初中数学竞赛专题选讲
识图
一、 内容提要
1•几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。
2•几何图形就是点，线，面，体的集合。
点是组成几何图形的基本元素。
《平
面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。
3•几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。
因此单独 研究点、线、
面、体，要靠正确的想像 点：只表示位置，没有大小，不可再分。
线：只有长短，没有粗细。
线是由无数多点组成的，即“点动成线” 。
面：只有长、宽，没有厚薄。
面是由无数多线组成的，
“线动成面”。
4•因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的 组合关系是学
好几何的重要基础。
识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中 的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。
还要注 意一般图形和特殊图形的差别。
二、 例题
例1•数一数甲图中有几个角 （小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图 中有几全等三角形？ 丁图中有几对等边三角形？
解：甲图中有 10 个角：/ AOB, / AOC, / BOC, / BOD, / COD, / COE, / DOE, / DOA, / EOA, / EOB.如果 OA 和 OC 成一直线，则少一个/ AOC , 余类推。
乙图中有5个等腰三角形： △ ABC , △ ABD , △ BDC , △ BDE , △ DEC 丙图中有全等三角形 4对：（设AC 和DB 相交于O ）
△ AOB ◎△ COD , △ AOD ◎△ BOC , △ ABC ◎△ CDA , △ BCD DAB 。
丁图中共有等边三角形 48个:
O
乙
A
O
C
B
甲A
乙0
答甲和乙的速度比是 2比3。
边长1个单位：顶点在上▲的个数有 顶点在
下▼的个数有
边长2个单位：顶点在上▲的个数有 顶点在
下▼的个数有
边长3个单位：顶点在上▲的个数有 边长4个单位：顶点在上▲的个数有 边长5个单位：顶点在上▲的个数有 以上要注意数一数的规律 例2•设平面内有6个点A 1, A 2, A 3,
A 4, A 5, A 6 ,其中任意3个点都不在同一 直线上，如果每两点都连成一条线， 那么共有线
段几条？如果要使图形不出 现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。
（佃89年全国初中数学联赛题 ）
解：从点A 1与其他5点连线有5条，从点A 2与其他4点（A 1除外）连线 有4条，从A 3与其他3点连线有3条（A 1, A 2除外）……以此类推，6个 点两两连线共有线段 1+ 2+
3 +
4 + 5= 1
5 （条），或用每点都与其他 5点连 线共5X 6再除以2 （因重复计
算）。
要使图形不出现有 4个点的两两连线，那么每点只能与其他
4个点连线,
共有（6X 4）- 2 = 12 （条）如下图：其中有 3对点不连线：A 1A 4, A 2A 5,
进，当甲在0点时，乙离点 0为500米，2分钟后，甲、乙离点 0相等； 又过8分钟，
甲、乙再次离点 0相等。
求甲和乙的速度比。
解：如图设甲0,乙0为开始位置，甲1,乙1为前进2分钟后位置，甲2,乙2 乙2
为再
前进8分钟的位置。
再设甲，乙的速度分别为每分钟
x,y
米，根据题意得
2x=500-2y JOx =10y -500
甲-0一甲^ ----------------- 甲^
解得 12x=8y
1+ 2+ 3 + 4 + 5= 15 1+ 2+ 3 + 4 = 10 1+ 2+ 3 + 4 = 10 1+ 2= 3 1+ 2+ 3 = 6 1+ 2= 3 1
A 3A 6
例3•如图水平线与铅垂线相交于 0,某甲沿水平线, A 3
某乙铅垂线同时匀速前
例4•在三角形内（不在边上）有 3个点，连同原三角形三个顶点，共 6个
点，以这6个点为顶点，作出所有不重迭的三角形共有几个？
（佃89年全国初中数学联赛题）
解：如图厶ABC 中一个点D ，与A ，B ，C 各点连结可得3个不重迭的三角 形；再增加
1个点E ,这时可连结不重迭的三角形共 5个，再增加1个点F , 又可增加2个不重迭的
三角形，共有 7个。
1. ___________________________ 数一数：甲图中有直角三角形 ____ 个，乙图中有
等腰直角三角 ______________________ 个,
丙图中有全等三角形.
3. 以0为端点画6条射线OA , OB, OC, 0D , OE,OF,那么可组成的角（小
于平角）最多是—个，最少是 ________ 个，试分别画出草图。
4. 在三角形内有n 个点（n 为整数）与原三角形3个顶点共n + 3个点，以
这些点为顶点可连成不重迭的三角形最多有 _________ 个。
5. ________________ 下图中三角形 _____________________________ 个其中等腰三
角形—个，直角三角形 __ 个,
全等的等腰三角形—组，每组—个, 全等的直角三角形 组，每组—个。
6. 如图长方形 ABCD 中，E , F , G 分别在边
BC , CD , DA 上，以A 为一个顶点，其他两点 在B , C , D , E , F , G 中任选，总共可组成的
B
对。
2.
甲
平面上有 那么以这 5个点A ， 5个点为端点的线段共有
B ，
C ，
D ，
E ,其中 A ，B ， 条，记作
B 丙 C
C 三点在同一直线上,
三、练习
E D
三角形的个数是—（佃87年泉州市初二数学双基赛题）乙0 答甲和乙的速度比是2比3。
7. 平面上有6个点A , B, C, D, E, F其中任意3个点都不在同一直线上，如果不
使图形出现有3个点两两连线，那么最多可连接线段几条？
0C丄AB于O, 0D丄OE于0,写出图中
相等的角：
互余的角： ___
互补的角： ___
如图长方形ABCD中，AB = 5, BC = 4,
AE = BF = 1, CG= DH = 2
那么四边形EFGH的面积是—（平方单位）10. 如图A , B , C, D四点在同一直线
上，至U A , B , C, D各点距离之和为最小值的点在什么位置？有几个符合条件的点？距离之和的最小值可用
哪些线段的长度来表示？（佃87年全国初中数学联赛题）
A B C
11. 正方形的边长为a，以四条边长为直径，向形内作4个半圆，求这四个半圆相交所成的菊花形面积。
12. 下列四图，都是由全等正方形组成的图形，其中哪一个能围成正方体? 答: （
）LI
(A) (B) (C) (D)
13. 甲，乙两人沿着圆周同时匀速前进，开始他们位于一条直径的两端，相
向而行，第一次相遇时，乙走了100米，第二次相遇时，甲还差60米
走完一圈。
求这个圆的周长。
提示：可设圆周长为x米，并引入参数V甲，V乙列方程组解之
14. 正方形ABCD边长为a,在点A处有个质点P,在点B处有个
质点Q,
两个质点同时依反时针方向，沿正方形的边线作匀速的运
动，
试画出草图
O
C
F
2
过4秒钟，P在C处追上Q。
那么
①再过______ 秒钟，P在—处第二次追上Q
②出发6秒钟时，P, Q这间相距 ______ a
15. 有长3cm，宽2cm的长方形纸片1991张，将它们按照下图所示的方法,
摆在平面上，那么这1991张纸片覆盖的面积是（）
（1991年泉州市初二数学双基赛题）（A）3982 （B）3986 （C）3990 （D）3999
16. 一条线段（与圆相交）可把一个圆分成两部分，问四条线段最多可把圆
分成________ 部分。
（佃91年泉州市初二数学双基赛题）
17. 把一个矩形分成6个正方形（如图），其中最小的一个面积是1 （单位平
方）那么这个矩形的面积是_______ （单位平方）
练习题参考答案
1. 5, 8, 4
2. 10
3. 15, 12
4. 1+2n
5. 16,8,8 .4,2.2,4
6. 14
7. 9
9. 11
10. 有无数多个点，在线段BC上(包括端点)，和是AD + BC
兀2
11. ( 1) a
12. (A)
13. 480
14. ①16, C ②
0.5a
15. (B)
16. 11
17. 4
2。