南京大学数学分析，高等代数考研真题南京大学2002年数学分析考研试题一 求下列极限。

（1）(1)cos2lim(sin sin )ln(1)2x x x x xx x →∞+--+；（2）设()ln()f x x a x =+-，(,)x a ∈-∞，（i ）()f x 在(,)a -∞上的最大值；（ii ）设1ln x a =，21ln()x a x =-，1()n n x f x +=，(2,3,)n =，求lim n n x →∞。

二 设1()sin ln f x x x=-，试证明()f x 在[2,)+∞内有无穷多个零点。

三 设()f x 在0x =的某个邻域内连续，且(0)0f =，0()lim 21cos x f x x→=-，（1）求(0)f '； （2）求2()limx f x x →； （3）证明()f x 在点0x =处取得最小值。

四 设()f x 在0x =的某个邻域内具有二阶连续导数，且0()lim0x f x x→=，试证明： （1）(0)(0)0f f '==；（2）级数11()n f n∞=∑绝对收敛。

五 计算下列积分 （1）求x ；（2）SI zxdydz xydzdx yzdxdy =++⎰⎰，其中S 是圆柱面221xy +=，三个坐标平面及旋转抛物面222z x y =--所围立体的第一象限部分的外侧曲面。

六 设()[,]f x C a b ∈，()f x 在(,)a b 内可导，()f x 不恒等于常数，且()()f a f b =， 试证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ'>。

七 在变力F yzi zxj xyk =++的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c ++=, 第一象限的点(,,)M ξηζ,问(,,)ξηζ取何值时，F 所做的功W 最大，并求W 的最大值。

八 （1）证明：(1)n xx e n--≤，(,0)n N x n *∈≤≤；（2）求20lim(1)nn n x x dx n→∞-⎰。

南京大学2002年数学分析考研试题解答一 （1）解 0(1)cos2lim(sin sin )ln(1)2x x x x xx x →+--+201(1)cos12limsin sin 2ln(1)x x xx x x x x x x →+-=-+ln(1)01(ln(1))sin 1222lim2x x x x x e x x x+→+++⋅+= 1ln(1)0sin 12lim[(ln(1))]12x x x x x e x x x +→=++++ 124=+94=. （2）解 （i ）11()1a xf x a x a x--'=-=--, 当1x a <-时，()0f x '>，()f x 在(,1]a -∞-上单增， 当1a x a -<<时，()0f x '<，()f x 在[1,)a a -上单减，所以()f x 在1x a =-处达到最大值，(1)1f a a -=-； （ii ）当1a >时，10ln ln(11)1x a a a <==+-<-，11a x a <-<，210ln()ln 1x a x a a <=-<<-，32()(1)1x f x f a a =<-=-， 1n x a <-，1n a x <-，1ln()n n n n x x a x x +=+->，{}n x 单调递增有上界，设lim n n x A →∞=，则有ln()A A a A =+-，1a A -=，1A a =-，lim 1n n x a →∞=-；当1a =时，0n x =，lim 0n n x →∞=；当01a <<时，1ln 0x a =<，1ln ln(11)1x a a a ==+-<-，11a x <-，二 证明 因为1(2)102ln(2)2f n n ππππ+=->+，1(2)102ln(2)2f n n ππππ-=--<-，(1,2,)n =，显然()f x 在[2,)+∞上连续，由连续函数的介值定理知，存在(2,2)22n n n ππξππ∈-+使得()0n f ξ= (1,2,)n =，即得()f x 在[2,)+∞上有无穷多个零点。

三 解 （1）2200()()2lim lim 1cos 1cos x x f x f x x x x x→→==--，因为20lim21cos x x x →=-，所以20()lim 1x f x x→=， 200()()limlim()0x x f x f x x x x→→=⋅=，00()(0)()lim lim 00x x f x f f x x x →→-==-， 于是(0)0f '=； （3）由20()lim1x f x x →=知，存在0δ>，当0x δ<<时，2()12f x x >，()(0)f x f >，即知()f x 中在0x =处取得极小值。

sup ()x M f x δ≤''=四 、证明 （1）由0()lim ()lim0x x f x f x x x→→=⋅=，知(0)0f =， 由00()(0)()limlim 00x x f x f f x x x→→-==-知(0)0f '=.（2）22111111()(0)(0)()()22n n f f f f f n n n nξξ'''''=++=，211()2M f n n ≤，已知2112n M n∞=∑收敛，其中sup ()x M f x δ≤''=， 于是11()n f n∞=∑收敛，结论得证。

五 （1）解322[(1)]3xxx e dx '=-⎰32222(1)333x x x e dx =--+33222222(1)(1)3333x x x x e e =--⋅-+,所以111)1)22x x x e e C =--+11(1)(23x x x xe e e C =---. （2）解 曲面221x y +=，222z x y =--事物交线为221x y +=，1z =，22221{(,,):1,02,0,0}x y z x y z x y x y Ω=+≤≤≤--≥≥， 22222{(,,):12,02,0,0}x y z x y z x y x y Ω=≤+≤≤≤--≥≥，其中S 是区域1Ω的边界时，利用高斯公式，SI zxdydz xydzdx yzdxdy =++⎰⎰1()z x y dxdydz Ω=++⎰⎰⎰212200(cos sin )r d dr z r r rdz πθθθ-=++⎰⎰⎰2122220(cos sin )r dr dz zr r r d πθθθ-=++⎰⎰⎰21220(2)2r dr zrr dz π-=+⎰⎰1222201[(2)2(2)]22r r r r dr π=-+-⎰ 1135240[44]2[2]4r r r dr r r dr π=-++-⎰⎰121(21)2()4635π=-++- 7142415π=+. 当S 是2Ω的边界时，利用高斯公式SI zxdydz xydzdx yzdxdy =++⎰⎰2()z x y dxdydz Ω=++⎰⎰⎰2220(cos sin )r dz z r r rd πθθθ-=++⎰⎰222211[(2)2(2)]22r r r r dr π=-+-224111[2(22]243r r r dr π=---35212(2435r r π=+-14241515π=+-.六 证明 证法一 用反证法，假若结论不成立，则对任意(,)x a b ∈，都有()0f x '≤，()f x 在[,]a b 上单调递减，由于f 不恒等于常数，所以()f x '不恒等于零，存在一点0(,)x a b ∈，使得0()0f x '<，0000()()lim()0x x f x f x f x x x →-'=<-，存在01x x b <<，使得1010()()0f x f x x x -<-，10()()f x f x <，因为0()()f x f a ≤，1()()f b f x ≤，所以10()()()()f b f x f x f a ≤<≤，这与()()f a f b =矛盾，从而假设不成立，原结论得证。

证法2 由于f 在[,]a b 上连续，f 在[,]a b 上取到最大值M 和最小值m ，且m M <，由于()()f a f b =，所以f 的最大值M 或最小值m 必在(,)a b 内达到。

若f 在0(,)x a b ∈处达到最大值0()()()f a f b f x =<，存在0(,)a x ξ∈使得00()()()()f x f a f x a ξ'-=-，从而有()0f ξ'>；若f 在1(,)x a b ∈处达到最小值1()()()f x f a f b <=，存在11(,)x b ξ∈使得111()()()()f b f x f b x ξ'-=-，从而有()0f ξ'>； 结论得证。

七 解 设u xyz =，则有gradu F =，所以F 是有势场，()()OMW Fdr u M u O ξηζ==-=⎰，由于0,0,0x y z ≥≥≥时，222232222)x y z xyz a b c =++≥=，323xyz abc ≤=，等号成立当且仅当x y z a b c ===， 所以(,,)ξηζ=时，W 达到最大值，且W 。

八 证明 （1）由于当0y ≥时，有1yey ->-，对任意n N *∈，0x n ≤≤，取xy n=，1xn x e n -≥-，所以有(1)xn xen-≥-；（2）取2(1),0()0,n n x x x n f x nn x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪<⎩， 有20()x n f x e x -≤≤，20x e x dx +∞-⎰收敛，对任意0A >，{()}n f x 在[0,]A 上一致收敛于2xe x -， 故由函数列积分的黎曼控制收敛定理，20lim (1)n n n xx dx n→∞-⎰0lim ()n n f x dx +∞→∞=⎰0lim ()n n f x dx +∞→∞=⎰20x e x dx +∞-=⎰20()x x e dx +∞-'=-⎰2()x x e dx +∞-'=⎰02x e dx +∞-=⎰2()x e dx +∞-'=⎰2= 。