2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题卫星和飞船的跟踪测控卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。

测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。

在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务，如神州七号飞船发射和运行过程中测控站的分布如下图所示：图片来源/jrzg/2008-09/24/content_1104882.htm请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下：1. 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H 的球面S上运行。

考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？3. 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。

卫星的跟踪测控问题简析摘要：本文主要利用计算几何与图论的有关知识，分析和解决了卫星的跟踪测控问题，并应用仿真模拟手段对地球自转、非自转、不同轨道、不同纬度的卫星跟踪测控进行了较为详细的讨论。

针对问题一、问题二给出了求解过程和结果，并提出了优化改进模型，针对第三问通过神舟七号卫星参数和测控站点分布数据分析了测控站点对该卫星所能测控的范围。

（1）问题一考虑到所有测控站点与卫星的运行轨道共面，测控点个数只与卫星轨道的高度相关，将问题一转化为考虑卫星不同轨道高度、地球无自转情况下，测控站点最少测控模型求解问题。

从而得到：低轨道卫星（小于500km）至少需要10个测控站，中轨道卫星（500~2000km）至少需要5个测控站，高轨道卫星（2000~20000km）至少需要3个测控站，太阳同步卫星（700~1000km）至少需要7个测控站，地球同步卫星轨道高度（35786km）远大于7651.5km，至少需要3个测控站。

最后对模型1进行了优化，增加了卫星发射过程中卫星测控站点个数确定。

（2）问题二在地球自转情况下，本文首先对问题进行细化，基于不同纬度、不同轨道高度的情况分别考虑，然后利用蜂窝理论将问题转化为求解测控点有效测控面积覆盖问题，得到各种情况下所需测控站点个数。

轨道倾角为0-30°时，低轨道23个，中轨道7个，高轨道3个；轨道倾角为30°-60°时，低轨道39个，中轨道12个，高轨道5个；轨道倾角为60°-90°时，低轨道45个，中轨道14个，高轨道6个。

最后针对模型2计算所得的测控站个数可能会出现测控盲区情形，利用有效等六边形无缝拼接方法，提出了进一步优化方案，得出了相对于模型2更为合理的站点个数。

（3）问题三本文通过获取神州七号卫星运行资料和测控点的分布信息，首先根问题二中得到的模型给出了全程测控神舟七号卫星的测控站点个数：28个，说明了神舟七号卫星16个站点并不能够完全测控；并由测控站点位置信息，利用蜂窝理论中等六边形有效面积，给出了测控站点有效测控范围平面图。

关键词：卫星全程跟踪测控蜂窝理论有效测控范围计算几何仿真模拟一、问题重述本题研究的是对卫星和飞船进行全程跟踪测控问题。

其中每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域，题目要求完成以下三个问题：1、在只考虑测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，确定能进行全程跟踪卫星的测控站点最少数目。

2、考虑地球自转，同时卫星或飞船运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，确定能进行全程跟踪卫星的测控站点最少数目。

3、收集我国一个卫星或飞船的运行资料和测控站点的分布信息，利用问题1和问题2确定的模型分析这些站点对该卫星所能测控的范围。

二、问题11.问题假设1)假设每个测控站都正常工作；2)假设卫星或飞船的运行轨道为圆形；3)假设卫星或飞船不出故障；4)假设不考虑外太空各种空气阻力等因素；5)假设不考虑发射过程的监测；6)假设地球半径为6378km；7)假设卫星的发射是通过光电经纬仪光轴与平台棱镜精确对准；8）假设卫星发射时是东南方向。

23.根据问题1中所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的信息，则问题一转化为考虑不同卫星飞行轨道高度、地球无自转下，测控点最少分布问题。

根据三角形内切圆的性质以及测控设备可以监控与地面夹角3度以上的区域(如图1所示)，由此通过计算可知：当卫星或飞船运行高度高于7651.5千米的情况下，最少利用三个测控站便可完全监控卫星或飞船的飞行情况。

当卫星或飞船运行低于7651.5千米时，三个测控站便出现了监测盲点（不能完全监测卫星或飞船的运行情况），需要增加观测站个数（如图1所示）。

本问题通过对不同轨道高度的卫星进行划分，逐个分析其运行测控点个数。

图14.模型建立与求解因为对于不同轨道高度卫星来说，地球同步卫星高度较高（35786km ），且位于赤道正上空，在赤道上设立3个测控站便可全程跟踪监测。

其余不同轨道卫星卫星类比于地球同步卫星，测控站分布在卫星运行轨道面与地球赤道面相交的交线上。

根据问题1的分析，当测控点与卫星运行轨道共面的情况下，测控点个数只与卫星轨道的高度相关，因此本文利用卫星的最低轨道来进行最少卫星个数进行确定(如图2所示)。

首先确定在不同测控站个数n D 情况下，卫星或飞船的最低高度模型1(如式2.1、2.2所示)。

93sin )18087sin(hr D r n+=- 2.1则可得：r D r h n--=)18087sin(93sin2.2分析式2.2可以发现高度与测控点个数负相关，计算可得不同卫星轨道下测控站点个数（见表1）。

图 2表1不同测控站点个数下卫星轨道的最低高度对表1分析可知，当卫星或飞船运行的高度越低，需要的观测点越多。

根据不同轨道卫星的高度，可知需要的最少测控站个数。

按照不同高度，卫星可以划分为以下几种类型，如表2所示。

表2 不同类型卫星高度表由上述模型以及数据可知：低轨道卫星至少需要10个测控站，中轨道卫星至少需要5个测控站，高轨道卫星至少需要3个测控站，太阳同步卫星至少需要7个测控站，地球同步卫星轨道高度远大于7651.5km，至少需要3个测控站；5.模型的优化对于问题1的上述模型，并没有考虑卫星发射过程，这在一定程度会影响测控点的个数，本小节对模型1进行一定的优化。

由图3卫星发射过程示意图可得，在卫星进入轨道之前，有一个斜向加速和惯性加速过程，在此过程中，卫星存在一个相对于发射点的距离偏差。

若该距离大于位于发射点的测控点的最大测控距离，则需要进行测控站点的调整。

图3 卫星发射过程示意图根据图2中的测控站点与测控卫星的几何信息，可得到测控站点距卫星最远距离x 与卫星高度、地球半径的关系式（如下式2.3）：93cos 2)(222xr h r r x =+-+ 2.3解得测控站点距卫星最远距离x 为：222293cos 93cos h rh r r x +++=通过几何运算，可得到一个测控站所监测卫星或飞船的最大运行弧长l ：hr h rh r r hr h rh r r ：x h r xhr x ++++=++++=+=+=]293cos 93cos [93sin arcsin]293cos 93cos [93sin sin 93sin sin 93sin sin 222222θθθθ的值代入θθπππθπ1802360)(2)(2)(22360)(2=⋅++==+=⋅+=h r h r l d D h r d h r l nθπ2360)(2⋅+=h r l 经上计算得卫星或飞船经过一个测控站所花的时间T:vD h r v l T n ⋅+==)(2π 通过卫星或飞船经过一个测控站所花的时间T 与卫星或飞船从发射到进入轨道的时间t的比较当T >>t 时，卫星不会进入盲区；当T 接近或小于t 时，卫星会进入盲区，需要增加测控站本文这里采用神舟七号卫星数据，对提出的优化模型进行验证。

km r 6378=，km h 343=神七的入轨飞行速度7820.185米/秒，神七上升段飞行时间583.828秒， 可知：6.113436378])3433436378293cos 637893cos 6378[93sin arcsin180222≈++⨯⨯+⨯+⨯=n DvD h r v l T n ⋅+==)(2π=466820185.76.11)3436378(2≈⨯+π秒 如果按照上面的分析则神七在发射需到进入轨道需要再增加测控站才能进行全程测控。

而实际上运载火箭发射航天飞行器的飞行轨道方案是一次主动段就直接入轨（消耗能量较多）。

例如：神州七号飞船先被送入近地点200公里到远地点347公里的椭圆轨道，飞船在椭圆轨道飞行第1至5圈，由于大气阻力的影响，每圈轨道降低近1公里，飞船远地点高度从347公里降为343公里，第5圈，飞船远地点点火变轨，抬升近地点，轨道由椭圆轨道变成高度343公里圆轨道。

三、问题21.问题假设1) 假设每个测控站都正常工作；2) 假设卫星或飞船的运行轨道为圆形； 3) 假设卫星或飞船不出故障； 4) 假设卫星在空中的时间足够长；5) 假设卫星在运行过程之中没有太阳风暴所引起的电磁干扰的影响；6) 假设卫星卫星在发射时气象条件（温度、湿度、平均风速和高空风速）合适； 2.符号设定3.问题分析根据对问题二的分析，由于地球的自转，当卫星在空中时间足够长的情况下，卫星在地球上的投影将会形成一个区域（见图4），而测控的目标是空中的卫星，从而考虑将投影区域向空中移动（移动距离为卫星高度h ）形成一个“卫星”区域，为了达到测控的目的，测控的范围将要完全覆盖这一“卫星”区域。

0=θ时叫赤道轨道，卫星轨道在赤道赤道平面内，地球同步轨道卫星的轨道属于此类。

900<<θ叫顺行轨道，多数卫星采用这种轨道，因为它可以利用地球自转速度，从而节省发射需要的能量，而且可以覆盖任务规定的区域，轨道倾角大则覆盖轨道区域大。

90=θ叫极轨道，在极轨道上的卫星可以观测整个地球，因此地球资源卫星、全球侦察卫星采用这种轨道。

轨道倾角的范围在90~0内，其中地球同步卫星的倾角为0，极地卫星为90。

根据倾角的范围将区域分别为（见表3）：表3每个测控站的测控范围为一个圆形区域，故我们采用圆形的蜂窝状分布（见示意图2，三个圆的圆心连线为正三角形，将每个圆形测控范围的有效范围为以R 为边长的正六边形），以达到测控站最少的目的。