n 数值的大小来衡量
A 的不一致程度。
定义：一致性指标
CI
n
n 1
其中 n 为 A 的对角线元素之和，也为 A 的特征根之和。
定义 随机一致性指标 RI
随机构造500个成对比较矩阵
则可得一致性指标
A1, A2 ,, A500
CI1, CI 2 ,, CI500
CI1 CI 2 CI 500 RI 500
1 1 B5 1 1 4 4
决策。此过程主观因素占有相当的比重给用数学方法解决问 题带来不便。美国运筹学家、 匹兹堡大学教授T.L.Saaty 等 人在20世纪七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用 方法—层次分析法。
层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP )是一种
定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。由于 它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界 范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策 和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、
随机一致性指标 RI 的数值： n
RI
1 2 500
500 n 1
n
1 2
0 0
3
0.58
4
0.90
5
1.12
6
1.24
7
1.32
8
1.41
9
1.45
10
1.49
11
1.51
CI 一般地，当一致性比率 CR 0.1 时，认为 A RI 的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量
2. 构造成对比较矩阵
设某层有 n 个因素， X x1 , x 2 , , x n 要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定
在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把 n个因素对上
层某一目标的影响程度排序）
上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1~9尺度。
用
aij表示第
i 个因素相对于第 j个因素的比较结果，则
B层的层次 总排序
a b
j 1 j
m
ij
A B
A 1, A 2 ,, A m
a1 , a2 ,, am
B1 B2 Bn
b11 b12 b21 b22 bn1 bn 2
b1m b2 m bnm
a b
j 1 m j 1 m j
m
j 1j
b1 b2 bn
a b a b
层次分析法
Analytic Hierarchy Process AHP
T.L.Saaty
层次分析法建模
一、 问题的提出
日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种 方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。
例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、 外形等方面的因素选择某一支钢笔。 买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选 择某种饭菜。 例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏杭，还是去迷人的北 戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、 费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。
CR 0.1
进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进
行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比
率 CR 较大的成对比较矩阵。
三 层次分析法建模举例
1 旅游问题 (1) 建模
Z
A1
A1 , A2 , A3 , A4 , A5分别表示景色、费用、 NhomakorabeaA2
A3
A4
A5
居住、饮食、旅途。
1 aij a ji
A aij n n
a11 a21 a n1
a1n a22 a2 n 成对比较矩阵 an 2 ann a12
比较尺度：（1~9尺度的含义） 尺度 含义 第 i个因素与第 j 个因素的影响相同 第 i 个因素比第 j 个因素的影响稍强 第 i 个因素比第 j 个因素的影响强 第 i 个因素比第 j 个因素的影响明强 第 i 个因素比第 j 个因素的影响绝对地强
n n
3. aii 1
比如，例2的旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z
Z A1 A1 1 A2 2 A3 1/4 A4 1/3 A5 1/3
A2 A3 A4 A5
1/2 4 3 3
A1 , A2 , A3 , A4 , A5
分别表示 景色、费用、 居住、饮食、 旅途。
1
1/7 1/5 1/5
分别记为：w1 , w 2 , , w n
w1 w2 1 wn w2

w1 wn w2 wn 1
成对比较阵和权向量 成对比较的不一致情况
1 A 2
1/ 2 1
4 7
a12 1/ 2 (C1 : C2 )
例3
择业 面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去
选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条 件等因素择业。
例4
科研课题的选择 由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依
据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素 进行选题。
面临各种各样的方案进行比较、判断、评价、最后作出
A2
B2
A层m个因素A1, A2 ,, Am ,
对总目标Z的排序为：

Am
a1, a2 ,, am
B层n个因素对上层 A中因素为 Aj
的层次单排序为：
Bn
b1 j , b2 j ,, bnj
( j 1,2,, m)
B 层的层次总排序 即 B 层第 i 个因素对
总目标的权值如下：
B1 : a1b11 a2b12 amb1m B2 : a1b21 a2b22 amb2 m Bn : a1bn1 a2bn 2 ambnm
作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对 A 加 以调整。 一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1 及随机一致性指标的数值表，对 A 进行检验的过程。
4. 层次总排序及其一致性检验
确定某层所有因素对于总目标相对重要性的权值排序过程，
称为层次总排序
从最高层到最低层逐层进行。设：
Z
A1 B1
１ ３ ５ ７ ９
2,4,6,8表示第 i 个因素相对于第 j 个因素的影响介于上述 两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，
根据
1 aij a ji
由上述定义知，成对比较矩阵 A a ij 满足以下性质： 1.

aij 0 2.
A也称为正互反阵。
的影响两两比较结果如下：
1 aij a ji
检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；
若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。
4.计算总排序权向量并做一致性检验 计算最下层对最上层总排序的权向量。 利用总排序一致性比率
a1CI1 a2CI 2 amCI m CR a1 RI1 a2 RI2 am RIm
j 1 j
2j
nj
层次总排序的一致性检验
设 B 层 B1, B2 ,, Bn 对上层( A 层)中因素 Aj ( j 1,2,, m) 的层次单排序一致性指标为 CI j ，随机一致性指标为 RI j 则层次总排序的一致性比率为： ，
a1CI1 a2CI 2 amCI m CR a1 RI1 a2 RI2 am RIm
一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中
间是准则层或指标层。 例1 的层次结构模型 买钢笔 质 量 颜 色 价 格 外 形 实 用 目标层
准则层
方案层
可供选择的笔
例2 层次结构模型
选择 旅游地 目标层Z
景 色
费 用
居 住
饮 食
旅 途
准则层A
苏杭、北戴河、 桂林 方案层B
若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所 有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。
3. 层次单排序及一致性检验
层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。 用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。 例: 一块石头重量记为1，打碎分成
n
个小块，各块的重量
两两比较得成对比较矩阵 1 w 由右面矩阵可以看出， 2 A w1 wi wi wk wj wk w j wn a a a 即， ij ik kj w1
a13 4 (C1 : C3 )
一致比较
不一致
a23 8 (C2 : C3 )
w1 w2 w2 w2 wn w2 w1 wn w2 wn wn wn
允许不一致，但要确定不一致的允许范围
w1 考察完全一致的情况 w 1 W ( 1) w1 , w2 ,wn w2 A w1 令aij wi / w j T w (w1 , w2 ,wn ) ~ 权向量 wn w1
7
1 2 3
5
1 1
5
1 1
1/2 1/3
由上表，可得成对比较矩阵
1 2 1 A 4 13 1 3
1
2 1 1 7 1 5 1 5
4 7 1 2 3
3 5 1 2 1 1
3 5 1 3 1 1
旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。 问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上 层某因素的影响程度的排序结果呢？
4 7 1 2 3
1 1 1 3
3 5 1 2 1 1