当∠ QPM=2∠ QPN 时， 60－5t =2×10t ，解得 t= ； 当∠ MPN=2∠ QPN 时，60+5t =2×10t，解得 t=4； 当∠ QPN=2∠ QPM 时，10t =2×(60－5t)，解得 t=6；
综上，当射线 PQ 是∠ MPN 的奇妙线时 t 的值为 或 4 或 6. 故答案为：(1)是；(2) ①当 t 的值是 9 或 12 或 18 时，射线 PM 是∠ QPN 的奇妙线；②当
2 ． 将 一 副 三 角 板 如 图 1 摆 放 在 直 线 MN 上 ， 在 三 角 板 OAB 和 三 角 板 OCD 中 ，
，
，
.
（1）保持三角板 OCD 不动，将三角板 OAB 绕点 O 以每秒
间为 t 秒.
①当 ________秒时，OB 平分
此时
的速度逆时针旋转，旋转时 ________ ；
转，当∠ QPN 首次等于 180°时停止旋转，设旋转的时间为 t（s）. ①当 t 为何值时，射线 PM 是∠ QPN 的奇妙线？ ②若射线 PM 同时绕点 P 以每秒 5°的速度逆时针旋转，并与 PQ 同时停止旋转.请求出当射 线 PQ 是∠ MPN 的奇妙线时 t 的值. 【答案】 （1）是 （2）解：①∠ MPN=60，∠ QPM=10t－60，∠ QPN=10t(最大角)， 当∠ MPN=2∠ QPM 时，60=2(10t－60)，解得 t=9； 当∠ QPN=2∠ MPN 时，10t =2×60，解得 t=12； 当∠ QPM=2∠ MPN 时，10t－60=2×60，解得 t=18； 综上，当 t 的值是 9 或 12 或 18 时，射线 PM 是∠ QPN 的奇妙线. ②∠ QPN=10t，∠ QPM=60－10t+5t=60－5t，∠ MPN=60+5t(最大角)，
与
之间的数量关系.
【答案】 （1）1.5； ；
，
（2）解：①由题意：
，，Biblioteka ，所以 t 为 2 时，OB 平分
②当
时，
当
时，
当
时，
【解析】【解答】（1）①
当
时，即
，
故答案为
【分析】（1）该小题是简单的旋转问题，结合图 1 即可求得 t 的值及
与
关系该小题第二问涉及角的旋转问题，利用特殊角解决本题就好做多了（2） 时，根据角平分线的定义即可建立等量关系
∴ ∠ AOF= ∠ AOE= ×110°=55°， ∴ ∠ COF=∠ AOF-∠ AOC， =55°-30°，
=25°； 故答案为：25°； （2）∵ ∠ AOC=30°，∠ COF=20°， ∴ ∠ AOF=∠ AOC+∠ COF=30°+20°=50°， ∵ OF 平分∠ AOE， ∴ ∠ AOE=2∠ AOF=2×50°=100°， ∴ ∠ EOB=∠ AOB-∠ AOE=140°-100°=40°； 故答案为：40°； （3）∵ ∠ AOC=30°，∠ COF=n°， ∴ ∠ AOF=∠ AOC+∠ COF=30°+n°， ∵ OF 平分∠ AOE， ∴ ∠ AOE=2∠ AOF=2（30°+n°）=60°+2n°， ∴ ∠ EOB=∠ AOB-∠ AOE=140°-（60°+2n°）=80°-2n°； 故答案为：80°-2n°； 【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 ∠ AOE=∠ AOB-∠ EOB 先 求 出 ∠ AOE ， 再 根 据 角 平 分 线 的 定 义 求 出 ∠ AOF，最后根据∠ COF=∠ AOF-∠ AOC 解答即可； （2）根据∠ AOF=∠ AOC+∠ COF 先求出∠ AOF，再根据角平分线的定义求出∠ AOE，最后根 据∠ EOB=∠ AOB-∠ AOE 解答即可； （3）与（2）的思路相同求解即可； （ 4 ） 设 ∠ COF=n°， 先 表 示 出 ∠ AOF ， 再 根 据 角 平 分 线 的 定 义 求 出 ∠ AOE ， 最 后 根 据 ∠ EOB=∠ AOB-∠ AOE 解答即可．
的 平分
3．如图 1，射线 OC 在∠ AOB 的内部，图中共有 3 个角：∠ AOB、∠ AOC 和∠ BOC，若其中 有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线 OC 是∠ AOB 的奇妙线.
（1）一个角的角平分线________这个角的奇妙线.（填是或不是）； （2）如图 2，若∠ MPN＝60°，射线 PQ 绕点 P 从 PN 位置开始，以每秒 10°的速度逆时针旋
②当三角板 OAB 旋转至图 2 的位置，此时
与
理由；________
（
2
有怎样的数量关系？请说明 ）
如
图 3，若在三角板 OAB 开始旋转的同时，另一个三角板 OCD 也绕点 O 以每秒 的速度逆
时针旋转，当 OB 旋转至射线 OM 上时同时停止.
①当 t 为何值时，OB 平分
？
②直接写出在旋转过程中，
证明：设∠ COF=n°，则∠ AOF=∠ AOC-∠ COF=30°-n°， 又∵ OF 平分∠ AOE， ∴ ∠ AOE=2∠ AOF=60°-2n°． ∴ ∠ EOB=∠ AOB-∠ AOE=140°-（60°-2n°）=（80+2n）° 即∠ EOB=80°+2∠ COF． 【解析】【解答】（1）∵ ∠ AOB=140°，∠ EOB=30°， ∴ ∠ AOE=∠ AOB-∠ EOB=140°-30°=110°， ∵ OF 平分∠ AOE，
七年级上册云南师范大学附属中学数学期末试卷测试卷（解析版）
一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）
1．如图 1，已知∠ AOB=140°，∠ AOC=30°，OE 是∠ AOB 内部的一条射线，且 OF 平分 ∠ AOE．
（1）若∠ EOB=30°，则∠ COF=________； （2）若∠ COF=20°，则∠ EOB=________； （3）若∠ COF=n°，则∠ EOB=________（用含 n 的式子表示）． （4）当射线 OE 绕点 O 逆时针旋转到如图 2 的位置时，请把图补充完整；此时，∠ COF 与 ∠ EOB 有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】 （1）20° （2）40° （3）80°-2n° （4）如图所示：∠ EOB=80°+2∠ COF．