第二讲 循环小数化分数学习提示：在进行分数和小数的大小比较以及分数、小数的混合运算中，常常要把分数化成小数，或者把小数化成分数。
所以，理解和掌握分数和小数互化的方法，不仅可以沟通分数和小数的联系，深刻理解分数、小数的意义，而且可以为学习分数、小数的混合运算打好基础。
从本质上看，小数（这里指有限小数和无限循环小数，不包括无限不循环小数）可以看作分数的另一种表示形式，所以分数和小数可以互化。
典型题解一、循环小数化成分数1．纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化成分数呢？看下面例题。
例1，把纯循环小数化分数： (1)0.6 (2)3.10210.610 6.6666 0.6=0.6666 0.69 6 62 0.6=93⨯=⨯==解：（）两式相减得所以 23.1020.1020.1021000102.102.1020.1020.102.102 0.10299910210234 0.102999333102 3.1023999⨯==⨯=====解：（）先看小数部分……?…两式相减得所以343333从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9，9的个数与循环节的位数相同。
能约分的要约分。
1、 混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。
例2，把混循环小数化分数10.215 2 6.353（）（） 10.2151000=215.1515 0.21510=2.1515150.215990=2152215-2213710.215=990990330⨯⨯⨯-==解：（）…………两式相减得20.3530.3531000=353.333 0.353100=35.3330.353900=35335353-3531853 0.353=900900150353-353186.353=66900⨯⨯⨯-===解：（）先看小数部分…………两式相减得 所以 536900150=由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。
分母的头几位是9，末几位是0。
9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
练习：1、化纯循环小数为分数。
10.23 20.107（）（）2、 化下列混循环小数为分数。
10.312 20.003 30.2316（）（）（） 二，循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。
从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
例3 计算下面各题： 12.45+3.13 22.6091.32 (3)4.3 2.4 (4)1.240.3⨯÷（）（）-解：先把循环小数化成分数后计算。
529712+3=511151656132283922-1=11009999001416(3)42=103927818(4)1=333311⨯÷（）原式=（）原式=原式=原式=三，循环小数作加法循环小数能直接作加法运算吗？有限小数加循环小数考察下面的例子。
计算：0.20.3+ 0.280.7+ 0.40.32+0.980.45+0.60.38++0.6780.54目前我们只能将这些小数都化成分数才能算出结果。
118+=+==0.20.30.53531577238+=+==0.280.7 1.057259225232358+=+==0.40.320.7232599495495789+=+==0.980.45 1.4345501155033966729+=+==0.6780.54 1.22345450011550033589+=+==0.60.380.9859090现在，根据下面的提示，直接观察每个算式于最后结果之间的关系，希望你能从中发现直接运算的法则。
0.20.30.20.330.53+⇒+⇒+⇒+⇒0.280.70.280.777 1.057+⇒+⇒0.40.320.40.32320.7232+⇒+⇒0.980.450.980.4545 1.4345+⇒+⇒0.6780.540.6780.545454 1.223454+⇒0.60.380.98怎么样？发现了什么直接算的规则了吗？请归纳出来。
我们利用类似的方法还可以去研究其他的几种情形。
（1）两个循环节位数相同的纯循环小数相加。
考察下面的一些例子。
235+=+==0.20.30.5999123405528+=+==0.1230.4050.52899999999936+=+=0.30.6199875+=+==0.80.7 1.699358491070.580.49 1.08+=+==9999999785841562+=+==0.9780.584 1.563999999999再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？两个循环节位数不相等的纯循环小数相加。
考察下面的例子：321540.30.210.54+=+==9999962128780.60.2120.878+=+==9999999233245566470.230.3240.556647+=+==999999999995981530.50.98 1.54+=+==999996749811752650.670.498 1.175266+=+==99999999999再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？如果能得出以上三种情形的运算法则的话，那么，利用这些法则去直接计算混循环小数之间的加法运算就不是一件难事了。
规律有限小数家循环小数，和仍然是个循环小数。
其循环节跟原加数的循环节相同。
法则是：用有限小数跟循环小数的非循环部分对应数位相加，循环小数的非循环部分不够时，就用第一个循环节、第二个循环节……补足再相加，用这个和作和的非循环部分，原来加数的循环节仍作和的循环节。
两个循环节位数相同的纯循环小数相加，和仍然是个循环小数。
法则是：用两个循环节相加的和除于99……9（其中9的个数等于循环节的位数），商作和的整数部分，余数作小数部分的循环节（若余数位数不够原加数循环节的位数时，就在余数的前面补足“0”作循环节）。
两个循环节位数不同的纯循环小数相加，和仍然是个循环小数，其循环节的位数是两个加数循环节位数的最小公倍数。
方法是：先把两个加数改成循环节位数相同（两加数循环节位数的最小公倍数）而大小不变的循环小数，再按照法则（2）进行计算。
练习1.直接计算下列各题++0.430.35+0.90.80.40.3++0.40.980.980.89+0.50.89++0.780.1230.1230.234+0.4560.567++0.8250.780.40.7892.直接计算下列各题++0.3890.9830.230.435+0.2370.80.75460.283+ 0.2030.023+ 0.6780.678+3.将分数化成小数计算2(1)0.853+ 51(2)0.3869++25491(3)3691199++++ 7583113(4)0.38999999++++二、循环小数与整数作乘法我们已经知道，循环小数之间可以作加法运算。
由于一个数乘以整数就是求几个相同数连加的简便运算，因此，找出循环小数乘以整数的运算法则是完全可能的。
下面分两种情形来讨论。
纯循环小数乘以整数。
考察下面例子： 30.3220.69⨯=⨯= 30.344 1.39⨯=⨯= 430.43220.8699⨯=⨯= 83733480.83744 3.351999999⨯=⨯==再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？混循环小数乘以整数。
混循环小数乘以整数可以转化为纯循环小数进行计算。
例如，计算 0.325(0.32105)10(3.25)1016.110 1.61⨯=⨯⨯÷=⨯÷=÷=任何一个混循环小数乘以整数的试题都可以利用类似的方法转化，不是吗？请归纳出法则。
规律纯循环小数乘以整数，积仍然是个纯循环小数，其循环节的位数跟原循环小数中的循环节位数相同。
法则是：用循环节乘以整数的积除以99……9（其中9的个数等于循环节的位数），商作积的整数部分，余数作积的循环节。
混循环小数乘以整数，先将混循环小数扩大一定的倍数，使它变成纯循环小数，按照纯循环小数乘以整数的法则算出积，再将所得的积缩小同样的倍数，就得到混循环小数乘以整数的积。
计算下列各题0.42⨯ 0.044⨯ 0.246⨯0.3248⨯ 0.563⨯ 0.0565⨯0.2567⨯ 0.12569⨯ 0.5068⨯计算0.80.9⨯ 0.870.65⨯ 0.850.613+⨯练习8170.359⨯+ 1250.87⨯⨯ 7.087490.138⨯+。