§2连续函数的性质Ⅰ. 教学目的与要求1.理解连续函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性.2.掌握连续函数的四则运算法则、连续函数的复合函数及反函数的连续性,会利用其讨论函数的连续性.3.掌握闭区间上连续函数的性质，会利用其讨论相关命题.4.理解函数一致连续性的概念.Ⅱ. 教学重点与难点:重点: 闭区间上连续函数的性质.难点:. 闭区间上连续函数的性质，函数一致连续性的概念.Ⅲ. 讲授内容一 连续函数的局部性质若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值()0x f .从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在()0x U 的性态．定理4．2(局部有界性) 若函数f 在点0x 连续，则f 在某()0x U 内有界．定理4．3(局部保号性) 若函数f 在点0x 连续，且()0x f 0> (或0<)，则对任何正数()0x f r < (或()0x f r -<)，存在某()0x U ，使得对一切∈x ()0x U 有 ()r x f >，()r x f -<或(）.注 在具体应用局部保号性时，常取()021x f r =则（当()0x f 0>时）存在某()0x U 使在其内有()>x f ()021x f . 定理4．4(四则运算) 若函数f 和g 在点0x 连续，则g f g f g f ,,⋅±(这里()00≠x g )也都在点0x 连续．以上三个定理的证明，都可从函数极限的有关定理直接推得．对常量函数c y =和函数x y =反复应用定理4．4，能推出多项式函数()n n n n a x a x a x a x P +++=--1110 和有理函数()()()x Q x P x R =（Q P ,为多项式)在其定义域的每一点都是连续的．同样，由x sin 和x cos 在R 上的连续性，可推出x tan 与x cot 在其定义域的每一点都连续．关于复合函数的连续性，有如下定理：定理4.5 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，()00x f u =,则复合函数f g 在点0x 连续．证 由于g 在0u 连续，对任给的0>ε，存在01>δ，使得当10δ<-u u 时有()()ε<-0u g u g ． ()1又由()00x f u =及()x f u =在点0x 连续，故对上述01>δ，存在0>δ，使得当δ<-0x x 时有()()100δ<-=-x f x f u u ．联系(1)得：对任给的0>ε，存在0>δ，当δ<-0x x 时,有()()()()ε<-0x f g x f g ． 所以 f g 在点0x 连续．注 根据连续性的定义，上述定理的结论可表为()()()()0))(lim (lim 00x f g x f g x f g x x x x ==→→． ()2 例1 求()211sin lim x x -→．解 ()21sin x -可看作函数()u u g sin =与()21xx f -=的复合．由(2)式得 ()()()00sin 1lim sin 1sin lim 2121==-=-→→x x x x ． 注 若复合函数f g 的内函数f 当0x x →时极限为a ，而()0x f a ≠或f 在0x 无定义(即0x 为f 的可去间断点)，又外函数g 在a u =连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有 ))(lim ())((lim 00x f g x f g x x x x →→= ()3 还可证明：()3式不仅对于0x x →这种类型的极限成立，而且对于→x ∞+，-∞→x 或±→0x x 等类型的极限也是成立的．例2 求极限： ()x x x sin 2lim 10-→；()xx x sin 2lim 2-∞→. 解 ()112s i n lim 2sin 2lim 100=-=-=-→→xx x x x x ； ()202s i n lim 2sin 2lim 2=-=-=-∞→∞→xx x x x x . 二 闭区间上连续函数的基本性质设f 为闭区间[]b a ,上的连续函数，本段中我们讨论f 在[]b a ,上的整体性质.定义1 设f 为定义在数集D 上的函数．若存在D x ∈0，使得对一切D x ∈有()()()()()x f x f x f x f ≤≥00，则称f 在D 上有最大(最小)值，并称()0x f 为f 在D 上的最大(最小)值．例如，x sin 在[]π,0上有最大值1，最小值0．但一般而言，函数f 在其定义域D 上不一定有最大值或最小值(即使f 在D 上有界)．如()x x f =在()1,0上既无最大值也无最小值．又如()()⎪⎩⎪⎨⎧=∈=，与，10,21,0,1x x x x g ()4它在闭区间[]1,0上也无最大、最小值．下述定理给出了函数能取得最大、最小值的充分条件．定理4．6 (最大、最小值定理) 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有最大值与最小值．推论 (有界性定理) 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界．由()4式给出的函数g 在闭区间[]1,0上无界，什么对函数g 上述推论的结论不成立． 定理4．7 (介值性定理) 设函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且()≠a f ()b f ．若μ为介于()a f 与()b f 之间的任何实数()()b f a f <<μ(或()μ>a f ()b f >)，则至少存在一点()b a x ,0∈，使得().0μ=x f这个定理表明，若f 在[]b a ,上连续，又不妨设()()b f a f <，则f 在[]b a ,上必能取得区间()()[]b f a f ,中的一切值，即有()()[][]()b a f b f a f ,,⊂，其几何意义如图4—2所示． 推论(根的存在定理) 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且()a f 与()b f 异号(即()()0<b f a f )，则至少存在一点()b a x ,0∈，使得()00=x f ，即方程()0=x f 在()b a ,内至少有一个根．这个推论的几何解释如图4—3所示：若点()()a f a A ,与()()b f b B ,分别在x 轴的两侧，则连接A 、B 的连续曲线()x f y =与x 轴至少有一个交点．应用介值性定理，我们还容易推得连续函数的下述性质：若f 在区间I 上连续且不是常量函数，则值域()I f 也是一个区间；特别，若I 为闭区间[]b a ,，f 在[]b a ,上的最大值为M ，最小值为m ，则[]()[]M m b a f ,,=；又若f 为,[a ]b 上的增(减)连续函数且不为常数，则[]()()()[]()()[]()b f a f b f a f b a f ,,,=.下面举例说明介值性定理的应用．例3 证明：若0>r ，n 为正整数，则存在唯一正数0x ，使得00(x r x n =称为r 的n 次正根(即算术根)，记作n r x =0)．证 先证存在性．由于当+∞→x 时有+∞→n x ，故必存在正数a ，使得n a r >．因()n x x f =在[]a ,0上连续，并有()()a f r f <<0，故由介值性定理，至少存在一点()a x ,00∈，使得()r x x f n ==00． 再证唯一性．设正数1x 使得r x n =1，则有()()011120101010=+++-=----n n n n n x x x x x x x x ， 由于第二个括号内的数为正，所以只能010=-x x ，即01x x =.例4 设f 在[]b a ,上连续，满足[]()[]b a b a f ,,⊂． ()5证明：存在[]b a x ,0∈，使得()00x x f =. ()6证 条件()5意味着：对任何[]b a x ,∈有()b x f a ≤≤，特别有()a f a ≤ 以及 ()b b f ≥．若()a f a =或()b b f =，则取a x =0或b ，从而()6式成立．现设()a f a <与()b b f <．令()()x x f x F -=，则()(),0>-=a a f a F ，()()0<-=b b f b F ．故由根的存在性定理，存在∈0x ()b a ,，使得()00=x F ，即().00x x f =从本例的证明过程可见，在应用介值性定理或根的存在性定理证明某些问题时，选取合适的辅助函数(如在本例中令()()x x f x F -=)，可收到事半功倍的效果．三 反函数的连续性定理4.8 若函数f 在[]b a ,上严格单调并连续，则反函数1-f 在其定义域()()[]b f a f ,或()()[]a f b f ,上连续．证 不妨设f 在[]b a ,上严格增．此时f 的值域即反函数1-f 的定义域为()a f [，()]b f ．任取()()()b f a f y ,0∈，设=0x ()01y f -，则()b a x ,0∈．于是对任给的>ε0，可在()b a ,内0x 的两侧各取异于0x 的点()20121,x x x x x <<，使它们与0x 的距离小于ε(图4—4)．设与21,x x 对应的函数值分别为1y ，2y ，由f 的严格增性知201y y y <<令()1002,m in y y y y --=δ，则当()δ;0y U y ∈时，对应的()y f x 1-=的值都落在1x 与2x 之间，故有()()ε<-=---0011x x y f y f ，所以1-f在点0y 连续，从而1-f 在()()()b f a f ,内连续． 类似地可证1-f 在其定义区间的端点()a f 与()b f 分别为右连续与左连续．所以1-f 在()()[]b f a f ,上连续．- 例5 由于x y sin =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上严格单调且连续，故其反函数=y x arcsin 在区间[]1,1上连续．同理可得其它反三角函数也在相应的定义区间上连续．如x y arccos =在[]1,1-上连续，x y arctan =在()+∞∞-,上连续等．例6 由于n x y =(n 为正整数)在),0[+∞上严格单调且连续，故n x y 1=在),0[+∞上连续．又若把n xy 1-=(n 为正整数)看作由n u y 1=与x u 1=复合而成的函数，则由复合函数的连续性，n x y 1-=在()+∞,0上连续．综上可知，若g 为非零整数，则q x y 1=是其定义区间上的连续函数．例7 证明：有理幂函数αx y =在其定义区间上连续． 证 设有理数qp =α，这里()0,≠q p 为整数.因为q u y 1=与p x u =均在其定义区间上连续，所以复合函数 ()αx xy q p ==1也是其定义区间上的连续函数．四 一致连续性 函数f 在区间上连续，是指f 在该区间上每一点都连续．本段中讨论的一致连续性概念反映了函数在区间上更强的连续性．定义2 设f 为定义在区间I 上的函数．若对任给的0>ε，存在()>=εδδ0，使得对任何x 'I x ∈''，只要：δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f ，则称函数f 在区间I 上一致连续．直观地说，f 在I 上一致连续意味着：不论两点x '与x ''在I 中处于什么位置，只要它们的距离小于δ，就可使()()ε<''-'x f x f ．例8 证明()()0≠+=a b ax x f 在()+∞∞-,上一致连续．证 任给0>ε，由于()()x x a x f x f ''-'=''-'，故可选取a εδ=，则对任何(),,,+∞∞-∈'''x x 只要δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f ．所以 ()b ax x f +=在()+∞∞-,上一致连续．例9 证明函数xy 1=在()1,0内不一致连续(尽管它在()1,0内每一点都连续)．§4.2连续函数的性质证 按一致连续性的定义，为证函数f 在某区间I 上不一致连续，只须证明：存在某00>ε，对任何正数δ(不论δ多么小)，总存在两点I x x ∈''',，尽管δ<''-'x x ，但有()()0ε≥''-'x f x f .对于函数x y 1=，可取10=ε，对无论多么小的正数⎪⎭⎫ ⎝⎛<21δ，只要取δ='x 与2δ=''x （图4-5），则虽有 δδ<=''-'2x x ，但1111>=''-'δx x ， 所以xy 1=在()1,0内不一致连续． 函数在区间上连续与一致连续这两个概念有着重要的差别.f 在区间I 上连续，是指任给0>ε，对每一点I x ∈，都存在相应的正数()x ,εδδ=，只要I x ∈'且δ<'-x x ，就有()()ε<'-x f x f ．一般来说，对于I 上不同的点，相应的正数δ是不同的．换句话说，δ的取值除依赖于ε之外，还与点x 有关，由此我们写()x ,εδδ=以表示δ与ε和x 的依赖关系．如果能做到δ只与ε有关，而与x 无关，或者说存在适合于I 上所有点x 的公共的δ，即()εδδ=，那么函数就不仅在I 上连续，而且是一致连续了．所以，f 在区间I 上一致连续是f 的又一个整体性质，由它可推出f 在I 上每一点都连续的这一局部性质(只要在定义2中把x '看作定点，把x ''看作动点，即得f 在点x '连续)．而从例9可见，由f 在区间I 上每一点都连续，并不能推出f 在I 上一致连续．然而，对于定义在闭区间上的函数来说，由它在每一点都连续却可推出在区间上的一致连续性，即有如下重要定理：定理4．9 (一致连续性定理) 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在,[a b ]上一致连续．例10 设区间1I 的右端点为1I c ∈，区间2I 的左端点也为212,(I I I c ∈可分别为有限或无限区间)．试按一致连续性的定义证明：若f 分别在1I 和2I 上一致连续，则f 在21I I I =上也一致连续．x'§4.2连续函数的性质证 任给0>ε，由f 在1I 和2I 上的一致连续性，分别存在正数1δ和2δ，使得对任何,,2I x x ∈'''，只要1δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f ； ()7又对任何2,I x x ∈'''，只要2δ<''-'x x ，也有(7)式成立．点c x =作为1I 的右端点，f 在点c 为左连续，作为2I 的左端点，f 在点c 为右连续，所以f 在点c 连续．故对上述0>ε，存在03>δ，当3δ<-c x 时有()()2ε<-c f x f ． ()8令()321,,min δδδδ=，对任何I x x ∈''',，δ<''-'x x ，分别讨论以下两种情形：(i)x x ''',同时属于1I 或 2I ，则()7式成立；（ii ）x x ''',分属1I 与2I ，设21,I x I x ∈''∈'则3δδ≤<'-''<'-=-'x x x c c x ，故由()8式得()()2ε<-'c f x f .同理得()()2ε<-''c f x f 从而也有()7式成立．这就证明了f 在I 上一致连续．Ⅳ 小结与提问:本节要求理解函数一致连续性的概念,掌握续函数的局部性质、闭区间上连续函数的性质，并利用其讨论相关命题. 掌握连续函数的四则运算法则、连续函数的复合函数及反函数的连续.Ⅴ 课外作业: 80P 2、3、4、6、7、8、9、10、12、14、18、19、20.。