常微分方程第四章测验试卷（1）班级 姓名 学号 得分 一、 填空（30分）1、如果),...,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这 一齐线性方程的所有解可表为————————————————。

2、形如————————————————的方程称为欧拉方程。

3、如果),...,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x i 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为————————————。

4、设0)(1≠t x 是二阶齐线性方程021=+'+''x a x a x 的一个解，则方程的通解可表为—————————————————————。

5、微分方程tx x 3sin 1=+''的基本解组为——————————。

6、函数组t t t e e e 2,,-的伏朗基行列式为—————————。

7、若),...,2,1)((n i t x i =b t a ≤≤上线性相关，则伏朗基行列式满足——————。

8、解线性方程的常用方法有————、————、————、————。

9、n 阶齐线性方程的线性无关解的最大个数为————。

二、 计算（50分）1、 求32254+=-'+''-'''t x x x x 的通解。

2、 求方程0)()(32='+'-''x x x x3已知。

的解，试求方程的通解是0sin 2=+'+''=x x x ttx t 4、求方程t t x x t x t ln 22=+'-''的通解。

5、的解。

求方程1)0()0()0()0(,2)4(='''=''='==+x x x x e x x t 三、 证明题（20分）1、 ),...,2,1)((n i t x i =是齐次线性方程组的n 个解，则有：当)()......,(1t x t x n 在[a,b]上线性无关时，伏朗斯基行列式w(t)≠0,t ],[b a ∈.2、若()(1,2)i x t i =是非齐次线性方程43sin x x x x ''''''++=的2个解，则有：当12lim()()n x t x t →∞-存在。

常微分方程第四章测验试卷（1）参考答案一、填空1.∑=ni i i t x c 1)(2.0 (11)111=++++----y a dx dy x a dx y d x a dx y d x n n n n n n n n3.∑=+ni i i t x t x c 1)()(4.dt x et x c t x c t x tt dss a ⎰⎰+=-21)(121101)()()(5.cost 、sint. 6tttt t ttt te e e e e e e e e 22242---- 7.w(t)=0 8.比较系数法、常数变易法、拉普拉斯变换法、复数法。

9.由积分⎰∞-=0)()(dt t f e s F st 所定义的确定于复平面)(Re σ>s 上的复变数s 的函数F(s)10、n 二、计算4)(4;1325223225232)(25)()(0210254025412321101001001001023213--++=-=-=⎩⎨⎧=-=-+=-+-+=+-+======-+-=-'+''-'''t e c te c e c t x B B B B B t B B t B t B t B B t t x B t B t x e te e x x x x t t t tt t 所以原方程的通解为：解之得故有即的同次幂系数得：比较代入原方程，的特解。

将原方程有形如不是方程的特征根所以因为、、基本解组为。

故齐线性方程的一个，，解得的特征方程为、齐线性方程λλλλλλλ2112111111112232ln 1ln 1)11(1111ln ln ln 111ln 00.00,2c t x c x c x c t x c x dt dx xc x c x c dt dxx c x c y y y x c c y y x dyy dy y x y y dy x dy y y dxdyxy c x y y y dxdyxy dx dy y x y x +=+=+=+=++=+=-=+--=-+=-==+-≠===+-=''='⎰⎰或所以原方程的通解为即即时，时，即代入原方程得则、解：令tt c t t c dt t t t c ttc dt t t e t t c t t c t x dtt cos sin sin 1sin sin sin sin sin )(32122122221+=+=⎰+=⎰⎰-示为：、解：方程的通解可表.ln sin ln cos ln ln sin )(ln cos )()(ln cos ln sin ln )(ln sin ln cos ln )(ln cos ln )(ln sin ln )(ln )ln cos ln )(sin ()ln sin ln )(cos (0ln sin )(ln cos )(.ln sin )(ln cos )()(.ln sin ,ln cos .1;102)1(0242121221121212121212t t c t t c t t t t t c t t t c t x c t t t t c c t t t t c ttt t c ttt t c t t t t t c t t t c t t t c t t c t t t c t t t c t x t t t t i k i k k k k k t x x x t x t k ++=+=++=+-=='-='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+'+-'='+'+=-=+=⇒=+--==+'-''所以原方程的解为积分得解得：由常数变易法，设本解组为所以欧拉齐次方程的基的方程。

的解。

得到确定寻找形如的解。

这是欧拉方程，、解：先求5、.)(01)0()0()0()0()(122)(122222222222222223,2,1,0,42sin 42cos1432122sin 22422cos 22322sin 22222cos 221432144t tt t t t t t t t t t t e t x c c c c x x x x e ec ec ec e c t x A e Ae Ae t x i i ii k k i k =====⇒='''=''='=++++==⇒===-=--=+-=+==+++==+---所以由所以代入原方程得以不是方程的特征根，所；；；解：λλλλλππππλλ6、............11)0(,00)0( (2)21010++++==⇒='=⇒=++=nn n n x a x a x y a y a y x a x a a y 所以为方程的解。

解：设②............2112++++='-n n x na xa y ③ ......)1(......222+-++=''-n n x a n n a y ④②③④代入原方程中比较系数得21......0102432-====-n a a a a a n n ；；；的值代回成立。

将对一切正整数也即，！因而...)2,1,0(0!1)!1(11,......!41,03161,0,!2121298765===-=======+i a k a k k k a a a a a a i kk ②即得2...)!...!21(...!...!22421253xk k xe k x x x x k x x x x y =+++++=+++++=+三、证明 1、证明：用反证法：假设存在)(......)()(0)(......)(],[),()(.,...,0)(0)(...)()(. 0)(...)()(0)(...)()(......,,0)(],,[0)1(0012100)1(0)1(220111002201100220112100==='==++∈==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++='+'+'=+++=∈-=---∑t x t x t x x t a dtx d t x b a t t x c t x c c c t w t x c t x c t x c t x c t x c t x c t x c t x c t x c c c c t w b a t n n n n n ni i i n n n n n n n n n n n ：的解，且满足初始条件为由叠加原理，构造函数，故它就有非零解：其系数行列式的线性方程组：考虑关于使得又.0)(],[)()......(),(......,].,[,0)(......)()(],,[,0)()(.0)(......)()(021*******)1(00≠∈=+++∈≡≡==='=≡-t w b a t x t x t x c c c b a t t x c t x c t x c b a t t x t x t x t x t x x n n n n n 以上线性相关，矛盾。

所在不全为零，亦即其中即定理知：由解的存在惟一性且也满足也是齐次方程的解，并2、证明：)()()(......)(1111t f x t a dt dxt a dtx d t a dt x d n n n n n n =+++--- A设)(),()()......,()(),()()()()......(),(2121t x t x t x t x t x t x t x A t x A t x t x t x n n +++的一个解，则是个基本解组。

对应的齐线性方程的一为①均为A 的解。

同时，①是线性无关的。

事实上，假设存在常数∑∑=+=-=ni i n i iit x cc t x 111)()( ②②的坐端为非齐线性方程的解，右端为齐线性方程的解，矛盾。

从而有∑==ni ii t x c 10)(，又)......2,1)((n i t x i=为齐线性方程的基本解组，故有,0.0......121====+n n c c c c 进而有即①是线性无关的。