f i ij ( ) 0 x j
11 12 0 21 22
T 11 22 系数矩阵的迹 11 22 12 21 系数行列式的值
特征矩阵
T 0
2
特征根
T T 2 4 1, 2 2
A1 B 1
t
原点 i 0 是渐进稳定的
参考态
xi 0 也是渐进稳定的。

(2) 两特征根中至少有一个实部为正 原点 i 0 是不稳定的 lim i
t
参考态
xi 0 也是不稳定的。

(3) 两特征根中至少有一个实部为零，另一个实部为负
原点 i 0 是Lyapunov稳定的 参考态 xi 0 处于临界情况。
x
x2
t
时空轨迹 相图
x1
小结
非线性动力学系统
决定性系统与不可预测性（初值敏感性）
一阶自治常微分方程组
相空间
§7.2 运动稳定性分析
一. 非线性方程解的各种形式
i fi ( x1 , x2 ,, xn ) x
1. 定态解
i 1,2,, n i 1,2,, n
x2 x1
代入方程
2 02
当阻尼为正阻尼且很小时 0 0
i , 02 2
x1 x Ae t cos(t ) Ae t [ cos(t ) sin(t )] x2 x 2 2 Ae t sin(t 0 )
x1 x, x2 x
3 x3 cost , x4 x
1 x2 x k 3 F x x x x x3 2 1 1 2 m m m m x 3 x4 2 x x3 4
一阶常微分方程组

数值计算 系统的状态 相空间
例1.
2t x
x0 (0) 1
x0 (0) c 1
1 解： x(t ) 2t t 2 c 2 x(0) x0 (0) c 1
x 0 (t ) 2t
1 2 t 1 2
x(t ) x0 (t ) c 1
x0 (t ) 是Lyapunov稳定的
非线性动力学与混沌
NONLINEAR DYNAMICS AND CHAOS
参考书
林振山，《非线性力学与大气科学》，南京大学
出版社，1993
刘秉正，
《非线性动力学与混沌基础》，东北师 范大学出版社，1994
刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂现象》，
气象出版社，1989
§7.1 引言
一. “非线性动力学”的表观含义
1 x2 x 2 x x1 2 0
2 x12 x2 1 2 2 A ( A0 )
x
x2
t
时空轨迹 相图
x1
阻尼弹簧振子
通解
2x x 0 x
2 0
x Aet
2 0
2 2 0
1 x2 x 2 x 0 x1 2 x2 2
T T 2 4 1, 2 2 3. 奇点的分类 （取非线性方程的奇点为参考态）
(1) 0
T 2 4 0 两根都是实的，且符号相同，此时奇点称为结点。
T 0 不稳定的结点
T 0 稳定的结点
(2) 0 , T 2 4 0, T 0
两根都是复的，此时奇点称为焦点。
lim x(t ) x0 (t ) lim c 2 e t 0
t t
渐进稳定的
三. 线性稳定性分析
1. 线性稳定性定理
i fi ( x1 , x2 ,, xn ) x
i 1,2,, n
设 xi 0 (t ) 为方程的一个解(参考解)， 为研究该解的稳定性， 令 xi (t ) xi 0 (t ) i (t ) 为此解附件另一解，称扰动解 。
例2.
解：
tx x
x(t ) t 1 ce
t
x0 (0) 1
x0 (0) 1
c2
x0 (t ) t 1 2et
x(0) x0 (0) 1 c 1 2 c 2
x(t ) x0 (t ) t 1 ce t 1 2e t c 2 e t

1883年，英国流体力学家雷诺(Reynolds)的湍流实验。 （香烟） 1903年，法国数学家昂利•庞伽莱（Henri Poincare）从动力系统 和拓扑学的全局思想出发，指出动力学系统可能存在混沌特征。 1963，美国气象学家洛仑兹（Lorenz）在研究天气预报中大气流 动问题时发现了天气“对初始条件的极端敏感性”，将使长时间 的预测无法进行。后被形象地称为“蝴蝶效应” ：一只蝴蝶在巴 西扇一下翅膀，就可能在美国得克萨斯州引起龙卷风。
f ( x, x ) x
2阶，1维
x1 x x 1 x2 x
1 x2 x 2 f ( x1 , x2 ) x
1阶，2维
n+1维自治
（2）非自治的 n维非自治
i 1 xi t , x
Duffing方程
x kx x3 F cost m x
f ( x) x
(1)
x ( x1, x2 ,, xn ) f ( f1, f 2 ,, f n )
设t=t0时方程的解为 x0 (t0 ) ，t时为 x 0 (t )，另一受扰动而偏离它的 解t0时为 x(t0 ) ， t时为 x(t )。如果对于任意小的数 0 ，总有一小数 0 存在，使得当 x(t ) x (t ) 时，必有 x(t ) x (t ) , t t 则称解x (t ) 是Lyapunov意义下稳定的，简称Lyapunov稳定的或稳定 0 的。
1. 力学决定论及其伟大成就
F ( x, x , t) x m x 0 x x 0 , x

t t0

(t ) x(t ), x
存在且唯一， 可预测性
1757年，哈雷慧星（Hally comet）按预测回归。 1846年，海王星在预言的位置被发现。

今天，日月蚀的准确预测，宇宙探测器的成功发射与回收。
0 x2 2 0 0 sin x1 2 x2

求定态解
1 0 x 2 0 x
(0,0) 两奇点 ( ,0)

(2k ,0) (2k ,0)
1. 在奇点(0,0)处线性化方程组为
f1 f1 2 2 1 x1 0 x2 0 f 2 f 2 2 1 - 2 2 2 1 2 0 x x 1 0 2 0 1
洛仑兹方程

10x 10 y x 28x y xz y z xy 8 z / 3
初值敏感性

不可预测性，混沌
初值敏感演示
杜芬（Duffing）方程： （带阻尼弹性系统的强迫振动）
x kx x F cost m x
0 0 0 ( x2 y2 ) ( xn yn )
2 2

2 12

两矢量间的距离
(2)
如果解 x 0 (t ) 是稳定的，且 lim x(t ) x 0 (t ) 0 则称此解
t
是渐进稳定的。
(3)
不满足上述条件的解是不稳定的。
设想一位智者在某一瞬间得知激励大自然所有力及组成它的物体 的相互位置，如果这位智者又能对众多的数据进行分析，把宇宙间最 庞大的物体和最轻微的原子的运动凝聚在一个公式中，没有什么事物 是不确定的，将来就像过去一样清晰地展现在眼前。
——拉普拉斯（Laplace，法国数学家，1749-1827）
2. 力学决定论不断受到挑战
3
x10 1,
10 0 x 20 0 x20 1.000001 , x
三. 常微分方程的一般形式
1. 自治方程与非自治方程
F(x, x ) m x F(x, x , t) m x
不显含时间，自治的 显含时间，非自治的
2. 常微分方程一般形式
（1）自治的
T 0
不稳定的焦点
T 0 稳定的焦点
(3) 0, T 0 两根都是纯虚数，解是等幅振荡，此时奇点称为中心。
中心
鞍点
(4)
0
两根都是实数，一正一负，此时奇点称为鞍点。

稳 定 焦 点 不 中稳 心焦 点 鞍点
T 2 4 0
稳定结点
不稳结点
T
T T 2 4 1, 2 2
2. 线性化方程组的解及其稳定性
1 11 1 12 2 2 211 22 2
试探解：1 Aet , 2 Bet
12 A 11 B 0 22 21
i 0 x
平衡点，奇点 2. 发散解
xi 之一或几个随时间无限地偏离初值
爆炸，散射
x2 x1
3. 振荡解
既不趋于无穷大，也不终止于某一点，而是在一定区域内不断变化。

周期振荡
x2

准周期振荡
x2
闭合曲线
x1
非闭合曲线
x1

混沌 相轨迹没有确定的形状周 期、貌似随机的运动。
二. 解的稳定性
Lyapunov稳定性定义：
例： 分析阻尼单摆定态的稳定性