点附近的函数值，因此对于分段函数在分段点处的极限问题必须考虑其左、右极限.（五）关于极限的计算极限计算是本课程的基本计算之一，在我们的课程中介绍了下列求极限的方法：（1）极限的四则运算法则；（2）重要极限；（3）函数的连续性.在具体运用时，首先要清楚上述法则或方法成立的条件，否则会在计算中出现错误.（六）关于函数的连续性根据连续性的定义，函数f (x )在点0x 处连续的充分必要条件是：函数f (x )在点0x 处同时满足下列三个条件：（1）f (x )在点0x 处有定义；（2）f (x )在点0x 处有极限；（3）f (x )在点0x 处的极限值为该点处的函数值，即)()(lim 00x f x f x x =→ 上述三个条件之一不满足，则f (x )在点0x 处间断.连续函数的曲线是一笔画成的，如果函数在某处发生间断，则函数的曲线一定在此处断开.二、典 型 例 题例1 求下列函数的定义域：（1）216ln 2)(x xx x f -+-= （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<-=41,1111,2)(x x x x f x 分析 （1）函数是由xx ln 2-与216x -的和构成的，按照前面提到的求解途径，先分别求出各表达式的定义域，再取公共部分；（2）这是个分段函数，先确定函数在各段上自变量的取值范围，再取并集.解（1）对于xx ln 2-，要求0>x 且1≠x ，即),1()1,0(+∞⋃；对于216x -，要求0162≥-x ，即162≤x ，它等价于4≤x ，即]4,4[-，于是取两个函数定义域的公共部分，得所求函数定义域为[),1()1,0(+∞⋃]]4,1()1,0(]4,4[⋃=-⋂.（2）两个分段区间是]1,1(-和]4,1(，取它们的并集得所求函数的定义域为]4,1(-. 例2 已知函数32)1(2-+=+x x x f ，求)1(),(xf x f 和)1(f .分析 本题的关键是求出)(x f ，可以采取两种不同的方法求解.[方法1] 将1+x 看作一个变量，即作变量替换1+=x t ，这样得到1-=t x ，代入后直接得出)(x f .[方法2]将等式右端表成1+x 的函数.解 [方法1]令1+=x t ，则1-=t x ，代入原式有3)1(2)1()(2--+-=t t t f322122--++-=t t t42-=t因函数关系与表示自变量的字母无关，故由上式得到4)(2-=x x f利用)(x f 可直接得到41)1(2-=x x f 341)1(2-=-=f .[方法2] 将等式右端表成1+x 的函数,即4)1(412)1(22-+=-++=+x x x x f所以 4)(2-=x x f 再利用)(x f 可直接得到41)1(2-=x x f 341)1(2-=-=f .例3 判断下列函数的奇偶性（1）2sin )(x x x f +=（2）)1ln()(2x x x f ++=分析 （1）可以根据定义或运算性质进行判断；（2）根据定义进行判断.解 （1）[方法1] 根据定义进行判断.因为22sin )()sin()(x x x x x f +-=-+-=-且)()(x f x f ≠-，也)()(x f x f -≠-，由定义，2sin )(x x x f +=是非奇非偶函数. [方法2] 根据运算性质进行判断.因为x sin 是奇函数，2x 是偶函数，所以2sin )(x x x f +=是非奇非偶函数. 注意：利用运算性质进行判断的前提是知道各函数的奇偶性.（2）根据定义进行判断. 因为])(1)ln[()(2x x x f -++-=-)1()1)(1(ln ]1ln[2222x x x x x x x x ++++-+=-+=)()1ln()1(1ln 22x f x x x x -=++-=++= 所以，)1ln()(2x x x f ++=是奇函数.例4 将下列函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算：（1）12tan -=x y（2）21sin e 2x y x ⋅=+分析 任意一个初等函数可以分解为基本初等函数的四则运算或复合运算.分解的方法是从最外层开始，如果是四则运算就将运算的每一项设为中间变量，然后在考察每个中间变量；若不是四则运算，则一定是某一类基本初等函数，此时将这个基本初等函数的自变量位置上的表达式设为一个中间变量，然后再考察这个中间变量.将这个方法向内层反复使用.解（1）12,,tan -===x v v u u y .（2）v y u sin e ⋅=，22,1,x v x w w u =+==.例5 求下列各极限（1）5632lim 221+--+→x x x x x （2）xx x sin 11lim 0-+→ 分析 解题之前先分清求极限函数的类型，再选择相应的方法求解.（1）原式是个有理分式，且当1→x 时，分子、分母的极限都为0，故不能直接用商的极限法则.同时我们还注意到，分式的分子、分母均为x 的二次多项式，而当1→x 时，分子、分母的极限都为0，说明分子、分母中均含有因式1-x ，这时采取分解因式的方法，消去使分母极限为0的因式)1(-x （当1→x 时），再用商的极限法则求出极限值.（2）当0→x 时，分子、分母的极限均为0，而且分子是一个无理函数，分母含有正弦函数，显然不能用分解因式消去0因子的方法.对于这类题目一般地，先将根式有理化，消去分式中的无理根式，又因为分母中含有正弦函数，运算时要用到第一个重要极限.解 （1）14453lim )5)(1()3)(1(lim 5632lim 11221-=-=-+=--+-=+--+→→→x x x x x x x x x x x x x （2）x x x sin 11lim 0-+→=)11(sin )11)(11(lim 0++++-+→x x x x x )11(sin lim 0++=→x x xx )11(1lim sin lim00++=→→x x x x x=21211=⨯求极限方法小结： （1）运用极限的四则运算法则时，要特别注意除法法则. 如果分母的极限为0，则一定不能直接使用除法法则，这时需要根据函数的特点，对函数进行适当的变形（常见的变形有，分解因式，有理化根式等），从而消去不定因子再用除法法则.（2）应用重要极限求极限时，必须将求极限函数变形为重要极限的标准形式或扩展形式.第一个重要极限的特点是：当0→x 时，分式的分子、分母的极限均为0，且分子、分母中含有正弦函数的关系式.它的标准形式为1sin lim 0=→xx x ，扩展形式为1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ. 例6 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 001sin )(x x x x a x b x x x f问（1）当a,b 为何值时，f (x )在x =0处有极限存在；（2）当a,b 为何值时，f (x )在x =0处连续.分析 函数f (x )在点0x 处是否连续，关键是看函数在该点处是否有)()(lim 00x f x f x x =→. 此函数是一个分段函数，且x =0是它的分段点.则在x =0处有极限存在是要看是否有)(lim )(lim 00x f x f x x +-→→= 在x =0处连续是要看是否有)0()(lim )(lim 00f x f x f x x ==+-→→ 解 （1）因为b b xx x f x x =+=--→→)1sin (lim )(lim 00 1sin lim )(lim 00==++→→xx x f x x 所以当1=b ，a 取任意值时，f (x )在x =0处有极限存在；（2）因为a f =)0(，所以当1==b a 时，f (x )在x =0处连续.确定函数的连续性，关键是抓住连续性的定义，三条之一不满足者必间断.要记住连续性的有关结论，对于初等函数，定义区间即为连续区间，对于分段函数，要着重考察分段点处的连续性.。