整体最小二乘估计的深入研究
摘要:整体最小二乘法是一种较为先进的最小二乘法结构，整体最小二乘法认为回归矩阵存在干扰，在计算最小二乘解时考虑了这个因素，而在一般最小二乘法时没有考虑该因素的影响。

整体最小二乘法应用广泛，得到效果也比较好。

本文主要讨论了整体最小二乘法的基本原理，给出了整体最小二乘的单位权中误差计算公式以及待估参数的近似精度评定公式。

一、整体最小二乘的基本原理
最小二乘法经历了百余年的发展考验，已经成为许多领域数据处理广泛应用的方法。

测量数据的处理方法，通常是指按最小二乘法进行测量平差，它是测量数据处理中最基本、最广泛的应用方法，尤其是近几十年来得到了充分的发展和应用。

最小二乘平差的基本思想是在最小二乘准则下进行测量数据的调整。

测量平差模型均可归结线性方程组的求解问题。

最小二乘准则要求残差的范数平方和极小，它主要是针对观测值中的偶然误差的。

然而，实际问题中参数估计中的观测值和系数阵都可能存在误差，针对这种更复杂的情况，20 世纪 80提出了整体最小二乘法。

先介绍整体最小二乘的基本思想：对于线性方程组，普通最小二乘的基本思想是在残差平方和极小的准则约束下求解最佳参数。

这里有一个前提，系数矩阵A 是没有误差的精确值，但是多数情况系数阵A和观测向量L 同时存在误差，若同时考虑二者的误差，此时，线性方程组可表示为
其中
A∈R ，L∈，，, ；；m 为观测值个数，n 为待估参数个数，为系数阵的噪声，为观测噪声，误差矩阵[]属于相互独立的白噪声误差。

这一模型称为EIV （Errors-in-Variables）模型。

解决这类问题的适宜方法是整体最小二乘法（Total Least Squares, TLS）。

对于线性方程组Ax = L，整体最小二乘问题就是在以下准则约束下。