S
Ev(rv)gdSv
Q0EvEv(rv)g4(4Qr0ra23evevrr)
4 r3
3
0
2）解为球坐标系下的表达形式。
v gE
g( g(
Q
4 0 r 2
Qr
4 0 a3
evr evr
) )
(r a) (r a)
v gE
0
3Q
40a3
0
0 (r a)
1
r2
r
(r 2
Qr
40a3 )
(r a)
3）
v E
Q
4 0
(1) r
Q
4 0 a3
rv
0
例 半径为a的球形电介质体，其相对介电常数 r 4 ,
若在球心处存在一点电荷Q，求极化电荷分布。
Ñ 解：由高斯定律，可以求得
vv
v
DgdS Q D
S
在媒质内：
v E
Qevr
Qevr
4 r2
v P
4 r2
vv
D 0E
b a
v E1
gdrv
c b
v E2
gdrv
I (ln b ln a) I (ln c ln b)
21
2 2
I
21 2U0
2 ln(b / a) 1 ln(c / b)
v J
1 2U0
(a r c)
[v 2 ln(b / a) 1 ln(c / b)]r
v E1
J
v1
[
2
ln(b
/
a)
2U0
1
ln(c
/
b)]r
evr
(a r b)
v E2
J
2
1U0
[ 2 ln(b / a) 1 ln(c / b)]r
evr
(b r c)
2
c r
v E2
gdrv
L
(b r c)
1
b r
v E1
gdrv
c b
v E2
gdrv
L
(a r b)
2）由边界条件：
在 r a 面上：
2 (1 2 ) r b
2 a
1
b
例 同轴线填充两种介质，结构如图所示。两
种介质介电常数分别为 1和 2 ，导电率分别为 1和 2
2c
，设同轴线内外导体电压为U。
2b
vv 求：(1)导体间的 E ，J
，
；
2a
(2)分界面上自由电荷分布。
解：这是一个恒定电场边值问题。不能直接应用
1 1
高斯定理求解。
r
a
时：Ev
U
0
r a时：
2 0 ra U r 0
1
r
2
d dr
(r 2
ra U
r 0
d
dr
)
0
c1 r U
ra
0
r
c2
aU r
v
E
(evr
r
ev r
ev
r sin
)( aU )
r
evr
aU r2
解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。 设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场
c。已知外导体接地，内导体电压为U。
vv 求:(1)导体间的 E 和 D 分布；
(2)同轴线单位长度的电容
分析：电场方向垂v直于边界，由边界条件可 知，在媒质两边 D连续 解：设内导体单位长度带电量为 l
2
a
1
c
由高斯定律，可以求得两边媒质中，
vv
b
UDlva2c2Elvnl21rgacdevrrv12U1clbnEEvEv1b2c2gdDDrvv//212l 1
S1
v D1
gn)
[ 2
ln(b /
1 2U0 a) 1 ln(c / b)]a
在 r b 面上：
S 2
v (D2
v D1
)gevr
[ 2
(21 1 2 )U0 ln(b / a) 1 ln(c / b)]b
在 r c 面上：
S3
v D2
gevr
[ 2
21U0 ln(b / a) 1 ln(c / b)]c
典型例题
例 求无限长线电荷在真空中产生的电场。
分析：电场方向垂直圆柱面。
电场大小只与r有关。
解：取如图所示高斯面。
由高斯定律，有
Ñ Ev(rv)gdSv Q
EvS(rv)g(2 rl evr)0
v E
l 2 0 r
evr
l l 0
r v E
例 半径为a的球形带电体，电荷总量Q均匀分布在球体内。
强度为：
v E
Q
40r 2
evr
U
Evgdrv Q ( 1) Q
a
40 r a 40a
Q 40aU
v E
aU r2
evr
Evgdrv
r
aU r r2 dr
aU r
例 同轴线内导体半径为a，外导体半径为b。内外导体间
充满介电常数分别为 1 和 2的两种理想介质，分界面半径为
ln
c a
l 2 2
ln
b c
v D
1 2U
( 2
ln
c a
1
ln
b c
)
r
2U
v E
Hale Waihona Puke (2lnc a
1 1U
ln
b c
)
r
(
2
ln
c a
1
ln
b c
)
r
(a r c) (c r b)
例 球形电容器内导体半径为a，外球壳半径为b。其间充
满介电常数为 1和 2的两种均匀媒质。设内导体带电荷为q，外
2 2
由边界条件，边界两边电流连续。
设单位长度内从内导体流向外导体电流为I。
则：
v J
I S
evr
I
2 r
evr
(a r c)
vv EJ
a
由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为：
1 1 2 2
v
v
v E1
J
1
I
21r
evr
(a r b)
v E2
J
2
I
2 2r
evr
(b r c)
U
求：（1）Ev(rv) （2）gEv(rv) （3） Ev(rv)
分析：电场方向垂直于球面。
r
电场大小只与r有关。
a
解：1) 取如图所示高斯面。
在球外区域：ra
Ñ Ev(rv)gdSv Q
S
Ev(rv)g(4
r2
evr)0
Q
0
v E
Q
4 0 r 2
evr
r
Ñ 在球内区域：ra
Q V
3Q
4 a3
求：介质中的电场强度
v E
和电位移矢量
v D
。
解：由定义，知：
v D v P
v
0E
(1 1
r
v P
0
v
)D
v D
r
v P Pz
Dz Dz
4
v D
r r 1
v P
4 3
v P
…
v E
1
v D
4 0
例 半径为a的带电导体球，已知球体电位为U，
求空间电位分布及电场强度分布。
解法一：导体球是等势体。
v
30E
3Qevr
16 r2
体极化电荷分布:
P
v gP
1 r2
r
(r2Pr ) 0
面极化电荷分布:
SP
Pvgevr
3Q
16 a2
在球心点电荷处：Qp QSP sp 4 a2 3Q 4
Dz
例20nC在/ 线m2性，均极匀化媒强质度P中v ，ev已x9知电evy 位21移 e矢vz1量5DnvC的/ mz分2 量为
球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。
分析：电场平行于v 介质分界面，由边界条件 可知，介质两边 E 相等。
解：令电场强度为
v E
，由高斯定律
Ñ v v
DgdS
q
2
r
2
( D1
D2
)
q
S
2 r2 (1E 2E) q
v E
2
(1
q
2 )r 2
evr
(r) b Evgdrv
q
(1 1)
r