高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=f(x)，则称f (x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f (x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f (x) = 0，则f (x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f (x)是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶2．单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)（f(x 1)>f(x 2)），那么就说f(x)在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（2）如果函数y=f (x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间。
（3）设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A 是y= f[g(x)]定义域的某个区间，B 是映射g : x →u=g(x) 的象集：①若u=g(x) 在A 上是增（或减）函数，y= f(u)在B 上也是增（或减）函数，则函数y= f[g(x)]在A 上是增函数；②若u=g(x)在A 上是增（或减）函数，而y=f(u)在B 上是减（或增）函数，则函数y=f[g(x)]在A 上是减函数。
（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2作差f(x 1)－f(x 2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x 1)－f (x 2)的正负）；○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）。
（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数)(x f 增函数)(x g 是减函数。
3．最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；②存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 。
那么，称M 是函数y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f(x)≥M ；②存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 。
那么，称M 是函数y=f(x)的最大值。
注意：○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ；○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x)≤M （f(x)≥M ）。
（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；○2利用图象求函数的最大（小）值；○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f (x)在x=b 处有最大值f (b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f (x)在x=b 处有最小值f (b)；4．周期性（1）定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f(x+T )= f(x)，则称f(x)为周期函数；（2）性质：①f(x+T )= f(x)常常写作),2()2(T xf T xf 若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T ，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为||T 。
四．典例解析【奇偶性典型例题】例1．以下五个函数：（1）)0(1x xy ；（2）14xy；（3）xy 2；（4）x y2log ；（5）)1(log 22xxy，其中奇函数是____ __，偶函数是__ ____，非奇非偶函数是_________ 点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。
题型二：奇偶性的应用例2．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，f （x ）=lo g 3（1+x ），则f （－2）=____ _。
例3．已知()f x 奇函数，当x ∈（0，1）时，1()lg1f x x，那么当x ∈（－1，0）时，()f x 的表达式是．例4．若奇函数()f x 是定义在（1，1）上的增函数，试求a 的范围：2(2)(4)0f a f a ．解：由已知得2(2)(4)f af a因f(x)是奇函数，故22(4)(4)f a f a ，于是2(2)(4)f af a ．又()f x 是定义在（1，1）上的增函数，从而22322412113321415335aa aa a a aaa或即不等式的解集是(3,2)【单调性典型例题】例1．(1)()(21),f x a xb R 设函数是上的减函数则a 的范围为()A ．12aB ．12aC ．12aD ．12a(2)函数2([0,)y xbxc x)是单调函数的充要条件是()A ．0b B ．0bC ．0bD ．0b (3)已知()f x 在区间(,)上是减函数，,a b R 且0a b，则下列表达正确的是（）A ．()()[()()]f a f b f a f bB ．()()()()f a f b f a f b C ．()()[()()]f a f b f a f b D ．()()()()f a f b f a f b 提示：0ab 可转化为a b 和ba 在利用函数单调性可得.(4)如右图是定义在闭区间上的函数()yf x 的图象,该函数的单调增区间为例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22||1yxx （2）2|23|y xx例3．根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．例4.设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n 恒有)()()(n f m f n m f ，且当0x时，1)(0x f 。
（1）求证：1)0(f ；（2）证明：R x 时恒有0)(x f ；（3）求证：)(x f 在R 上是减函数；（4）若()(2)1f x f x ，求x 的范围。
解：(1)取m=0，n=12则11(0)()(0)22f f f ，因为1()02f 所以(0)1f (2)设0x 则0x 由条件可知()f x o又因为1(0)()()()0f f x x f x f x ，所以()0f x ∴R x 时，恒有0)(x f （3）设12x x 则121211()()()()f x f x f x f x x x =1211()()()f x f x x f x =121()[1()]f x f x x 因为12x x 所以210x x 所以21()1f x x 即211()0f x x 又因为1()0f x ，所以121()[1()]f x f x x 所以12()()0f x f x ，即该函数在R 上是减函数.(4) 因为()(2)1f x f x ，所以2()(2)(2)(0)f x f x f x x f 所以220xx ，所以20x xx的范围为或例5：（复合函数单调性）1.函数223y xx 的增区间是（）.A ．[3,1]B ．[1,1]C ．(,3)D ．[1,)2.函数y ＝80212xx的单调递增区间为（）A ．(,8)B ．(,1)C ．(1,)D ．(8,)题型五：周期问题例6．已知函数()y f x 是定义在R 上的周期函数，周期5T ，函数()(11)yf x x 是奇函数又知()yf x 在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x时函数取得最小值5。
①证明：(1)(4)0f f ；②求(),[1,4]y f x x 的解析式；③求()yf x 在[4,9]上的解析式。
解：∵()f x 是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f ，又∵()(11)yf x x 是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f ，∴(1)(4)0f f 。
②当[1,4]x 时，由题意可设2()(2) 5 (0)f x a x a ，由(1)(4)0f f 得22(12)5(42)50a a ，∴2a ，∴2()2(2)5(14)f x x x 。
③∵()(11)y f x x是奇函数，∴(0)0f ，又知()yf x 在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)f x kx x，而2(1)2(12)53f ，∴3k ，∴当01x 时，()3f x x ，从而当10x 时，()()3f x f x x ，故11x 时，()3f x x 。
∴当46x时，有151x ，∴()(5)3(5)315f x f x x x 。
当69x 时，154x ，∴22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x ∴2315,46()2(7)5,69x x f x x x。