两边积分得 dy ∫ ϕ ( y) = ∫ f ( x)dx + c
( 2 .2 )
f (x)的 一 函 某 原 数 1 的某一原 函数 ϕ( y)
由(2.2)所确定的函数y = ϕ ( x, c)就为(2.1)的解.
二、可化为变量分离方程类型 （I）齐次方程 ）
a1 x + b1 y + c1 dy 的方程, ( II ) 形如 = f a x+b y +c dx 2 2 2 其中a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2为任意常数.
在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.
dy 方程 = f ( x, y )的等斜线为, f ( x, y ) = k , 其中k为参数. dx
第二章 一阶微分方程的初等解法
§2.1 变量分离方程与变量变换
定义1 形如
dy = F(x, y) dx
dy = f ( x)ϕ ( y ) dx
相应定义4所定义的解为方程的一个显式解. 注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.
2 特解与通解
定义4：在通解中给任意常数以确定的值而得到 的解称为方程的特解.
定义5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所 含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的 阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.
n阶微分方程通解的一般形式为
n阶微分方程的一般形式为
dy d y F(x, y, , L , n ) = 0 dx dx
n
(1)
dy dny dy dny 这里F(x, y, , L , n ) = 0是x, y, , L , n 的已知函数, dx dx dx dx dny 而且一定含有 n , y是未知函数, x是自变量. dx
设u = u ( x, y )是一个连续可微的函数, 则它的全微分为
∂u ∂u du = dx + dy ∂x ∂y , y ) ∂u ( x
如果我们恰好碰见了方程
∂x ∂u ( x, y ) ∂u ( x, y ) dx + dy = 0 ∂x ∂y
∂u ( x, y ) dx + dy = 0 ∂y
如
d(xy) = xdy + ydx = 0 3 2 d(x y + xy ) = (3x 2 y + y 2 )dx + ( x 3 + 2 xy)dy = 0
dy dny 则称y = ϕ (x)为方程 F(x, y, , L , n ) = 0在I上的一个解 dx dx
1 显式解与隐式解
如果关系式Ψ ( x, y ) = 0所确定的隐函数 y = ϕ (x), x ∈ I为方程 dy dny F(x, y, , L , n ) = 0 dx dx 的解, 则称Ψ ( x, y ) = 0是方程的一个 隐式解.
∫ p ( x ) dx为(1)的解, 则 令y = c( x)e
dy dc( x) ∫ p ( x )dx ∫ p ( x )dx = e + c ( x ) p ( x )e dx dx − ∫ p ( x )dx dc( x) = Q ( x )e 代入(1)得 dx
积分得
∫ c ( x ) = ∫ Q ( x )e
就可以马上写出它的隐式解
u ( x, y ) = c.
1 恰当方程的定义 定义1 若有函数u ( x, y ), 使得 du ( x, y ) = M ( x, y )dx + N ( x, y )dy
则称微分方程
M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0, (1) 是恰当方程. 此时(1)的通解为u ( x, y ) = c.
令u = a2 x + b2 y, 则方程化为
du dy = a2 + b2 f (u ) = a2 + b2 dx dx
这就是变量分离方程
3
a1 a2 ≠ 0且c1与c2不同时为零的情形 b1 b2
a1 x + b1 y + c1 = 0 , 则 a2 x + b2 y + c2 = 0
y = ϕ ( x, c1 , L , cn )
其中c1 , L , cn为相互独立的任常数.
注1: 称函数y = ϕ ( x, c1 , L , cn )含有n个独立常数, 是指
存在( x, c1 , L , cn )的某一邻域, 使得行列式
∂ϕ ∂c1 ∂ϕ ' ∂c1 L ∂ϕ ∂c2 ∂ϕ ' ∂c2 L L L L ∂ϕ ∂cn ∂ϕ ' ∂cn L
dy d ( n −1) y (1) ( n −1) 当x = x 0时, y = y0 , = y0 , L , = y0 n −1 dx dx
这里x0 , y0 , y ,L, y
(1) 0 ( n −1) 0
是给定的n + 1个常数.
当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题.
五 积分曲线和方向场
§2.2 线性方程与常数变易法
一阶线性微分方程
dy a ( x ) + b( x ) y + c ( x ) = 0 dx
在a( x) ≠ 0的区间上可写成 dy (1) = P( x) y + Q( x) dx 这里假设P ( x), Q( x)在考虑的区间上是x的连续函数 若Q ( x) = 0, 则(1)变为 dy = P ( x) y (2) dx (2)称为一阶齐次线性方程 若Q( x) ≠ 0, 则(1)称为一阶非齐线性方程
3
0
变量还原 .
(II) 形如
dy a1 x + b1 y + c1 = , dx a2 x + b2 y + c2
这里a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2为常数.
的方程可经过变量变换化为变量分离方程. 分三种情况讨论
1 c1 = c2 = 0的情形 y a1 + b1 dy a1 x + b1 y x = g( y ) = = x dx a2 x + b2 y a + b y 2 2 x
a1 x + b1 y + c1 Y dy dY a1 X + b1Y ⇒ = f a x + b y + c dX = f ( a X + b Y ) = g ( X ) dx 2 2 2 2 2
此外,诸如
dy = f (ax + by + c) ⇒u = ax + by + c dx yf ( xy)dx + xg ( xy)dy = 0 ⇒u = xy 2 dy x = f ( xy) ⇒u = xy dx dy y y = xf ( 2 ) ⇒u = 2 dx x x
为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.
a1 a2 2 = 0的情形 b1 b2 a1 b1 设 = = k , 则方程可改写成 a2 b2 dy a1 x + b1 y + c1 k (a2 x + b2 y ) + c1 = f (a2 x + b2 y ) = = dx a2 x + b2 y + c2 a2 x + b2 y + c2
第一章： 第一章：绪论
一、常微分方程与偏微分方程
定义1 联系自变量、未知函数及未知函数导数 未知函数导数（ 定义1: 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微 的关系式称为微分方程. 分）的关系式称为微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个， 则这样的微分方程称为常微分方程 常微分方程. 常微分方程 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程 偏微分方程. 偏微分方程 二、微分方程的阶 定义2 定义 ： 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数 或微分的阶数称为微分方程的阶数. 或微分的阶数称为微分方程的阶数.
方程,称为变量分离方程.
(2.1)
这里f ( x), ϕ ( y )分别是x, y的连续函数.
一、变量分离方程的求解
dy = f (x)ϕ( y) dx
(2.1)
1
0
分离变量, 当ϕ ( y ) ≠ 0时, 将(2.1)写成 dy = f ( x)dx, 这样变量就“分离”开了. ϕ ( y)
0
2
代表xy平面两条相交的直线, 解以上方程组得交点(α , β ) ≠ (0,0).
X = x −α , 作变量代换(坐标变换) Y = y − β dY a1 X + b1Y 则方程化为 = dX a2 X + b2Y
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.
解的步骤:
a1 x + b1 y + c1 = 0 1 解方程组 , a2 x + b2 y + c2 = 0
0
x = α 得解 , y = β
X = x −α 2 作变换 , 方程化为 Y = y − β dY a1 X + b1Y = g ( Y ) = X dX a2 X + b2Y
0
Y 3 再经变换u = , 将以上方程化为变量分离方程 X
0
4 求解
0
50 变量还原
注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.
∂ (ϕ , ϕ , L , ϕ ) = ∂ (c1 , c2 , L , cn )
' ( n −1)
≠0
∂ϕ ( n −1) ∂c1
∂ϕ ( n −1) ∂c2
∂ϕ ( n −1) L ∂cn
d kϕ (k ) 其中ϕ 表示 k . dx
3 定解条件