龙文教育学科教师辅导讲义2、求一个已知运动的分运动，叫 运动的分解 ，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解。

3、合运动与分运动的特征：①等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等。

②独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，各个分运动独立进行，互不影响。

速度的合成和分解一定要依据其实际效果进行，合运动一定是物体的实际运动（换句话说，物体实际运动方向是合速度的方向，即物体实际运动方向是平行四边形对角线的方向）例题：如图所示，水平面上有一物体，小车通过定滑轮用绳子拉它，在图示位置时，若小车的速度为5 m/s ，则物 体的瞬时速度为 m/s 。

解：由小车的速度为5m/s ，小车拉绳的速度：32530cos 22==v v x m/s ，则物体受到绳的拉力，拉绳的速度：32521==x x v v m/s ， 则物体的瞬时速度为3560cos 11==xv v m/s 。

4、运动的性质和轨迹：（1）物体运动的性质由加速度决定（加速度得零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。

（2）物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动）。

（3）两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动？ 决定于它们的合速度和合加速度方向是否共线（如图所示）。

（4）常见的类型有：⑴ a =0：匀速直线运动或静止。

⑵ a 恒定：性质为匀变速运动，分为：① v 、a 同向，匀加速直线运动；②v 、a 反向，匀减速直线运动；③v 、a 成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v 、a 之间，和速度v 的方向相切，方向逐渐向a 的方向接近，但不可能达到。

）⑶ a 变化：性质为变加速运动。

如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。

v 1 v a 1 ao v 2 a 25、渡河问题：渡河问题所涉及的就是渡河的最短时间问题和渡河的最短位移问题。

（1）最短时间问题：无论水船v v >、水船v v =，还是水船v v <，只要船v 沿垂直与河岸方向渡河，则所用时间最 短，此时船最短v dt =（其中d 为河宽） （2）渡河的最短位移问题：① 当水船v v >时，合v 与河岸垂直，船v 充当斜边d s =最短。

② 当水船v v =时，无最短位移。

③ 当水船v v <时，以水v 的箭头为圆心，以船v 的大小为半径，画弧，以水v 的箭尾为起点做圆弧的切线，延长该切线到对岸，即为最短位移，由三角形相似船水v v d s =，∴ d v v s 船水=。

（三）平抛运动1、运动的合成与分解是平抛运动的研究依据，对平抛运动的研究也将进一步提高运用运动的合成方法解决问题的 能力。

2、平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。

这两个分运动同时存在，按各自的规 律独立进行，水平初速度的大小不会影响竖直方向的分运动。

一般情况下，竖直方向的分运动决定着平抛物体 的运动的时间。

（1）平抛运动基本规律（结合下图分析）① 速度：分速度：0v v x =，gt v y = 合速度： 22y x v v v +=方向 ：tan θ=oxy v gtv v =②位移和轨迹方程：分位移：x =v o t y =221gt 合位移大小：s =22y x + 方向：tan α=t v g x y o ⋅=2 设物体做平抛运动到某点P （x ，y ），如图所示，则 水平方向位移：t v x 0= 竖直位移：221gt y =dV 船V 合V 水V 船d V 合V 水s上两式消去参数t ，得轨迹方程为：222x v g y o=（抛物线方程）。

③加速度：分加速度：g a a y x ==,0 合加速度大小：g a = 方向竖直向下。

④时间由y =221gt 得t =xy 2（即时间只由下落的高度y 决定） ⑤竖直方向自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。

（2）平抛物体经一段时间，其速度方向和位移方向是不相同的，如上图所示。

0tan v gt =ϕ，002221tan v gt t v gt==θ，即θϕtan 2tan =。

（3）如上图所示，曲线上任一点P （x ，y ）的速度方向反向延长线交于x 轴上的A 点，由图可知0221v gt OA x gt=-，所以x OA 21=-----这是一个有用的推论。

此结论可应用到类平抛运动中，如带电粒子在匀强电场中偏转。

（4）平抛物体在相同时间内，速度变化量相同，gt v =∆，且方向为竖直向下，如右图所示。

例题：如图所示，实线为某质点平抛运动轨迹的一部分，测得AB 、BC 间的水平距离4.021=∆=∆s s m ，高度差25.01=∆h m ，35.02=∆h m ，由此可知，质点平抛的初速度=0v ，抛出点到A 点的水平距离为 。

（g 取10m/s 2）解：分析：由21aT s =∆，可得212gT h h =∆-∆。

225.035.0gT =-，∵ s T 1.0=。

由T v s s 021=∆=∆，∴ s m v /40=。

由初速度为零的匀加速直线运动规律得相等时间内位移之比为:=n s s s s ::::321 :3:15)12(::-n ，可知7:5:21=∆∆h h ，故A 点不是抛出点，抛出点到A 点的时间为2T ，A 点离抛出点水平距离:m T v x A 8.020==。

二、圆周运动（一）描述圆周运动的物理量：ABC△h 1△h 1△s 1△s 2体产生切向加速度，改变速度的大小。

6、圆周运动中的临界问题：竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。

一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。

临界问题的分析方法：首先明确物理过程，正确对研究对象进行受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出临界值。

（1）“绳模型”如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。

（注意：绳对小球只能产生拉力）①小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用mg =2v m R⇒ v 临界=Rg②小球能过最高点条件：v ≥Rg （当v >Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）③不能过最高点条件：v <Rg （实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）（2）“杆模型”如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况（注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。

） ①小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg （F 为支持力） ②当0< v <Rg 时，F 随v 增大而减小，且mg > F > 0（F 为支持力）③当v =Rg 时，F =0④当v >Rg 时，F 随v 增大而增大，且F >0（F 为拉力） （3）圆锥摆的情况：如图所示，圆锥摆的情况是水平面内的圆周运动情况，将绳的拉力竖直分解与重力平衡，水平分解提供向心力， 即：⎩⎨⎧==θωθθsin sin cos 2l m F mgF ，∴θωθsin tan 2l m mg =，∴θωcos l g=由θωcos l g=可以看出↑↓→↑→θθωcos ，反之↑↓→↑→ωθθcos例题：如图所示，两根长度均为l 的细线，将质量为m 的小球系在竖直转轴上，当两细线拉直时， 与竖直方向的夹角均为θ，求在下列条件下，两线受到的拉力（1）转轴转动角速度为θωcos 1l g =；（2）转轴转动角速度为θωcos 232l g=。

解：由受力分析知，小球受上段线拉力上F 和重力mg 的作用，其合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，即：θωθsin tan 20l m mg =，得θωcos 0l g=。

（1）当θωcos 1l g =时，恰好等于临界角速度0ω，所以θcos 0mg，F F ==上下；（2）当θωcos 232l g=时，02ωω>两线均拉紧，即对小球都有拉力，由受力分析知：⎪⎩⎪⎨⎧=--=+0cos cos sin sin sin 22mg F F l m F F θθθωθθ下上下上 联立解得：θcos 45mgF =上，θcos 4mgF =下由此题可以看出：（1）临界值是圆周运动中一个经常考查的重点内容，它是物体在做周圆运动过程中，发生质变的数值或使物体受力情况发生变化的关键数值。

如本题再追加一问即03ωω<，若小球仍能在水平面上做匀速运动，则下段细线将松驰，上段细线与竖直转轴的夹角小于θ。

（2）长为l 的轻杆一端连一个小球，在竖直平面内做圆周运动与长为l 的细线拴一小球，以竖直平面内做圆周运动。

在最高点其线速度的最小值，即临界值是不相同的。

同学们通过对类似问题的比较，要达到触类旁通、举一反三的效果，那我们就一定能学好物理。

（3）火车转弯的情况（L ，H 分别为两铁轨间的距离和外内轨的高度差）：竖直方向：mg N =θcos 水平方向：r mv N 2sin =θ 得：rmv mg 2tan =θ由图可知，铁轨外内轨高度差很小，即θ很小，所以有：LH=≈≈θθθtan sin 由以上各式得火车转弯的最佳速度为：L gHr v /=θθωF 上F 下mgO【讨论】：若L gHr v /=火，则内外轨均无挤压，θtan mg F n =；若L gHr v />火，θtan mg 不足以提供所需的向心力，此时火车向外甩，外侧轮缘挤压外轨，外轨给轮缘一指向圆心方向的弹力，以补充向心力，所以向心力外N mg F n +=θtan ；若L gHr v /<火，θtan mg 大于所需要的向心力，此时火车被向里拉，内侧轮缘挤压内轨，内轨给轮缘一远离圆心方向的弹力，这时向心力为外N mg F n -=θtan 。

【针对训练】1、关于曲线运动，下列说法正确的是（ ）A. 曲线运动一定是变速运动B. 变速运动不一定是曲线运动C. 曲线运动可能是匀变速运动D. 曲线运动其加速度方向一定改变 2、下列关于圆周运动的说法中正确的是（ ）A. 作匀速圆周运动的物体，所受合外力一定指向圆心B. 作圆周运动的物体，其加速度可以不指向圆心C. 作圆周运动的物体，其加速度一定指向圆心D. 作匀速圆周运动的物体，其加速度是不变的3、 物体受到几个外力的作用而做匀速直线运动，如果撤掉与速度共线的一个力，其它力不变，则它有可能（ ）A. 做匀速直线运动B. 做匀加速直线运动C. 做匀减速直线运动D. 做曲线运动4. 如图所示，两轮用皮带传动，没有打滑，A 、B 、C 三点位置见图示，21r r >，O 1C =2r ，则这三点的向心加速度的关系为（ ）A. C B A a a a ==B. B A C a a a >>C. B A C a a a <<D. A B C a a a >=5．如图所示，一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球做半径为R 的圆周运动，以下说法正确的是 （ ）A ．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零B ．球过最高点时，最小速度为RgC ．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反D ．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一 定大于杆对球的弹力6、如图所示，一个内部光滑的圆锥桶的轴线垂直于水平面，圆锥桶固定不动。