迭代解
{1.1,
-2.5,
{0.96,
-1.92,
{0.998, -2.026,
{0.9972, -1.998,
{0.99932, -2.00164,
3.6 } 2.82 } 3.024 } 2.9892 } 3.00024 }
误差 3.6 0.78 0.204 0.0348 0.01104
代
MATH程序
( A)
max{
1 i n
i
}
A的谱定义为｛：1, 2 ,...,n｝ 迭
代 常用结论：
法
( Ak ) [( A)]k Ax x Ak x k x
原
( A) A
理
事实上：对A的i及特征向量ui , i ui iui Aui A ui
i A 由i的任意性： 当A对 称 时 ， ( A) A 2
第 六
线性插方程值组的法迭代解法
章
主讲教师：刘春凤
1 迭代法原理 2 Jacobi迭代法 3 Gauss迭代法 4 松弛迭代法 5 迭代法的收敛性与稳定性
迭代法的基本思想 相关概念 收敛条件 基本迭代法
迭代法的基本思想
引 例1 求解方程 3xex = 0
迭代过程如图所示：
方程变形： x = ex/3
迭代法的基本思想
思考
对于任何一个方程组x Bx f (由Ax b变形得到的 等 价 方 程 组)， 由 迭 代 法 产 生 的 向 量序 列x ( k ) 是 否 一 定 逐 步 逼 近 方 程 组 的 解x呢 ？
请考虑用迭代法解下述方程组：
x1 x2
2x2 3 x1
5, 5.
并不是所有的
理
由此可见：考察 x(k) 的收敛性.
就要研究B在什么条件下有: lim (k) 0 k
亦即要研究B满足什么条件时有:
Bk 0(零矩阵)(k ).
收敛定理
定理
lim
k
x(k)
x
lim
k
x j(k)
xj
j
1,2,..., n,
x j(k )及x j分别是向量x(k)及x的第j个分量.
迭
求解，一般选择为A的某种近似，称M 为分裂矩阵.
基本迭代法
于是，求解Ax b 转化为求解Mx Nx b，即求解
Ax b 求解 x M 1Nx M 1b.
可构造一阶常迭代法
迭 代 法 原
x(0) (初始向量)，
x
(
k
1)
Bx( k )
f
(k 0,1,2, ..., ),
理
其中B M 1N M 1(M A) I M 1 A, f M 1b.
(
A)
max
1 i n
i
A
收敛条件
定 理
设A
aij
, 则lim Ak
nn
k
（0 零 矩 阵 ） 的 充 要 条 件是 :
A 1
证明：（必要性）
迭
代 法
lim Ak 0 lim Ak 0
k
k
原
理
0 ( Ak ) [( A)]k Ak
lim[(A)]k 0 (A) 1 k
称B I M 1 A为迭代法的迭代矩阵，选取 M 阵，
就得到解Ax b 的各种迭代法.
例题
例6.1 求解方程组 Ax b ，其中
迭
9 1 1
x1
7
A 1 10 1，x x2 ，b 8
1 1 15
x3
13
即
9 x1 x2 x3 7 x1 10x2 x3 8 x1 x2 15x3 13
理 将这些值代入(2)式右边，得到新的
值
x(1) ( x1(1) , x2(1) , x3(3) )T (2.5,3,3)T
x1
(
0
)
x1
(1)
x1(k
)

x (0) x2(0) , x (1) x2(1) , ..., x (k ) x2(k ) , ...
x
3
(
0)
x
3
(1)
x
3
(
k
)
迭代法的基本思想
迭
x1
1 8
3 x2
2x3
20
,
x2
1 11
4 x1
x3
33
,
x3
1 12
6 x1
3x2
36
.
x (k1) 1
x (k1) 2
(3x2(k) 2x3(k)
(4 x1(k )
x (k) 3
20) 33)
8 11
x3(
k
1)
(6 x1(k )
1 8
3 x2
2 x3
20
,
x2
1
11
4 x1
x3
33
,
x3
1
12
6 x1
3 x2
36
.
迭
代 法 原 理
1
8
3 x(0) 2 x(0) 20
2
3
1
4 x(0) x(0) 33
11
1
3
x1(0) x2(0)
x 1
12
6 x(0) 3 x(0) 36
1
2
(0) 3
于是： lim Ak ＝lim A k 0 即 lim Ak 0
k
k
k
收敛条件
定 理 (迭代法基本定理)
设有方程组x Bx f , 及 一 阶 定 常 迭 代 法x(k1) Bx(k) f .
迭 对任意选取初始向量x(0) , 迭代法收敛的充要条件是 :
代
（B) 1.
法
原
证明： （k） x(k ) x B (k1) ... Bk (0) 0
收敛条件
（充分性） 引用：设A为n阶方阵，则对任意的 , 存在一种矩阵的范数. 使得： A ( A)
迭
若 ( A) 1, 则对 1 ( A) 1, 必存在一种范数. ，使得
2
代 法 原
A ( A) 1 ( A) 1
2
lim A k 0 k
理
而： Ak A k (范数定义)
代
方程组的精确解为 x* （1，1，1）T
法 原
依次从三个方程中分别分离出x1, x2 , x，3 把方程组等价变形为
理
x1
1 9
x2 x3 7
,
x2
1 10
x1 x3 8
,
建立迭代公式
x3
1 15
x1 x2 13
.
x (k1) 1
x (k1) 2
( x2(k) ( x1(k )
1 1.4422 3.0000 8 1.8175 1.8136
迭
x x3 x2 1 1 (x)
2 1.6537 1.4444 9 1.8385 1.8554 3 1.7532 2.1716 10 1.8389 1.8294
代 法 原 理
x 3 x2 x 1
x
1
1 x
1 x2
2 ( x) 3(x)
1
8
3 x(0) 2 x(0) 20
2
3
x1(0)
x 1
4 x(0) x(0) 33
11
1
3
(0) 2
x 1
12
6 x(0) 3 x(0) 36
1
2
(0) 3
则(
x(0) 1
,
x2(0
)
,
x(0) 3
)T
是
原方程
的根
。
则(
x(0) 1
,
x2(0
)
,
x(0) 3
{0.999696, -2.00011, 2.99921 }
0.001528
4 1.7995 1.6725 11 1.8391 1.8454 5 1.8209 1.9554 12 1.8392 1.8355 6 1.8308 1.7730 13 1.8392 1.8416 7 1.8354 1.8822
对于给定的方程 f(x) = 0, 有多种方式将 它改写成等价的形式 x = j (x)。但重要的 是如何改写使得序列收敛？
0.2
左边 0.607 0.612 0.615 0.616 … 右边 0.612 0.615 0.616 0.617 …
0
0
0.5 0.616
1
迭代法的基本思想
引 例2 用迭代方法解 x3 -x2 -x-1 = 0。
计算结果:
序号 j 2(x) j 3(x)
序号 j 2(x) j 3(x)
第一步 构造迭代函数：
3 x2
2 x3
20
,
x2
1 11
4 x1
x3
33
,
(2)
x3
1 12
6 x1
3 x2
36
.
0
3 8
2 8
20
8
B
4 11
0
1 11
f
33 11
.
6
3
0
36
12
12
12
迭代法的基本思想
取一组数(
x(0) 1
,
x2(0
)
,
x(0) 3
)T
代
人
方
程
右侧，若
x1
6 0.999958 0.99996 0.99997
7 0.999992 0.999993 0.999995