第一章流体流动1.4流体流动的基本方程
—、概述
流体动力学
流体动力学主要研究流体流动过程中流速、压力
等物理量的变化规律，研究所采用的基本方法是通过守恒原理（包括及）进行质量、能量及动量衡算，获得物理量之间的内在联
系和变化规律。
作衡算时，需要预先指定衡算的空间范围，称之为 ,而包围此控制体的封闭边界称为控制面。
第一章流体流动1.4流体流动的基本方程
1・4.1总质量衡算-连续性方程
131-11管路系统的总质量衡算
如图1・11所示，选择一段管路
或容器作为所研究的控制
体，该控制体的控制面为管或
容器的内壁面、截面1・1与2・2
组
成的封闭表面。
管路系统的总质量衡算根据质量守恒原理可得
_ dM £2,2 q加,1 +」门
au=0(1-28)
对于定态流动，dM/d0 = O
则％,1 = %,2
PyLlyAy —(1-29)
推广到管路上任意截面
q m-QM/i = P2U2^2~........ - puA二常数
(1-30) 枉定态流动系统中,流体流经各截
面时的质量流量恒定。
对于不可压缩流体，p=常数，则为
q v s = u x A x—U2^2= .... —必=常数” -31)
冇页压缩性流体流经各截面时的体积流量也不变.流速u与管截面积成反比，截面积越小，流速越大；反之, 截面积越大，流速越小。
此规律与管路的布畫形式及管路上是否有管件、阀
则可变形为:
(1-31 a)
不可压缩流体征圆形管道申,任意截面的
对于圆形管道
u {
%2
g 加———... —puA.—吊
不可压缩流体
Qv.s—LI | iA | ― Lt 2 ^~2 ~—nA二常数
—二（牛）2管内定态流动的连续性方程
%2 ]
注意：以上各式的适用条件
例10、例11 （P26）
例如附图所示，管路由一段^39 X4mm的管1、一段4 108 X 4mm的管2和两段© 57 XS.&nm 的分支管3a^3b连接而成。
若水以9X10 3JTL/S的体积流量流动，且在两段分支管內的流量相等，试求水在各段管內的速度。
解二管1的内径为
£ = 89 - 2 x4 = 81mm
则水在管1中的流速为
9 X10-3
0.785x0.0813 = 1 75m/s
附图
3a
3b
管2的内径为
比=108 - 2 x4 = 100mm
由式(l-20d)?贝I冰在管2中的涼速为
管3a^3b的内径齒
= 57 - 2 x 3.5 = 50mm
又水在分支管路弧牝中的流董II等，贝＞1有
即水在管弘和北中的涼速为
U =也(£1)2 =122(122)
3 2 玄 2 - 50*
=1.15m/s
第一章流体流动
1.4流体流动的基本方程1.4.1总质量衡算-连续性方程
1.4.2总能量衡算方程
选取如图1・12所示的定态流动系统作为衡算的控制体，控制体内装有对流体作功的机械（泵或风机）以及用于与外界交换热量的装置。
流体由截面流入，经粗细不同的管道，由截面2・2流出
图1-12流动系统的总能量衡算
1-换热器；2-流体输送机械也
0・0‘水平面
0’
S1-12流动系统的总能量衡算 一换热器；2-流体输送机械
1-1\ 2・2截面以及 管内壁所围成的空间
1’
2
辺
推导思路：
总能量机械能不可压缩流体衡算衡算机械能衡算
贝I］热力学第一定律可表述为
流出能量速率一流入能量速率二
从外界的吸热速率+作功机械对流体作功速率
流体由截面流入与由2—2截面流出控制体的能 量速率包括:
由截面1T 进入 qQ
(J/S ) 由截面2-2流出
久卩2
(J/S ) 由截面进入 q 品 (J/S) 由截面2-2流出
q 話s
(J/S )
位能:
内能:
动能：由截面进入诂/2(J/S)由截面2-2流出%"昇2(J/S)
压力能：由截面1T进入A A竽=
A P\Qv s
(J/s)
由截面2-2流出嗨警1Pi^iv ,1
(J/s)
换热器向控制体内流体所加入的热量速率为(J/S )
输送机械向控制体内流体所加入的外功速率为(J/S )
根据能量守恒定律,可得
1 2
么Qi + %取1 + ㊁幺“ + P\Qv,\+ 0 + 鬥二TT 1 2
402 評 2 + P1Q V,2
2
(1-33) At/ + g Az + A —+ A(pv) = Q e+W e
式1-33即为
定态流动过程的总能量衡算方程
动能校正系数a
式1・33中的为单位质量流体的
以单位质量流体由截面1一1进入控制体为例，应该按照下式计算
-pu7d\
pu{A x 2 4
令动能校正系数：a
cc —— f u3dA
U3A J A
则上式变换为
2 1 2
因此，总能量衡算方程式可写成
ait2
AU + gAz + A — + A(pv) = Q e+W e
(1-33a) Mt与管内的速度分布形状有关。
对于管内层流，« =2 (详见本章1.6节)；管
内湍流时，亿值随Re变化，但接近于1。
下
仁机械能的转换与损失
机械能
式1-33中所
包括的能量
内能和热动能
位能
压力能（流动功）外功
流体输送过程中各种机械能相互转换。
由于流体的黏性作用，流体输送过程中还消耗部分机械能，将其转化为流体的内能。
以流体在水平管道内的流动来说明。
如图：上下游分别取仁2处，测得乃存2。
即压力能减小，但并未转换为其他形式的机械能，所以是转化为其他形式的能量了。
_____________________
总能量方程式中:
W e = 0,Q e = 0?Au2/2=0?gAz=0
U
2?
总能量方程式变为：A7 + gAz + A亍+人（丹）=2 +化AU +A (pu) = O
故:
AU = _络//
流体压力能的降低等于其内能的增加。
在不可压缩流体的情况下:
AII =
故:
流体压力能的损失转变为流体的内能, 从而使流体的温度略微升高。
从流体输送角度看, 这部分机械能“损失” 了。
2.流动系统的机械能衡算方程
假设流动为稳态过程到2-2截面，由热力学第一定律可知
^U=Q r e -^pdv
1 kg流体在截面I与2-2之间所获
Q；二Qe+□厂
因此△[/ 二Q + 工力—r pdv(—35)
将式1・35代入式1・33,可得
定态流动过程的 机械能衡算
方程
gAz + |-Aw 2
+ \P2
vdp -W e ~T.h
J PI
(1-36)
对于不可压缩流体，Q 为常数
2 2
或 8©+牛+邑+叱二&22 +牛+虽+旳 (1-37a) 2 p 2 p
gAz + ^Au 2
+ Ap P = W e -Yh f
(1-37)
X
适用条件：不
可压缩流体
工程伯努利 (Bernoulli)方程
二、流动系统的机械能衡算方程
对于理想流体的流动，又无外功加入
适用条件：不 可压缩理想流
g0+鉴
+坐=0 P
或 gs 牛+
P
2_o
伯努利 (Bernoulli)方
程
U gw
+-
2
2
ll } P\ II, p. gZ]+寸+ 4二g^+寸 + 厶
2 p 2
无外功加入时，在任一截面上单位质量流体所具 有的总机械能相等，换言之，各种机械能之间可 以相互转化，但其总量不变。
1.
(1-38a)
式1-38表明, 理想流体在管路中作定态流动而又
2.有效功率：输送机械在单位时间内所作的有效功称为有效功率，用下式计算
(1-39)
3.伯努利方程的其他形式：将的各项均除以重力
加速度g
令比二叱％，H f^h f/g
式-38变为Az + —+ ^ = 7/ -H.
(1-40)
2g Pg f
2 2
(1-
2 2
廿妒斜比“寥养比（皿）
丿
总压头
4.若流动中既无外加压头又无压头损失，则任一截面上的总压头为常数
“+吕右常数
5・如果流体静止，
流体静止仅是流体运动的特例。
第一章流体流动1.4流体流动的基本方程
1.4.1总质量衡算-连续性方程
1.4.2总能量衡算方程
1.4.3机械能衡算方程的应用
机械能衡算方程的应用
在应用机械能衡算方程与质量衡算方程解题时, 要注意下述几个问题：
仁衡算范围的划定
2.控制面的选取
3.基准面的确定
4.单位一致性。