数学分析第16章多元函数的极限与连续计划课时： 1 0 时第16章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )§ 1 平面点集与多元函数一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}. 余集c E .1. 常见平面点集:⑴ 全平面和半平面 : }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,}|),{(b ax y y x +≥等.⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ⨯, 1||||),{(≤+y x y x }.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特别是 }cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .⑸ 简单域: -X 型域和-Y 型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-<y y x x y x 的区别.3． 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:（1）内点、外点和界点：内点：存在)(A U 使E A U ⊂)( 集合E 的全体内点集表示为E int ,.外点：存在)(A U 使φ=E A U )(界点：A 的任何邻域内既有E 的点也有不属于E 的点。

E 的边界表示为E ∂集合的内点E ∈, 外点E ∉ , 界点不定 .例1 确定集} 1)2()1(0|),( {22<++-<=y x y x E 的内点、外点集和边界 .例2 )( , } ] 1 , 0 [ , )(0|),( {x D x x D y y x E ∈≤≤=为Dirichlet 函数.确定集E 的内点、外点和界点集 .（2）( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点:聚点：A 的任何邻域内必有属于E 的点。

孤立点：E A ∈但不是聚点。

孤立点必为界点 .例3 |),( {y x E =} 1sin xy =. 确定集E 的聚点集 .解 E 的聚点集] 1 , 1 [-⋃=E .4．区域：（1）( 以包含不包含边界分为 ) 开集和闭集:E int E =时称E 为开集 , E 的聚点集E ⊂时称E 为闭集.E int 存在非开非闭集.2R 和空集φ为既开又闭集. （2） ( 以连通性分为 ) 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 . （3） 有界集与无界集:（4） 点集的直径)(E d ： 两点的距离) , (21P P ρ.（5） 三角不等式：||21x x -（或||21y y -）|||| )()(2121221221y y x x y y x x -+-≤-+-≤.或),(),(),(323121P P P P P P ρρρ+≤二. 2R 中的完备性定理:1． 点列的极限: 设2) , (R y x P n n n ⊂=, 2000) , (R y x P ⊂=.定义1。

0l i m P P n n =∞→的定义 ( 用邻域语言 ) ),(,,00εεP U P N n N n ∈>∃>∀或ερ<),(0n P P例4 ) , (n n y x → ) , (00y x ⇔0x x n →, 0y y n →, ) (∞→n .例5 设0P 为点集E 的一个聚点 . 则存在E 中的点列} {n P , 使0lim P P n n =∞→. 2．2R 中的完备性定理：（1）Cauchy 收敛准则:.（2）. 闭域套定理:（3）. 聚点原理: 列紧性 , Weierstrass 聚点原理.（4） 有限复盖定理:三．二元函数:1. 二元函数的定义、记法、图象：2. 定义域：例6 求定义域：ⅰ> ),(y x f 192222-+--=y x y x ; ⅱ> ),(y x f )1ln(ln 2+-=x y y . 3. 二元函数求值:例7),(y x f 232y x -=, 求 ) , 1 ( , ) 1 , 1 (x y f f -. 例8 ),(y x f )1ln(22y x ++=, 求)sin , cos (θρθρf .4. 三种特殊函数:⑴ 变量对称函数: ),(y x f ),(x y f =,例8中的函数变量对称.⑵ 变量分离型函数: ),(y x f )()(y x ψφ=.例如y x e xy z 32+=, ,22+++=y x xy z ),(y x f 2)())((xy x xy y xy -+=等 .但函数y x z +=不是变量分离型函数 .⑶ 具有奇、偶性的函数四．n 元函数二元函数 推广维空间 记作n R作业 P92 1—8 .§ 2 二元函数的极限一. 二重极限 二重极限亦称为全面极限1. 二重极限定义1 设f 为定义在2R D ⊂上的二元函数，0P 为D 的一个聚点，A 是确定数若 εδδε<-⋂∈>∃>∀A P f D P U P )(,),(,0,000则A P f P P =→)(lim 0 或),(lim ),(),(00y x f y x y x →A =例1 用“δε-”定义验证极限 7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x . 例2 用“δε-”定义验证极限 0lim 2220=+→→y x xy y x . 例3⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=).0,0(),( , 0),0,0(),( ,),(2222y x y x y x y x xy y x f证明0),(lim )0,0(),(=→y x f y x . ( 用极坐标变换 ) P 94 E2.2. 归结原则：定理 1 A P f DP P P =∈→)(lim 0, ⇔ 对D 的每一个子集E , 只要点0P 是E 的聚点 , 就有A P f EP P P =∈→)(lim 0. 推论1 设D E ⊂1, 0P 是1E 的聚点 .若极限)(lim 10P f E P P P ∈→不存在 , 则极限)(lim 0P f DP P P ∈→也不存在 . 推论2 设D E E ⊂21,, 0P 是1E 和2E 的聚点. 若存在极限1)(lim 10A P f E P P P =∈→, 2)(lim 20A P f E P P P =∈→, 但21A A ≠, 则极限)(lim 0P f DP P P ∈→不存在. 推论3 极限)(lim 0P f D P P P ∈→存在, ⇔ 对D 内任一点列} {n P , 0P P n →但0P P n ≠,数列)}({n P f 收敛 .通常为证明极限)(lim 0P f P P →不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明极限与方向有关 . 但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等 ⇒/ 全面极限存在例4 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=. )0,0(),( , 0),0,0(),( , ),(22y x y x y x xy y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在.例5二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限:ⅰ> )0,0(),(lim →y x 222y x y x +; ⅱ> )0,3(),(lim →y x y xy sin ; ⅲ>)0,0(),(lim →y x xy xy 11-+; ⅳ> )0,0(),(lim →y x 2222)1ln(y x y x +++. 3．极限),(lim ),(),(00y x f y x y x →+∞=的定义:定义2．设f 为定义在2R D ⊂上的二元函数，0P 为D 的一个聚点，若 M P f D P U P M >⋂∈>∃>∀)(,),(,0,000δδ则+∞=→)(lim 0P f P P 或),(lim ),(),(00y x f y x y x →+∞=其他类型的非正常极限， →),(y x 无穷远点的情况.例7 验证)0,0(),(lim →y x +∞=+22321yx . 二. 累次极限 二次极限1. 累次极限的定义:定义3．设00,,,y x R E E y x ⊂分别是y x E E ,的聚点，二元函数f 在集合y x E E ⨯上有定义。

若对每一个0y y E y y ≠∈存在极限),(lim 0y x f E x x x ∈→ 记作),(lim )(0y x f y E x x x ∈→=φ若)(lim 0y L yE y y y φ∈→=存在，则称此极限为二元函数f 先对x 后对y 的累次极限 记作)(lim lim 00y L x y E x x x E y y y φ∈→∈→= 简记)(lim lim 00y L x x y y φ→→= 例8 22),(y x xy y x f +=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 .例9 2222),(yx y x y x f +-=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . 例10 x y y x y x f 1sin 1sin),(+=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . 2. 二重极限与累次极限的关系:⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例9 )⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在. 例如函数yx y x f 1sin ),(=在点) 0 , 0 (的情况 . ⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. 例如例10中的函数, 由)0,0(),( , 0|||| |),(|→→+≤y x y x y x f . 可见全面极限存在 , 但两个累次极限均不存在. ⑷ 两个累次极限存在( 甚至相等 ) ⇒/ 二重极限存在 . ( 参阅例4和例8 ).综上 , 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系 . 但有以下确定关系.定理2 若二重极限),(lim ),(),(00y x f y x y x →和累次极限),(lim lim 00y x f y y x x →→(或另一次序)都存在 , 则必相等.推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时 , 三者相等 .推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时 , 二重极限不存在 .但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在 ⇒/ 二重极限不存在 . 参阅⑵的例.作业提示: P 99 1、2、4§ 3 二元函数的连续性 ( 4 时 )一． 二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入 .1. 连续的定义:定义 用邻域语言定义相对连续 . 全面连续 .函数),(y x f 有定义的孤立点必为连续点 .例1 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++≠++=. 0 , 1, 0 , ),(2222222y x m m y x y x xy y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿方向mx y =连续 .例2 ⎩⎨⎧+∞<<∞-<<=. , 0, ,0 , 1),(2其他x x y y x f ( [1]P 124 E4 ) 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿任何方向都连续 , 但并不全面连续.函数的增量: 全增量、 偏增量 . 用增量定义连续性 .函数在区域上的连续性 .2. 二元连续( 即全面连续 ) 和单元连续 :定义 ( 单元连续 )二元连续与单元连续的关系: 参阅[1]P 132 图16—9.3. 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性.仅证复合函数连续性.二.三. 二元初等函数及其连续性:二元初等函数, 二元初等函数的连续性.四.一致连续性: 定义.五.有界闭区域上连续函数的性质:1.2.有界性与最值性. ( 证)3.4.一致连续性.( 证)5.介值性与零点定理. ( 证)Ex[1]P136—137 1 ⑴—⑸，2，4，5；P137—138 1，4.。