阵列信号处理中的DOA （窄带）/接收过程中的信号增强。

空域参数估计：从而对目标进行定位/给空域滤波提供空域参(DOA)θ的函数，P(θ)./经典波束形成器 注，延迟相加法和CBF 法本质相同，仅仅是CBF 法的最优权向量是归一化了的。

CBF / Bartlett 波束形成器 CBF ：Conventional Beam Former ） 最小方差法/Capon 波束形成器/ MVDR 波束形成器MVDR ：minimum variance distortionless response ） Root-MUSIC 算法 多重信号分类法 解相干的MUSIC 算法 （MUSIC ） 基于波束空间的MUSIC 算法 TAM 旋转不变子空间法 LS-ESPRIT TLS-ESPRIT 确定性最大似然法（DML ：deterministic ML ）随机性最大似然法（SML ：stochastic ML ）最大似然估计法是最优的方法，即便是在信噪比很低的环境下仍然具有良好的性能，但是通常计算量很大。

同子空间方法不同的是，最大似然法在原信号为相关信号的情况下也能保持良好的性能。

阵列流形矩阵（导向矢量矩阵）只要确定了阵列各阵元之间的延迟τ，就可以很容易地得出一个传统的波达方向估计方法是基于波束形成和零波导引概念的，并没有利用接收信号向量的模型（或信号和噪声的统计特性）。

知道阵列流形 A 以后，可以对阵列进行电子导引，利用电子导引可以把波束调整到任意方向上，从而寻找输出功率的峰值。

①常规波束形成(CBF)法CBF法，也称延迟—相加法/经典波束形成器法/傅里叶法/Bartlett波束形成法,是最简单的DOA 估计方法之一。

这种算法是使波束形成器的输出功率相对于某个信号为最大。

（参考自：阵列信号处理中DOA估计及DBF技术研究_赵娜）注意：上式中，导向矩阵A表示第K个天线阵元对N个不同的信号s(i)示第i个信号s(i)在M个不同的天线上的附加权值。

将式（2.6）的阵元接收信号，写成矢量形式为：X(t)=AS(t)+N(t)其中，X(t)为阵列的M×1维 快拍数据矢量，N(t)为阵列的M×1维噪声数据矢量，S(t)为信号空间的N×1维矢量，A 为空间阵列的M×N 维阵列流型矩阵（导向矢量矩阵），且A =[a 1(ω0) a 2(ω0)…a N (ω0)]其中，导向矢量a i (ω0) 为列矢量，表示第i 个信号在M 个天线上的附加权值a i (ω0)=[exp (−jω0τ1i )exp (−jω0τ2i )⋮exp (−jω0τMi )]，i =1,2,…,N 式中，ω0=2πf =2πc λ ,其中，c 为光速，λ为入射信号的波长。

的时间延时为τki ，则有：τki =(k−1)d sin θi c ⁄ ，k =1,2,…,M ，其中，d 为阵元间距，一般取d=λ/2。

第i由上述的知识可知,一旦知道阵元间的延迟表达式τ,就很容易得出特定空间阵列的导向矢量或阵列流型。

,在一时间内将阵列波束“导向”到一个方向上,对期望信号得到最大输出功率的导向位置即是波达方向估计值,如图1所示。

假设空间存在M 个阵元组成的阵列,Nw =[w 1w 2…w M ]Ty (t)=w H x (t )=∑w i ∗M i=1x i (t)P (w )=1L ∑|y(t)|2=w H E {x (t )x (t )H }w =w H Rw LI=1 其中，R 为接收信号矢量x(t)的自相关矩阵图1 阵列信号处理示意图假设来自θ方向的输出功率最大,则该最大化问题可表述为：θ=arg max w[P (w )]=arg maxw[E{w H x(t)x(t)H w}]=arg maxw[w H E{x(t)x(t)H}w]=arg maxw[E|s(t)|2|w H a(θ)|2+σ2‖w‖2]为了使加权向量w的权值不影响输出信噪比，在白化噪声方差σ2一定的情况下，取‖w‖2=1，此时求解为：w CBF=a(θ)√a H(θ)a(θ)此时Bartlett 波束形成器的空间谱为：P CBF(θ)=w CBF H Rw CBF=a H(θ)Ra(θ) a H(θ)a(θ)Bartlett算法相同，仅最优权向量不同，后者的最优权是归一化了的。

）（参考自：阵列信号处理中的DOA估计技术研究_白玉）k时刻，令x(t)=u(k)，s(t)=s(k),n(t)=n(k),上面公式中：P cbf(θ)=P(w)，u(k)=x(t),令u(k)=a(θ)s(k)+n(k)，波束形成器输出信号y(k)是传感器阵元输出的线性加权之即y(k)=w H u(k)(2-1)传统的波束形成器总的输出功率可以表示为：P cbf =E[|y(k)|2]=E[|w H u(k)|2]=w H E[u(k)u H(k)]w=w H R uu w(2-2)式中,R uu定义为阵列输入数据的自相关矩阵。

式(2-2)在传统DOA估计算法中的地位举足轻重。

自相关矩阵R uu包含了阵列响应向量和信号自身的有用信息,仔细分析R uu，可以估计出信号的参数。

考察一个以角度θ入射到阵列上的信号s(k)，则有u(k)=a(θ)s(k)+n(k)。

根据窄带输入数据模型,波束形成器的输出功率可以表示成:P cbf(θ )=E[|w H u(k)|2]=E[|w H(a(θ)s(k)+n(k))|2]=|w H a(θ)|2σ2+|w H|2σn2(2-3)式中，σs2=E[s(k)2]，a(θ)是关于DOA角θn(k)是阵列输入端的噪声向量。

当时，系统的输出（信号）功率达到最大。

这是因为，权值向量w在传感器阵元处和来自方向θ的信号在DOA估计的经典波束形成方法中，波束形成器产生的波束在感兴趣的区域中离散地扫描，对应不同的θ可以产生不同的权向量：w yanchi=a(θ)从而得到的输出功率也不相同。

利用式(2-3),经典波束形成器的输出功率与波达方向的关系由下式给出:P cbf(θ)=w H R uu w=a H(θ)R uu a(θ) (2-4)因此，如果我们对输入自相关矩阵进行估计,θ,通过锁定式(2-4)定义的空间谱的峰值就可以估计出波达方向。

常规波束形成器法)，CBF法(Bartlett但是当存在着来自多个方向的信号时，该方法要受到波束宽度和旁瓣高度的制约，因而这种方法的分辨率较低，只能大致分辨出信号所处的角度范围。

这是因为，延迟—相加法是把阵列形成的波束指向某个方向，由此可以获得来自于这个方向的信号的最大功率。

就单个信号而言，延迟—相加法可以很好地估计出它的波达方向。

但是当信号空间中存在多个信号的时侯，因为波束宽度的限制，受到同一个波束内信号之间的相互干扰，延迟—相加法的估计性能就会急剧的下降。

增加阵列的阵元数（M）可以改善延迟—相加法的性能，提高分辨率，但是这会使系统更加复杂，还会增加算法的计算量和数据存储空间。

②Capon 最小方差法(Capon 波束形成器，也称MVDR波束形成器)最小方差无畸变响应（MVDR）波束形成器解决了延迟—相加法分辨率差的缺点，用一部分自由度在期望方向上形成一个波束，利用剩余的一部分自由度在干扰方向形成零陷。

这种方法使得输出功率和约束条件为其优化问题表述为：θ=arg minw[P(w)]约束条件为：w H a(θ)=1综合上式求解w为：w CAP=R−1a(θ) a H R−1a(θ)此时Capon 波束形成器的空间谱为：P CAP=w CAP H Rw CAP=1a H R−1a(θ)Capon算法比延迟—相加法有了一定程度的改进，可以对多个信号进行DOA 估计。

但是Capon 算法只能分辨非相干信号，当存在与感兴趣信号相关的其它信号时，它就不能起作用了。

这是因为Capon 算法在运算的过程中使用到了信号的自相关矩阵，因而不能对干扰信号形成零陷。

也就是说，在使得输出功率为最小的过程当中，相关分量可能会恶性合并。

此外，Capon算法运算时需要对信号的自相关矩阵求逆，当阵列加大时会有巨大的运算量。

对于任意的Φ,P Capon(Φ )是来自方向Φ的信号功率的最大似然估计。

子空间分解类算法开始兴起。

这一类算法有一个共同的特点，就是需要对阵列的接收数据矩阵进行数学分解（如奇异值分解、特征值分解和QR 分解等），将数据分解成两个互相正交的特征子空间：一个是信号子空间，另一个是噪声子空间。

子空间类算法按照处理方式的不同可以分成两类：一种是以 MUSIC 算法为代表的噪声子空间类算法另一种是以ESPRIT 算法为代表的信号子空间类算法。

式中,R s是信号相关矩阵( signal correlation matrix ),E[ss H]。

R的特征值为{ λ0,λ1,,λ2, ….,λM-1},使得|R−λi I|=0 (2-12)利用式(2-11),我们可以把它改写为|AR s A H+σn2I-λi I|=|AR s A H-(λi-σn2)I|=0 (2-13) 因此AR s A H的特征值(eigenvalues)νi为νi=λi-σn2(2-14)因此A是由线性独立的导引向量构成的,因此是列满秩的,信号相关矩阵R s也是非奇异的,只要入射信号不是高度相关的。

列满秩的A和非奇异的R s可以保证,在入射信号数L小于阵元数M时,M×M的矩阵AR s A H是半正定的,且秩为D。

这意味着AR s A H的特征值νi中,有M-L个为零。

由式(2-14)可知,R的特征值λi中有M-L个等于噪声方差σn2。

该M-L个最小特征值λi相关的特征向量,和构成A的L个导引向量正交。

噪声子空间和信号子空间是相互正交的，而由导向矢量所张成的空间与信号子空间是一致的。

应当指出，与传统方法不同，MUSIC算法在估计信号功率时并没有考虑波达角。

在噪声与信号源非相关的环境下，可以确保P MUSIC(θ) 的谱峰对应着信号的真实方向。

由于P MUSIC(θ)的峰值是可以分辨的，并且与信号之间的真实角度间隔没有关系，因此从理论上来讲，只要阵元位置校准的足够准确，MUSIC算法就可以分辨出两个邻近的信号。

但是当入射信号之间彼此高度相关时，自相关矩阵R xx会旋转不变子空间算法（ESPRIT）是空间谱估计算法中的典型算法之一，它和前面介绍的 MUSIC 算法一样，也需要对阵列接收数据的协方差矩阵进行特征分解。

但是两者也存在着明显的不同点，即MUSIC 算法利用了阵列接收数据的协方差矩阵的噪声子空间和导向矢量之间的正交特性，而ESPRIT 算法则利用了阵列接收数据的协方差矩阵信号子空间的旋转不变性，所以 MUSIC 算法与 ESPRIT算法可以看成为是一种互补的关系。