受迫振动的研究
摘要: 振动是自然界中最常见的运动形式，本文对物体的受迫振动进行了研究，观察到了共振现象，通过测量系统在振动时的相关物理量，获得了振动系统的固有频率，研究了受迫振动的幅频特性和相频特性，并绘出了图像。

关键词: 受迫振动幅频特性相频特性固有频率
The study of the forced vibration
Abstract: Vibration is the most common form of eGercise in the nature. This article makes a research on vibration. Resonance is observed during the eGperiment. By measuring the related physical quantity during the vibration, the system’s natural frequency is got. The article also studies the amplitude-frequency characteristics and phase-frequency characteristics and draws pictures about them.
Keywords: forced vibration amplitude-frequency characteristics phase-frequency characteristics natural frequency
一、实验原理
1.受迫振动：
物体在周期外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动，这种周期性的外力称为策动力。

如果外力是按简谐振动规律变化，那么稳定状态时的受迫振动也是简谐振动，此时，振幅保持恒定，振幅的大小与策动力的频率和原振动系统无阻尼时的固有振动频率以及阻尼系数有关。

在受迫振动状态下，系统除了受到策动力的作用外，同时还受到回复力和阻尼力的作用。

所以在稳定状态时物体的位移、速度变化与策动力变化不是同相位的，而是存在一个相位差。

当策动力频率与系统的固有频率相同产生共振，测试振幅最大，相位差为90°。

实验采用摆轮在弹性力矩作用下自由摆动，在电磁阻尼力矩作用下作受迫振动来研究受迫振动特性，可直观地显示机构振动中的一些物理现象。

当摆轮受到周期性策动力矩M=M0cos⁡ωt的作用，并在有
空气阻尼和电磁阻尼的媒质中运动时（阻尼力矩为−bⅆθ
ⅆt ），其运动方
程为：
Jⅆ2θⅆt =−kθ−bⅆθ
ⅆt
+M0cos⁡ωt(1)
（1）式中，J为摆轮的转动惯量，–kθ为弹性力矩，M0为强迫
力矩的幅值，ω为策动力矩的角频率。

令ω02=k∕J，2δ=b
J ，m=
M0
J⁄。

则（1）式可写为
ⅆ2θⅆt2+2δⅆθ
ⅆt
+ω02θ=mcos⁡ωt(2)
式（2）即为阻尼振动方程。

阻尼系数为δ，摆轮固有频率为ω0。

在小阻尼的情况下，式（2）的通解为
θ=θa ⅇ−δt cos (ωa t +α)+θb cos (ωt +φ)
可见，受迫振动可分成两部分：
第一部分是阻尼振动，和初始条件有关，经过一定时间后衰减消失。

第二部分是振动的稳定状态，策动力矩对摆轮做功，向振动体传送能量，最后达到一个稳定的振动状态。

其中：
θb =m
√(ω02
−ω2)2+4δ2ω2
φ=arctan −2δω
ω02−ω
2 2.共振：
由极值条件
∂θb ∂ω
=0可得出，当策动力的角频率ωr =√ω02
−2δ2
时，产生共振，θ有极大值。

若共振时角频率和振幅分别用ωr 、θr
表示，则
θr =m
2δ√ω02−δ2
f =arctan⁡(−√ω02
−2δ2
δ)
表明，阻尼系数δ越小，共振时圆频率越接近固有频率，振幅θr 也越大。

振动的角位移滞后于驱动力矩的相位越接近于π/2，它们的关系如下图所示。

图一 受迫振动的幅频特性
图二 受迫振动的相频特性 3.阻尼系数δ的测定：
(1)由振动系统作阻尼振动时的振幅比值求阻尼系数δ
摆轮A 如果只受到涡卷弹簧B 提供的弹性力矩k θ-，轴承、空气和电磁阻尼力矩
d b
dt θ
-，阻尼较小（22
0δω<）时，振动系统作阻尼振
动。

对应的振动方程和方程的解为
22
02
20d d dt dt θθδωθ++=
cos()t a a e t δθθωα-=+
a ω=注意到阻尼振动的振幅随时间按指数率衰减，对相隔n 个周期的两振幅之比去自然对数，则有
0()
ln ln t a t nT n a e n T e δδθθδθθ--+== （7）
实际测量中，可利用上式求出δ值，其中n 味阻尼振动的周期数，
θ为计时开始时振动的振幅，n θ为第n 次振动时的振幅，T 为阻尼振
动的周期。

(2)由受迫振动系统的频幅特性曲线求阻尼系数δ（只适合于弱阻尼
2
20
δω情况）
由幅频特性可以看出，弱阻尼
22
δω的情况下，共振峰附近
0/1
ωω≈，002ωωω+≈，由式（4）和式（6）可得：
b r θθ=≈
当/b r θθ=时，由上式可解得0ωωδ-≈±。

在幅频特性曲线上可以直接读出/b r θθ=处对应的两个横坐标0/ωω+ 和0/ωω-，见图4，从而可得
2ωωδ
+--= (8)
图4 由幅频特性曲线求δ
二、实验内容
(1) 测定阻尼为0情况下摆轮的振幅θ与振动频率0ω的对应关系。

在仪器上选择“自由摆动”，然后将摆轮播过半圈左右（140160︒︒），用仪器记录摆轮自由摆动的振幅θ和周期T 的关系。

查阅并记录实验数据以备查用。

(2) 测定阻尼振动的振幅比值，求出阻尼系数δ
将试验模式调为“阻尼振动”，选择阻尼一，然后将摆轮播过半圈左右（140160︒︒），开始测量。

测量连续十个周期的摆轮振幅
019
,,
,θθθ。

由式（7）可以发现，用逐差法处理019,,,θθθ这组数
据，可得平均值5T δ，从而求得阻尼系数δ。

(3) 观察摆轮受迫振动现象，测定摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性曲线，并求阻尼系数δ。

将有机玻璃转盘F 的指针放在角度盘“0”处，选择实验模式为“受迫振荡”，阻尼大小为“阻尼一”，打开电机，电机的转动带动摆轮作受迫振动。

当受迫振动稳定后，测量十个周期的长度10T 、摆轮振幅θ以及相位差ϕ。

调节旋钮改变电动机的转速，重复上述测量过程，测得电机驱动力变
化时，受迫振动频率、振幅和相位差。

在从内容1中的0θω-曲线中查得相应的0ω值，作出在选定阻尼条件下的摆轮受迫振动的幅频特性曲线和相频特性曲线。

最后根据式（8）求出阻尼系数δ。

三、实验结果与讨论
(2) 测定阻尼振动的振幅比，求阻尼系数δ。

10T =15.762s T =1.5762s
由相关数据可得：
δ=0.053722⁡s −1
三、受迫振动的幅频特性与相频特性
根据数据绘出幅频特性曲线，如下图所示：
θb
ω/ω0根据数据，绘出相频特性曲线，如下图所示：
由图可得：
θr =154° θ√2
=109° 由图可得：ω+/ω0−ω−/ω0≈0.025
δ≈0.049829⁡s −1
四、参考文献
[1] 钱锋，潘人培. 大学物理实验（修订版）[M]. 北京：高等教育出版社，20XX. 227-238.
φ
ω/ω0。