习题1解答（A 组题）一、选择题1、C ；2、A ；3、D ；4、C ；5、C ；6、A ；7、A ；8、B ；9、D ；10、C 二、判断题1、×；2、×；3、×；4、×；5、√；6、×；7、×；8、×；9、×；10、×三、填空题1、＝；2、∅；3、()0,1；4、[]1,1−；5、,E F E F ∪∩；6、()2,3−；7、≥；8、c9、设有两个集合A 和B ，若≤A B ，≥A B ，则=A B 。

四、证明题1、（1）()()()()()\\====∩∩∩∪∩∪∩∩CCC C A A B A A B A A B A A A B A B ；（2）()()()()()()\\==∩∩∩∩∩∩∩C C C CA B C D A B C D A C B D ()()()()\==∩∩∪∩∪CA CB D AC BD 。

2、111\lim \∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠∩∩∩∪∩∪∪∪C Cn n n n n N n N N n N N n N A B A B A B A B ()111lim(\)∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞====⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠∩∩∩∪∩∪∩∪∩C C C n n n n n N n NN n N N n N A B A B A B A B 。

同理可证第2个集合等式。

3、当A =∅时，{}∅张成的环和σ-环均为它自身；张成的代数和σ-代数均为{},X ∅。

当A X =时，{}X张成的环、σ-环、代数和σ-代数均为{},X ∅。

当A 为X 的非空真子集时，{}A 张成的环和σ-环均为{},A ∅；张成的代数和σ-代数均为{},,,c A A X ∅。

4、首先，令()()tan 12π⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦f x x ，由于()f x 是()0,1上的严格单调递减的连续函数，且()()()0,10,=+∞f，所以()f x 是()0,1到()0,+∞的一一映射。

其次，取自然数集()0,⊂+∞N ，再作()[)():0,0,1,(),0,\g x x Nx g x x x N +∞→+∞−∈⎧=⎨∈+∞⎩↦，则g 是()0,+∞到[)0,+∞的一一映射。

最后，取()=�T g f x ，则T 即为所求。

5、由,C B A C ⊂∼知，A B ≤；由,B A B B ⊂∼知，B A ≤。

所以，由伯恩斯坦定理知A B =，即A B ∼，故A B C ∼∼。

6、（1）设直线上端点为有理数的开区间的全体为集合A ，记直线上的全体有理数为{}12,,,,⋯⋯n a a a ，则(){},,,1,2,=<=⋯iji j A a a a a i j ，易知A 与平面上的有理点集的一无限子集对等，所以A 可数。

（2）设整系数多项式的全体为集合A ，n A 是n （1≥）次整系数多项式的全体，则{}{}2012,0,1,2,,1,\0=++++∈=−∈⋯⋯n n n i n A a a x a x a x a Z i n a Z 。

显然{}()0,1,2,××××−=∼⋯⋯�������n n A Z Z Z Z n 个，由定理1.17知n A 可数。

又1+∞=⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∪∪n n A Z A ，再由定理1.16知A 可数。

（3）因任何自然数、有理数都是代数数，因而代数数的全体必是无限集。

由于整系数多项式全体为可数集，而每一整系数多项式又只能有有限个实根，故代数数全体可看作可数个有限集的并，所以为可数集。

（4）设平面上顶点为有理坐标的三角形的全体为集合A ，则(){}2,,,,=∈A x y z x y z Q ，由此知A 中任一元素由互相独立的,,x y z 唯一决定，且,,x y z 各自跑遍一个可数集，所以由定理1.17的推论1.4知，A 是可数集。

7、（1）设无理数集为A ，有理数集为Q ，则A Q R =∪。

又有理数集为可数集，所以A A Q R c ===∪。

（2）设超越数的全体为A ，代数数的全体为B ，则A B R =∪。

又代数数的全体为可数集，所以A A B R c ===∪。

（3）设E 是[]0,1上的任一子集，作函数1,()0,χ∈⎧=⎨∉⎩E x Ex x E。

记这样的函数组成的集合为0A ，则0A A ⊂，又02c A =，因此2c A ≥。

又，对任意()∈f x A ，则函数图象(){},()[0,1]∈x f x x 是2R 的一个子集。

而2R 的所有子集组成的集合的基数为2c ，因此2c A ≤。

由伯恩斯坦定理知2c A =。

8、（证明类似于第1章第1.5节的例2同理可得。

）对任意()∈⎡≥⎤⎣⎦x E x f x a ，则()f x a ≥，从而对任意的正整数k ，1()f x a k>−，从而1lim ()n n f x a k →∞>−。

于是存在正整数N ，当n N >时，1()n f x a k>−，因此1lim ()→∞⎡⎤∈>−⎢⎥⎣⎦n n x E x f x a k 。

所以11lim ()∞→∞=⎡⎤∈>−⎢⎥⎣⎦∩n n k x E x f x a k ，即11111()lim ()()∞∞∞∞→∞====⎡⎤⎡⎤⎡≥⎤⊂>−=>−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∩∩∪∩n n nk k N n N E x f x a E x f x a E x f x a k k 。

反之，对任意111()∞∞∞===⎡⎤∈>−⎢⎥⎣⎦∩∪∩n k N n N x E x f x a k ，则对任意的正整数k ，有11()∞∞==⎡⎤∈>−⎢⎥⎣⎦∪∩n N n N x E x f x a k ，即1lim ()→∞⎡⎤∈>−⎢⎥⎣⎦n n x E x f x a k 。

从而存在正整数N ，当n N >时，1()⎡⎤∈>−⎢⎥⎣⎦n x E x f x a k ，即1()n f x a k>−。

再由k 的任意性知()n f x a ≥。

因此()lim ()n n f x f x a →∞=≥。

所以()∈⎡≥⎤⎣⎦x E x f x a ，即111()()∞∞∞===⎡⎤⎡≥⎤⊃>−⎢⎥⎣⎦⎣⎦∩∪∩n k N n N E x f x a E x f x a k 。

综上可得111()()∞∞∞===⎡⎤⎡≥⎤=>−⎢⎥⎣⎦⎣⎦∩∪∩n k N n NE x f x a E x f x a k 。

9、由题设易知，{}()⎡>⎤⎣⎦n E x f x a 单调递增，所以1()lim ()∞→∞=⎡>⎤=⎡>⎤⎣⎦⎣⎦∪n n n n E xf x a E x f x a 。

下证1()()∞=⎡>⎤=⎡>⎤⎣⎦⎣⎦∪n n E x f x a E xf x a 。

事实上，由{}()n f x 单调递增可得，()()≤n f x f x ，所以()()⎡>⎤⊂⎡>⎤⎣⎦⎣⎦n E x f x a E x f x a 从而1()()∞=⎡>⎤⊂⎡>⎤⎣⎦⎣⎦∪n n E xf x a E x f x a 。

反之，对任意()∈⎡>⎤⎣⎦x E x f x a ，有()>f x a 。

而)()(lim x f x f n n =∞→，所以存在正整数N ，当≥n N 时，()>n f x a ，即1()()∞=∈⎡>⎤⊂⎡>⎤⎣⎦⎣⎦∪n n n x E x f x a E xf x a ，故1()()∞=⎡>⎤⊃⎡>⎤⎣⎦⎣⎦∪n n E xf x a E x f x a 综上得，1()()∞=⎡>⎤=⎡>⎤⎣⎦⎣⎦∪n n E x f x a E xf x a 。

10、因为\lim ()()∗→∞⎡⎤==⎢⎥⎣⎦n n D E E x f x f x ，由第1章第1.5节例3，111lim ()()()()∞∞∞→∞===⎡⎤⎡⎤==−<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∩∪∩n nn k N n N E x f x f x E x f x f x k 11lim ()()∞→∞=⎡⎤=−<⎢⎥⎣⎦∩n n k E x f x f x k 。

所以，由De.Morgan 法则，111\()()∞∞∞∗===⎛⎞⎡⎤=−<⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎝⎠∪∪∩n k N n N D E E x f x f x k 111\()()∞∞∞===⎡⎤⎛⎞⎡⎤=−<⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎝⎠⎣⎦∪∩∩n k N n N E E x f x f x k111\()()∞∞∞===⎛⎞⎡⎤=−<⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎝⎠∪∩∪n k N n N E E x f x f x k 11111()()lim ()()∞∞∞∞→∞====⎡⎤⎡⎤=−≥=−≥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦∪∩∪∪n n n k N n N k E x f x f x E x f x f x k k 。

11、解答提示：（1）注意到[)[)111,,,∞∞==⎛⎞+∞=+=−+∞⎜⎟⎝⎠∪∩n n a a a n a n ，由逆像集的运算性质即可；（2）注意到()11,,∞=⎛⎤−∞=−∞−⎜⎥⎝⎦∪n a a n ，由逆像集的运算性质即可；（3）注意到2()>f x a 或⇔()>f x()<f x 即可。

12、解答提示：注意到()()f x g x ≥知，由()>g x a 可以推出()>f x a 。

13、解答提示：因为()()()()−≤+f x g x f x g x ，所以若()()σ−>f x g x ，则()2σ>f x 和()2σ>g x 至少有一个成立。

（B 组题）1、因()()()()()()\\\\==∩∩∩∩∩ccccc A B C D A BC D A B C D ()()=∩∩∪∩∩c c c A B C A B D ()()()()\\=∩∪∩c A C B A D B ，又()\\⊂∩c A C B A C ，()\\⊂∩A D B D B ，故()()()()\)\\\\⊂∪A B C D A C D B 。

2、（1）对于()111∞∞∞===⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∪∪∪∪∪n n n n n n n A B A B 。

显然对任意正整数n ，11()∞∞==⎛⎞⎛⎞⊂⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∪∪∪∪n n n n n n A B A B ，所以()111∞∞∞===⎛⎞⎛⎞⊂⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∪∪∪∪∪n n n n n n n A B A B 。