3π
1 r 3a sin cos a sin cos 3 3 3 3 3
2
10
2
7.4 平面曲线的弧长
例 求阿基米德螺线 r a (a 0)上相应于
从 0到2 π的弧长.
解
o

2π
2πa
x
s
r 2 ( ) r 2 ( )d
a a d a 0
2 2 2
2π

0
2 1d
a [2 π 1 4 π 2 ln( 2 π 1 4 π 2 )]. 2

x x a dx 2
2 2
a x a ln | x x 2 a 2 | C 2
2 2
11
2
7.4 平面曲线的弧长
s


r 2 ( ) r 2 ( )d
3
解 s

r 2 ( ) r 2 ( )d
6 4 2 2
2 a sin a sin cos d 0 3 3 3 2 3π 3 a sin d πa . 0 2 3
s1 2
s2 2
π
π
0
2 2 2 1 a cos xdx 1 y dx 0
2
π
设椭圆的周长为s2
2
0 π
2 2 2 ( x) ( y) dt 20 (sin t ) (1 a )(cos t ) dt
2
2
π
2
0 π
1 a cos tdt
2 2
0
1 a cos xdx s1 .
2 2
8
7.4 平面曲线的弧长
四、极坐标情形
曲线弧为 r r ( ) ( )
其中r ( )在[ , ]上 具有连续导数.
现在计算这曲线弧的长度. 由直角坐标与极坐标的关系：
为参数的 x r cos x r ( ) cos ( ) 参数方程 y r ( ) sin y r sin
四、小结
平面曲线弧长的概念
直角坐标系下 参数方程情形下 求弧长的公式 极坐标系下
12
7.4 平面曲线的弧长
思考题
闭区间[a, b]上的连续曲线 y = f (x)是否 一定可求长?
解答
不一定. 仅仅有曲线连续还不够,
必须保证曲线光滑才可求长.
13
( dx ) 2 ( dy ) 2 1 y 2 dx
dx
弧长元素 ds 1 y dx , 弧长 s 1 y 2 dx . a (弧微分)
2
3
b
7.4 平面曲线的弧长
(chx ) shx
chxdx shx C
s
b
a
2 1 y dx
2 2 r ( ) r ( )d 弧长元素为 ds (dx ) (dy )
2
2
弧长 s


r 2 ( ) r 2 ( )d .
9
7.4 平面曲a sin 的长. 3 ( a 0) (0 3 π )
a xa x x a 例 悬链线方程 y (e e ) ach 2 a 计算介于 x b与x b 之间一段弧长度. x x y 解 y ach , y sh a a a
x ch x 1 ( y ) 1 sh a a 所求弧长为
现在计算这曲线弧的长度. 取参数t为积分变量, 其变化区间为 [ , ]. 对应于 [ , ] 上任一小区间 [t , t dt ]的小弧段的 长度的近似值, 即弧长元素为
2 2 ds (dx ) (dy ) ( t ) ( t )dt
2
2
弧长 s
7.4 平面曲线的弧长
7.4 平面曲线的弧长
弧长的概念 直角坐标情形
参数方程情形
极坐标情形 小结 思考题 作业
7.4 平面曲线的弧长
一、平面曲线弧长的概念
Mi
设A、B是曲线 y 弧上的两个端点, 在
M2
M1


M n1

B Mn 弧上插入分点 A M 0 , A M0 M1 ,, M i , , M n1 , M n B, 依次用弦将 O x 相邻两点联结起来, 得到一条内接折线. 记每条弦
光滑曲线弧是可求长.
2
7.4 平面曲线的弧长
二、直角坐标情形
y
设曲线弧为y = f (x)
(a x b), 其中f (x)在
y f ( x)
[a, b]上有一阶连续导数.
dy
现在计算这曲线弧的长度. o a x x dx b x 取积分变量为x, 在[a, b]上 任取小区间 [ x, x dx], 以对应小切线段的长代替小 弧段的长, 小切线段的长为:
s 4s1
4
0
第一象限部分的弧长
2 2 ( x ) ( y ) dt
π 2
a a
O
a
x
4 3a sin t cos tdt
6a .
π 2 0
a
7
7.4 平面曲线的弧长
例 证明正弦线 y a sin x (0 x 2π) 的弧长
x cos t 等于椭圆 (0 t 2π) 的周长. 2 y 1 a sin t 证 设正弦线的弧长等于s1 对称性


2 ( t ) 2 ( t )dt .
6
7.4 平面曲线的弧长
s


2 ( t ) 2 ( t )dt
例 求星形线 x 2 3 y 2 3 a 2 3 ( a 0) 的全长.
x a cos 3 t (0 t 2π) 解 星形线的参数方程为 3 y a sin t 对称性 y
n
π
0
π
t t t t sin cos 2 sin cos dt 2 2 2 2
2
2
t t n sin cos dt 4n. 0 2 2
5
7.4 平面曲线的弧长
三、参数方程情形
x ( t ), 曲线弧为 ( t ) y (t ) 其中 ( t ), ( t ) 在[a, b]上具有连续导数.
的长度为 | M i 1 M i |, i 1,2,, n, 令 max | M i 1 M i | . 如果当分点无限增加, 且 0时, 折线长度的极限
lim | M i 1 M i | 存在, 则称此极限为曲线弧 AB的
0
n i 1
1 i n
弧长(长度).
2
2
b
O
bx
b x b x x s ch dx 2 ch dx 2ash 2ash . 0 a0 a b a a
b
b
4
7.4 平面曲线的弧长
x n
s
b
a
1 y 2 dx
例 计算曲线 y 0 n sin d 的弧长 (0 x nπ ).
x 1 x 解 y n sin sin , n n n π nπ x π x nt 0 0 n π s 1 sin dx 1 sint ndt 0 n dx ndt 0