2
材料
铸铁 砂型 金属型 46.5 0.314 61.64 753.6 963.0 544.3 7000 1350 7100
例题4-1 一大型平壁状铸铁件在砂型中凝固冷却。设砂 型内侧表面温度维持1200℃不变，砂型初始温度为 20℃，热扩散率������ = 2.41 × 10−7 m2 s，试求浇注后 1.5h砂型中离内侧表面50mm处的温度
4.3 伴有相变边界的一维非稳态导热
ⅆ������ ′ ������������ = −������������ ⅆ������ ������ ⟵ ������ + ������ ������������ − ������������
′ ������������
������ 砂 型 ������0 ⅆ������ ⅆ������
������
∞
1.温度场求解 常物性一维非稳态无内热源导热微分方程： ������������ ������ ������ 2 ������ ������ 2 ������ ������ 2 ������ ������ = + 2+ 2 + 2 ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
������������ =0 边界条件： ������ = 0, ������������ ������������ ������ = ������, −������ = ℎ������ ������������
采用分离变量法求解：
������������ ������������
2 n
2sin n ( x, ) e 0 sin cos n 1 n n n
������ ������������
������
2
2������ = ������������ − ������0 ������ ������ = ������
������������������ = ������ J
m2 ⋅ ℃ ⋅ s 1
4.蓄热系数
热物性 导热系数 ������ W m℃ 比热容 ������ J m℃ 密度 ������ kg m3 热扩散率 ������ m2 s 8.82 × 10−6 2.41 × 10−7 1.58 × 10−5 蓄热系数 ������ J m2 ⋅ ℃ ⋅ s 1 15600 2030 15500
������
������������
������������
������3
������2 ������
������0
������1
������
积蓄（放出）热量随时间而变化是过程的又一特点。 瞬时热流密度+累计热量
第四章 非稳态导热
4.2 第一类边界条件下的一维非稳态导热
半无限大物体 一端面被一平面所限制，而另一端面延伸至无 +∞ 限远的物体。 ������
������������ ������ ������ 2 ������ ������ 2 ������ = = ������ 2 2 ������������ ������������ ������������ ������������
1.温度场求解 初始条件： ������ = 0 ⟶ ������ 边界条件： ������ > 0 ⟶ ������
第四章 界条件下一维非稳态导热问题
2.第三类边界条件下平板、圆柱、球体的导热 3.集总参数简化分析法 4.集中热源作用下的非稳态导热问题
4.1 非稳态导热基本概念
������ ������������
������3 ������2
������
������0
������1
������ erf 2 ������������
0.5
������ = 2 ������ ������ 2 = 2 ⇒ ������ = 16������ 2 ������������
0
0 1.0 ������ ������ = 2 ������������ 2.0
惰性时间
2.表面瞬时热流密度 ������������ ������������ = −������ ������������ ������ ������ = ������������ + ������0 − ������������ erf ������ ������������ ������0 − ������������ ������ 2 ������������ ������ ������ = ������0 − ������������ erf = exp − ������������ ������������ 2 ������������ 4������������ ������������������ ������������ ������������ = −������ ������������ = ������ ������������ − ������0
20℃ 砂型 1200℃
铸件
50
例题4-1
������ 50 × 10−3 m ������ = = 2 ������������ 2 2.41 × 10−7 m2 s × 1.5 × 3600s = 0.694
查表得：erf 0.694 = 0.6736
������ = ������������ + ������0 − ������������ erf ������ = 1200℃ + 20℃ − 1200℃ × 0.6736 = 405℃
铸件材质 灰口铸铁 可锻铸铁 铸钢
冷却条件
凝固系数 ������ × ������������������ / m s������
������
砂型
金属型 砂型
0.904
2.84 1.42
金属型
砂型 铸铁硬模
2.58
1.68 3.35
砂型
黄铜 铸铁硬模 水冷铜模
2.32
4.90 5.42
铝
铸铁硬模
4.0
������=0
1 ������������������
W m2
3.累计热量 ������������ = ������ ������������ − ������0
������
1 ������ = ������������ − ������0 ������������������ ������������
例题4-2
一个 140mm厚的平板铸钢件在砂型中冷却凝固， 其两侧释放热量给砂型。已知浇注温度������������ = 1540℃， 凝固潜热 ������ = 268 kJ kg ，钢的比热容 ������ =例题 873 J4-2 kg⋅℃ ， 密度������ = 7200 kg m3 。砂型初始温度������0 = 10℃ ，蓄热 系数������ = 2030 J m2 ⋅ ℃ ⋅ s 1 2 。与铸件接触的砂型表 面温度近似等于钢的熔点������������ ≈ 1510℃ ，求全部凝固所 需时间。
例题4-2 ������
砂 型
������������ 液 凝 凝 态 固 固 金 层 属 层 ������ ������������ 砂 型
������0
������ =
2������ ������������ − ������0
������������ ������ + ������ ������������ − ������������
弗兰克著《传热和传质基本 原理》第六版，葛新石翻译
������=∈∀
= ������0 = ������1
������=0
= ������������ = ������2
erfx 2
������
������������ − ������ ������ = erf =erf ������ ������������ − ������0 2 ������������
ⅆ������ ⅆ������
ⅆ������ ������ ������������ − ������0 = ⅆ������ ������������������ ������ + ������ ������������ − ������������ 2������ ������������ − ������0
������������
������
������
������
������
������ = ������ − ������������ 过余温度
������������ ������ 2 ������ = ������ 2 导热微分方程： ������������ ������������
初始条件： ������ = 0, ������ = ������0 − ������������ = ������0
1 ������������
������ 0
������������ =
0
������������ ⅆ������ = ������ ������������ − ������0
= 2������ ������������ − ������0
ⅆ������ ������ J m2
������������ ∝ ������
初始条件： ������ = 0, ������ = ������0
������
������0
������������ 边界条件： ������ = 0, =0 ������������ ������������ ������ = ������, −������ = ℎ ������ − ������������ ������������