2017年襄阳四中、五中自主招生考试
数学参考答案
11.2
1
-
≥x 且3≠x 12. 0 13.32 14.3 15. 999×1000×1001=999999000 （若写出左边的乘式没计算结果也给分） 16 15052- =255024（若写出左边的等式没计算结果也给分）
17. 1523+++bx ax x =（12+x ）（15+x ）=15523+++x x x
a=1, b=5………………………………………………5分 ()b
a -=-1……………………………………………………6分
18.
（1）解：∵∠B ＝75°，∠C ＝45°， ∴∠BAC ＝60°．
又AE 平分∠BAC ． ∴∠BAE ＝∠EAC ＝30°． 又AD ⊥BC
∴∠DAE ＝∠BAD ＝15°………………………………………………1分 ∠AEC ＝180°－∠EAC －∠C ＝180°－30°－45°＝105°………………………………3分
（2）过E 作EF 垂直AC,交AC 于F
，设
EF=1，AE=2,
AF=
3
，CF=1
，
AE AC =2
1
3+……6分
19. 解析： （1）小明 A B C D
小林 A B C D A B C D A B C D A B C D ………………………………………………………………2分 （2）两人都如愿可能情形有AA ，AB ，AC,BA,BB,BC,CA,CB,CC 九种 ∴16
9
=
p …………………………………………………6分 20. 证明：（1） ACD ∆是等边三角形∴
60=∠=∠BAC ECF
又 E 是AC 的中点∴AE=EC
∴在ABE ∆和CFE ∆中
（第18题图）
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠==∠=∠CEF AEB EC
AE ECF BAE 60
∴ABE ∆≌CFE ∆(ASA) ………………………3分
（2）四边形ABFD 的形状为平形四边形 证明： ABE ∆≌CFE ∆
∴BE=EF 在ABC Rt ∆中， E 是AC 的中点∴BE=AE=EC
∴BE=AE=EC=EF 即AC=BF 又 ACD ∆是等边三角形 ∴AC=AD ∴AD=BF
又ADC ECF EFC ∠==∠=∠
60
∴AD ∥BF ∴四边形ABFD 是平行四边形………………………7分
(3)BC=3,∠ABC=90°, ∠BAC=600
三角形ABC 的面积为3，三角形ADC 的面积为
344
3
=⨯，四边形ABCD 面积=
2
3
3………………………10分 21. (1)y=⎩⎨⎧≥<<-60
,8060
5,150x x x ……………………………………………………4分
(2) 设第一批购买x 件，当4035≤<x 时，9200)150()100(80=-+-x x x ，解得
4030==x x 或者。

X=30不合题意，应舍去……………………………………7分
当6040<<x 时，9200)]100(150)[100()150(=---+-x x x x ，解得7030==x x 或者。

不满足6040<<x ，舍去
综上，40=x ……………………………………………………………………10分
22. 解：因为1=ab ，所以b
a 1
=
，所以 231112112++-=+++=
b b b
b a M ，………………………………2分 设b b b N 232++=，则
2232322
++⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=++=b b b b N ，…………………………6分 当2=b 时N 取得最小值，
所以2232
231
10-=+≤<N ，
因此当2
2
,2=
=
a b 时b a M +++=11211取得最小值222-……………………10分 23. （1）解：当m=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；……………………1分
当m≠0时，
∵抛物线y=2mx 2
+（1﹣4m ）x+1﹣6m 与x 轴相交于不同的两点A 、B ，
∴△=（1﹣4m ）2﹣4×2m×（1﹣6m ）=（1﹣8m ）2
＞0， ∴1﹣8m≠0， ∴m≠
8
1
,且0≠m ……………………………………………………3分 （2）证明：∵抛物线y=2mx 2
+（1﹣4m ）x+1﹣6m ，
∴y=2m （x 2
﹣2x ﹣3）+x+1，
抛物线过定点说明在这一点y 与m 无关，
显然当x 2
﹣2x ﹣3=0时，y 与m 无关，
解得：x=3或x=﹣1，……………………………………5分 当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）； 当x=﹣1时，y=0，定点坐标为（﹣1，0）， ∵P 不在坐标轴上， ∴P （3，4）； ……………………………………………………6分
（3）
2
2
2
2
2
4)81(4)
61(24)41(4m m m
m m m a
ac
b x x AB B A -=-⋅--=-=
-=
421
281-=-=
m m m …………………………………………7分 ∵8
1
＜m≤4
∴≤m
21＜4，
∴﹣≤m 21
﹣4＜0，
∴0＜|m
21
﹣
4|≤，……………………………………8分
∴|AB|最大时，|m 21
﹣
4|=，
解得：m=4，∴当m=4时，|AB|有最大值，
此时△ABP 的面积最大，没有最小值， 则面积最大为：|AB|y P =××4=
．………………………………10分
24解：（1）∵∠ABC=90°，AB=BC ，∴∠ACB=45°，BC ：AC=1：2．
∵PD=PC ，∠DPC=90°，∴∠PCD=45°，PC ：DC=1：2．
∴BC ：AC=PC ：DC ，∠PCD=∠ACB ．∴∠PCD ﹣∠PCA=∠ACB ﹣∠PCA ，即∠BCP=∠ACD ． ∴△BPC ∽△ADC ．…………………………4分 （2）∵AB=BC=2，∠ABC=90°，∴2222
1
=⨯⨯=
∆ABC S ， ∵四边形ABCD 的面积为3，∴S △ADC =1．∵AD ∥BC ，∴12
1
=⋅⋅=∆AB AD S ADC ． ∴AD=1．
∵△BPC ∽△ADC ，
∴
12==BC AC BP AD ，即1
2
1=
BP ．解得BP=22． ∴⊙B 的半径为2
2
． …………………………8分
（3）如图所示：
∵BP=1，由（2）可知AD ：BP=2：1， ∴AD=2．
∴D 在以A 为圆心，以2为半径的圆上．
∵△BPC ∽△ADC ， ∴∠PBC=∠DAC ．
∵当点P 与点E 重合时，∠PBC=90°． ∴∠DAC=90°．
当点P′C 与圆B 相切时，∠BP′C=90°，BP′=1，BC=2， ∴∠P′BC=60°． ∴∠D′AC=60°． ∴∠D′AD=90°﹣60°=30°． ∴点D 运动的路线长=
6
2180230π
π=
……………………………………………………12分 F
E A
B
P'D'
P D。