弹簧支持。试证明压杆的临界载荷满足下述方程：
sin
kl 2
sin
kl 2

kl 2
1
4k 2EI cl
cos
kl 2


0
式中， k F /(EI) 。
8
题 11-10 图 解：该细长压杆的微弯状态如图 11-10 所示。
图 11-10 按图中所取坐标，左、右段压杆得弯矩方程分别为
N/mm 时，截面 B 的挠度分别为何值。横梁与立柱均用低碳钢制成，弹性模量 E = 200 GPa，
比例极限 p =200 MPa。
11
题 11-13 图 解：1.求立柱的临界载荷
给立柱和梁编号分别为 1 和 2，我们有
λp π
E π σp
200109 200106
99.3
i I1 d 10mm0.010m A1 4
6
由此得
FN1 FN2 FN3 FN4
F 2
Fcr
2
(
π
2
l
EI
2
)

2π 2 EI l2
11-9 图 a 所示细长压杆，弯曲刚度 EI 为常数，试证明压杆的临界载荷满足下述方程：
式中，k2=F/(EI)。
sinkl(sinkl2klcoskl)0
题 11-9 图
解：在临界载荷作用下，压杆可在图 b 所示微弯状态保持平衡。
w2

A2sinkx2

B2coskx2

Fc 2F
x2
由此得
当x1 0，w1 0; 当x2 0，w2 0
位移连续条件为 代入通解后，得
重排后，得
B1 0，B2 0
当
x1

x2

l 2
:
w1

Fc c
;
w2

Fc c
;
w1 w2

A1sin
kl 2

Fcl 4F
A1sinkl
A1sin kl A2 sin kl 0
A1k coskl
A2k coskl

l

可见，A1，A2 与存在非零解的条件为
sin kl 0 1 sin kl -sinkl 0 0 k coskl kcoskl 1/l
由此得
sinklsinkl 2klcoskl 0
32alFcr
4

32 0.500 0.300 42103
m 0.030m 30 mm
πG
π 79109
图 11-4
4
11-6 图示细长压杆，弯曲刚度 EI 为常数，试按§11-2 所述方法确定杆的临界载荷。
解：设自由端的挠度为，则 挠曲轴近似微分方程为 或 式中，
题 11-6 图
2
sin
kl 2
[sin
kl 2

k
(
l 2

2k
2 EI c
)cos
kl 2
]

0
sin kl [sin kl kl (1 4k 2EI )coskl ] 0
2 22
cl
2
11-11 图示阶梯形细长压杆，左、右两段各截面的弯曲刚度分别为 EI1 与 EI2 。试
证明压杆的临界载荷满足下述方程：
3
题 11-4 图
解：刚性杆 AB 在微偏斜（设偏斜角为 ，见图 11-4）状态下处于平衡，此时加给轴 BC
的扭力矩为
M B Fa
而
Tl GI p
注意到 T M B ，于是得 即
由此得（题中给出 F=42kN）
F GIp al
Fcr

GI p al

πGd 4 32al
4
d
coskl 0
由上式得
kl nπ (n0,1,2,)
(c)
2
将式(c)代入式(a)，得
Fcr

n 2 π 2 EI 4l 2
由上式并取 n=1，即得压杆的临界载荷为
(n 0,1,2,)
Fcr

π 2 EI 4l 2
11-7 试确定图示各细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度 EI 为常数。
MC 0,
c l F 0 2
Fcr

cl 2
1
图 11-2a （b）解：设系统微偏转如图 11-2b(1)所示，铰链 A 与 B 的铅垂位移分别用与表示,于 是得杆 AB 的受力如图 11-2b(2)所示，杆的平衡方程为
Fy 0, c22 c11 0
(a)
M A 0, c22l F (1 2 )0
F 为何值时结构中的个别杆件将失稳？如果将载荷 F 的方向改为向内，则使杆件失稳的载荷 F 又为何值？
题 11-8 图
解：1.当 F 向外时
竖向杆 CD 受压，其余四根杆受拉。 设杆 CD 编号为 5，则有
由此得
FN5 F
Fcr

π 2 EI ( 2l)2

π 2 EI 2l 2
2.当 F 向内时 此时杆 5 受拉，其余各杆（编号 1，2，3，4）受压。且
当x2 l时，w2 δ
B1 δ
A1 0
B2 δcosk1l
(a)
A2

k1 k2
δsink1l
(b)
A2sink2l B2cosk2l 0
(c)
将式(a)和(b)代入式(c)，于是得
t
ank1l

t
ank2l

k2 k1
11-13 图示结构，由横梁 AC 与立柱 BD 组成，试问当载荷集度 q =20 N/mm 与 q =26
由于 q qcr ，立柱中 FN Fcr ，直线平衡状态是稳定的。 由变形协调条件
wB Δl1 得
代入已知数据后，得
5ql24 FNl23 FNl1 384EI2 48EI2 EA1
12
进而可得截面 B 的挠度为
FN 4.8554104 N 48.554kN
wB

Δl1

FN l1 EA1
上述方程有两组可能的解，即： sinkl 0
sinkl 2klcoskl 0 由上述二方程的最小非零正根，分别得
Fcr，1
π
2
l
EI
2
显然，压杆的临界载荷为
Fcr，2

1.359EI l2
Fcr

Fcr，2

1.359EI l2
11-10 图示两端铰支细长压杆，弯曲刚度 EI 为常数，压杆中点用弹簧常量为 c 的
2
题 11-3 图 解：结构的临界状态示如图 11-3。
图 11-3 使梁 B 端截面产生转角 θB 的力矩应为
Me

3EI l
θB
而
Me F (θBa)
由此得 即
F 3EI al
Fcr

3EI al
11-4 图示刚性杆 AB，下端与圆截面钢轴 BC 相连。为使刚性杆在图示铅垂位置保
持稳定平衡，试确定轴 BC 的直径 d。已知 F = 42 kN，切变模量 G = 79 GPa。
(b)
由式（b）得
F c22l
(c)
1 2
由式（a）得

2

c11 c2
代入式（c），于是得系统的临界载荷为
Fcr

c1c2l c1 c2
图 11-2b
11-3 图示结构，AB 为刚性杆，BC 为弹性梁，各截面的弯曲刚度均为 EI。在刚性杆
顶端承受铅垂载荷 F 作用，试求其临界值。
第十一章 压杆稳定问题
11-1 图示两端铰支刚杆－蝶形弹簧系统，试求其临界载荷。图中，c 代表使蝶形弹
簧产生单位转角所需之力偶矩。
题 11-1 图
解：系统的临界状态（微偏斜状态）如图 11-1 所示。注意到蝶形弹簧产生的转角为 2θ ，
由右段刚杆的力矩平衡方程
c(2θ) F (θ l ) 0 2
上述微分方程的通解分别为

w1 A1sinkx1 B1coskx1 l x1
(a)
w2 A2 sinkx2 B2 coskx2
(b)
式中，除参数 k 外，积分常数 A1，A2，B1，B2 与端点挠度也均为未知。 压杆的位移边界条件与连续条件为：
在 x1 0 处, w1 0
(a)解:相当长度为
题 11-7 图
5
leq a
临界载荷为
Fcr

π 2 EI a2
(b)解：压杆微弯状态的挠曲轴如图 11-7b 中的虚线所示。
半个正弦波的长度为 a，即
图 11-7b
leq a
由此得临界载荷为
Fcr

π 2 EI a2
11-8 图示正方形桁架，各杆各截面的弯曲刚度均为 EI，且均为细长杆。试问当载荷
以上二微分方程的通解为
k12

EFI1，k22

F EI2
位移边界与连续条件为 由上述条件依次得
w1 A1sink1x1 B1cosk1x1 δ w2 A2sink2x2 B2cosk2 x2 δ
当x1 0时， w1 0，w1 0 当x1 l与x2 0时， w1 w2，w1 w2
得
Fcr

4c l
图 11-1
11-2 图示刚杆－弹簧系统，图中的 c，c1 与 c2 均为弹簧常数，试求系统的临界载荷。
题 11-2 图 (a) 解：设系统微偏转如图 11-2a(1)所示，铰链 C 的铅垂位移用表示,于是得杆 BC(连带 铰链 C)的受力如图 11-2a(2)所示，由平衡方程