南京工业大学浦江学院 高等数学B 试题（A ）卷（闭）
2012―2013学年第一学期 使用班级 浦江学院12级 班级 学号 姓名
一、填空（每小题3分，共15分）
1、函数y =
的定义域是
2、函数sin ,0()1,0
x
x f x x x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩的连续区间为
3、函数1
y x x
=+（0x ≠）的单调减递减区间为 4、若0()f x '存在，则000()()
lim h f x mh f
x h
→+-＝
5、设常数,0>k 函数k e
x
x x f +-=ln )(在()+∞,0内零点个数为______________
二、单项选择题(每小题3分，共15分)
1、下列各对函数中，为相同函数的一对是 （ ） (A )()()f x g x ==
(B )(),()arcsin(sin )f x x g x x == ；
(C )2
()ln ,()2ln f x x g x x == ； (D )2
()1cos 2,()2sin f x x g x x =-= 2、当0x x →时，(),()x x αβ均为无穷小量，下列变量中，当0x x →时，可能不是无穷小量的是 ( ) (A )()()x x αβ+； (B )()()x x αβ-； (C )()()x x αβ⋅； (D )
()
(()0)()
x x x αββ≠. 3、函数y =x 2+12x +1在定义域内( )
(A )单调增加 (B )单调减少 (C )图形上凹 (D )图形上凸
4、对于两个不同的正数x ,y ,当n >1时,( )式成立.
(A ) 22n n n x y x y ++⎛⎫> ⎪⎝⎭ (B ) 22n
n n x y x y ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭　
(C ) 22n n n x y x y ++⎛⎫< ⎪⎝⎭ (D ) 22n
n n x y x y ++⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
5、反常积分
2d ln x
x x +∞
⎰是（ ）
(A ) 0； (B ) 1-； (C ) 1； (D ) 发散的
三、计算(每小题7分，共49分)
1、2
21sin(1)lim 2x x x x →-+- 2、0
0ln(1sin )d lim 1cos x
x t t x
→+-⎰
3、已知2,0
(),0
⎧>=⎨≤⎩x e x f x x x ，求()f x '.
4、设函数()y y x =由方程2
ln 2+=y x y 确定，求 0d |d x y
x
= .
5
、设由
ln
arctan
x
y t
⎧⎪=
⎨
=
⎪⎩
确定了函数()
y f x
=，求
d
d
y
x。

6、计算
2
π
12
π
11
sin d x
x x
⎰7、2(31)ln d
x x x x
++
⎰
四、解答题（本题8分）求曲线3
y x，x =2, y =0所围成的图形，绕x轴旋转所得旋转体的体积。

五、解答题（本题8分）求y =sin x -x 在[-π,π]上的最大值与最小值。

六、证明题：（本题5分）设0≤x 1<x 2<x 3≤π,试用Lagrange 中值定理证明：
32
212132
sin sin sin sin x x x x x x x x -->--.
答案
一、填空题（每小题3分，满分15分） 1、(4,2)
(2,)--+∞ 2、(,)-∞+∞ 3、()()1,00,1-⋃ 4、
0m ()f x ' 5、2
二、选择题（每小题3分，满分15分） 1、D 2、D 3、C 4、A 5、D
三、计算（每题7分，共49分）
1、221sin(1)lim 2x x x x →-+-=2211lim 2
x x x x →-+-
=2
311(1)(1)1lim
lim (1)(2)2
x x x x x x x x →→-++==-++ 7分
2、0
ln(1sin )d lim
1cos x x t t x
→+-⎰=0ln(1sin )
lim
sin x x x
→+= 3分
0sin lim
x x
x
→==1 7分
3、当0x <时()2f x x '=； 当0x >时()x
f x e '=； 4分
()f x 在0x =处不连续，故()f x 在点0x =不可导；
于是，2,0
(),0
x
x x f x e x <⎧'=⎨
>⎩，在0x =处，()f x 的导数不存在. 7分 4、2
ln 2y y
y x y '=-
+. 3分 0d |d x y x
=
= 7分 5、22
d 1
d 1d 1d d d 1y y t t x t x t
t t
+===+ 7分
6、
222
π
ππ1112ππ
π11111sin d sin d()[cos ]1x x x x x x =-==⎰
⎰ 7分 7、23213
(31)ln d ln d()32x x x x x x x x ++=++⎰⎰
3232323213131()ln ()d 32321313
()ln 3294
x x x x x x x x x x x x x x x x C =++-++⋅=++---+⎰ 7分 四、解答题
1、（本题8分）2
2
260
128d d 7
π
π
π===
⎰
⎰x V y x x x 8分 2、（本题8分）解：cos 1,00y x y x ''=-=⇒=. 4分
(),(0)0,()y y y ππππ-===-
∴在],[ππ-上， ππππ-===-=)(,)(min max y y y y 8分
五、证明题（本题5分）
证明：设()sin ,0f x x x π=≤≤，则()[0,],()(0,)f x C f x D ππ∈∈. 由Lagrange 中值定理,112223(,),(,),.:x x x x s t ξξ∃∈∈
'21
1121sin sin ()cos x x f x x ξξ-==-,'322232
sin sin ()cos x x f x x ξξ-==-,
由于0≤x 1<ξ1<x 2<ξ2<x 3≤π,cos ξ1>cos ξ2,故
32
212132
sin sin sin sin x x x x x x x x -->
--.
5分。