R K u F
即表示
{反作用力矩阵}=[刚度矩阵]{位移矩阵}-{负荷矩阵}
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由于杆的上端是固定的，节点1的位移量是零，因此方程的 第一行应为u1＝0。所以应用边界条件将得到如下的矩阵方程：
对于每一个单元有如下的方程：
Aavg E l
f keq (ui 1 ui )
(ui 1
A u )
i
i 1
Ai E 2l
(ui 1 ui )
其中等价单元的刚度为：
keq
Ai 1 Ai E 2l
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求解上面的矩阵方程将得到节点的位移量。
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假设
E 0.717 1011 Pa w1 0.05m w2 0.025m t 0.003m
l 0.25m
P 4445.25N
由直接公式法可解得：
0 0 k3 k3 k 4 k4
0 0 0 k4 k4
u1 R1 u 0 2 u 3 0 u 0 4 p u5
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在矩阵中将反作用力和负荷区分开来得到：
R1 k1 k1 0 k1 k1 k2 0 k2 0 0 0 0 0 0 0 以上形式为：
AE keq l
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杆可以视为由四个弹簧串 接起来的模型：
• A
u1 u2
1
单元1
2
单元2
u3 u4
u5
3
单元3
4
单元4
5
P
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用直接公式法求得每个单元的平均应力为：

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(1) (2) (3) (4)
29.4MPa 33.93MPa 40.07 MPa 48.98MPa
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对于该问题，无论在何处将杆截断，截面的内力均是 P=4445.25N。因此，可以由截断处的横截面积得到相应的应 力，在每个单元上有：
P
（2）假设近似单元行为的近似解
பைடு நூலகம்
l
l
F
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近似单元解的平均应力：
平均应变：
F A
虎克定律：
l l
合并方程：
E
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AE F l l
节点1到节点5的受力情况
R1
节点的力平衡方程：
1 ◆
k1 (u 2 u1 ) k1 (u 2 u1 )
k 2 (u 3 u 2 ) k 2 (u 3 u 2 ) k 3 (u 4 u 3 )
R1 k1 (u 2 u1 ) 0 k1 (u 2 u1 ) k 2 (u 3 u 2 ) 0 k 2 (u 3 u 2 ) k 3(u 4 u 3 ) 0 k 3 (u 4 u 3 ) k 4 (u 5 u 4 ) 0 k 4 (u 5 u 4 ) P 0
u1 0m u2 0.000026m u3 0.000057 m u4 0.000092m u5 0.00014m
由应力和应变的关系式可以得到应力和节点位移的关系：
ui 1 ui E E ( ) l
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总结
以上我们通过一个例题说明了直接公式法的步骤，由 直接公式法和理论计算结果的比较可以发现，使用直接 公式法进行计算是有效的。 在后续的学习当中还会接触到其它几种用公式描述 有限元问题的方法，这些有限元的基本概念将会为更 好地使用ANSYS打下坚实的基础。
0 1 k k k 1 1 2 0 k2 0 0 0 0
0 k2 k 2 k3 k3 0
0 0 k3 k3 k 4 k4
0 u1 0 u 0 0 2 0 u3 0 k4 u4 0 k4 p u5
0 k2 k 2 k3 k3 0
0 0 k3 k3 k 4 k4
0 u1 0 u 0 0 2 0 u3 0 k4 u4 0 k4 u5 P
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直接公式法
w1
例: 变横截面杆的一端固 定，另一端承受负荷P。杆的 上边宽度为w1，下边宽度为 w2。杆的厚度为t，长度为L。 弹性模量为E。
L w2
P 图1 负荷为P的变横截面杆
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注意到合并方程与线性弹簧的方程 F＝kx 相似， 因此一个中心点受力而且横截面相等的实体可以视作一 个弹簧。
keq
x
F
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每个单元的弹性行为可以由相应的线性弹簧模型描述： 合并方程与线性弹簧方程 F＝kx 相比，其等价刚度为：
2 ◆
3 ◆
k 3 (u 4 u 3 )
4 ◆
k 4 (u 5 u 4 )
k 4 (u 5 u 4 )
5 ◆
P
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将反作用力R1和外力P从内力中分离出来，重组方程 组得到：
k1u1 k1u2 k1u1 k1u2 k2u2 k2u3 k2u2 k2u3 k3u3 k3u4 k3u3 k3u4 k4u4 k4u5 k4u4 k4u5
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（1）将问题域离散成有限的单元（如五节点 四单元）。
每个单元的横截面面积，由定义单元节点处横截面的平均面积表 示。
1
A 1
L
2
3
l1 l2 l3
A2 A3
4
5
A4 l4
P
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(1)
f 4445.25 29.39MPa Aavg 0.00015 f 4445.25 33.82 MPa Aavg 0.00014 f 4445.25 40.01MPa Aavg 0.00011
(2)
(3)
(4)
f 4445.25 48.87 MPa Aavg 0.00009
直接公式法
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概 述
有限元方法（Finite Element Method）是 求解工程中各类问题的数值方法。ANSYS是一个 通用的有限元程序。为了更好的使用ANSYS，理 解有限元方法的基本概念是很有必要的。 一般来说，用公式描述有限元问题有几种方 法：（1）直接公式法，（2）最小总势能公式 法，（3）加权余数法。 下面将举例说明直接公式法的步骤和过程。
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R1 0 0 0 P
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将方程表示为矩阵形式，有：
k1 k 1 0 0 0
k1 k1 k2 k2 0 0
0 k2 k 2 k3 k3 0