属于同一个布里渊区的能级构成一个能带，不 同的布里渊区对应不同的能带。 每个布里渊区的体积是相等的，等于倒格子原 胞的体积 计入自旋，每个能带包括2N个量子态。
三维与一维
布里渊区特点

显然由于布里渊区对能带结构的重要性， 有必要对布里渊区的特点进行总结。布里 渊区具有以下特点：



1、准经典近似
k (r , t )
复习


能态密度函数的表达式，一维、二维、三维？ 范· 霍夫奇点？ 费密面？ 价带？ 导带？ 解释碱土金属的导电性？ 测不准关系？ 准经典近似的实质是将电子的运动看成什么？
在能带的底部或能带顶，电子的速度都 为0
请同学们思考！
2、费米面
费米面的意义

在晶体周期场中运动的N个电子，它们的基态也 可以用类似的方法讨论。这时，由能级而分成一 系列能带En(k)。而电子总是填充这些能带中能 级最低的N个状态，一般地说有两类情况：


电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各带全部是 空的。这时，最高的满带称为价带，最低的空带称为 导带。价带的最高能级(价带顶)和导带的最低能级(导 带底)之间的能量范围称为带隙，这种情况对应于绝缘 体或半导体。 除去完全被电子充满的一系列能带外，还有只是部分 地被电子充满的能带，后者称为导带，这种情况对应 于金属导体。
（5）体心立方结构的s态能带
§5.7 晶体中能带的对称性
作业

习题5，6，7 （涉及有效质量部分暂空着）
复习

紧束缚近似是基于何种物理思想？ （即：以什么作为零级波函数，什么 作为微扰？）
写出紧束缚近似能带公式？
晶体能带对称性主要表现在哪些方面？ 晶格振动频率和能量，波矢和动量的 关系？
k
n 位置发 a
§5.6紧束缚近似-- 原子线性轨道组合法


基本情况介绍 模型与微扰计算 能带公式 应用举例
1、基本情况介绍


前面讨论能带时采用了近自由电子模型，使用自由电子的 波函数作为零级波函数，而把周期场看成是微扰，这种方 法比较适合讨论金属的能带，但使用这种方法有许多局限 性，特别是这种周期场比较强时，另外，如何使计算的结 果能够快速收敛也是问题，为此，在原来的近自由电子模 型基础上，人们又发展出正交化平面波方法和赝势方法， 以及可kp微扰法，这些方法已经被广泛用于能带的计算。 相对近自由电子近似，另一种极端情况就是考虑每一个原 子实周围的势场很强，以致于电子很容易在其周围形成束 缚态，为此，可以以单个格点电子形成束缚态作为零级波 函数，而把其它晶格的影响看成微扰，这种方法叫紧束缚 近似。
固体物理学教案讲稿 5
华东师范大学信息科学技术学院 王连卫 Tel:54345160 lwwang@
单双周：星期一上午3、4，四教229 单周：星期四下午5、6，四教229
第五章：晶体中电子能带理论
§5.0 预备知识

电子在周期场中运动
2 2 [ V (r )] (r ) E (r ) 2m
4、近满带和空穴
本节注意点




晶体的电子在电场的作用下是否一直在作 加速运动？ 满带电子是否导电？ 解释金属导电性？ 非导体的能带结构有何特点？ 解释半导体的导电性？
第五章复习（一）



布洛赫波、布洛赫函数 n 一维采用简并微扰发现在 k 位置发生 a 了什么？ n 近自由电子近似一维在 k 处的禁带宽 a 度？ 如何利用倒格矢表示布拉格反射？ 布里渊区有哪些特点？正方格子的布里渊区 紧束缚近似是基于何种物理思想？（即：以什 么作为零级波函数，什么作为微扰？） 写出紧束缚近似能带公式
V (r R) V (r )
§5.1布洛赫定理


定义 边界条件 k-空间
1、定义
BACK
2、边界条件
3、k空间
§5.2电子气的能量状态


模型 方程的解 态密度的初步讨论
1、模型
2、方程的解
3、边界条件
4、态密度的初步讨论
§5.3克龙尼克-潘纳模型



晶体的电子在电场的作用下是否一直在作 加速运动？ 满带电子是否导电？ 解释金属导电性？ 非导体的能带结构有何特点？ 解释半导体的导电性？ 费密能？
2、模型与微扰计算
3、能带公式
4、举例

紧束缚近似是计算能带的一种有效方法。作为本 课的要求，我们主要考虑s态电子的情况，这是 由于s态球对称，各个方向的相等。
（1）一维单原子链s带组成的能带
（2）二维正方结构s态组成的能带
（3）三维简立方结构s态电子能带
（4）面心立方结构的s态能带
解释



碱金属ns电子，可容纳量为2N，但只有N个 电子。 碱土金属，ns电子，可容纳2N，电子数为 2N，但ns与np有交叠。 金刚石、硅、锗，电子刚好将由4个成键态 衍生的四个能带填满，而反键态所衍生的为 导带。
作业

习题9
§5.8 电子运动的平均速度、加速度和有 效质量


准经典近似 在外力作用下状态的变化和准动量 加速度和有效质量
每个布里渊区的体积都相等，等于倒格子原胞 的体积 所有的布里渊区经平移适当的倒易矢量后与第 一布里渊区重合。 布里渊区对原点中心对称。
5、几种晶体结构的布里渊区
思考题

二维正方格子的布里渊区？
作业：

习题1，2，3
复习



一维采用简并微扰发现在 生了什么？ n 一维在 k 处的禁带宽度？ a 如何利用倒格矢表示布拉格反射？ 布里渊区有哪些特点？ 如果用k空间来标记，布里渊中心指的是哪 一点？
3、导体和绝缘体的模型
半导体和绝缘体都属于非导体类型

但对于半导体，其导电来自两方面


由于热激发，使得部分电子从价带跃迁到导带，形成 电子－空穴对。 杂质的存在可使能带的填充情况发生改变，使导带中 有少量电子或价带上有少量空穴。

在金属和半导体之间存在一种中间情况，这就是 导带底和价带顶或发生重叠或具有相同的能量。 通常同时在导带中存在一定数量的电子，价带中 存在一定的空状态，导带电子的密度比普通金属 少几个数量级。―――半金属


模型 薛定格方程 方程的解 能带的定义 意义
1、模型
2、薛定格方程
3、方程的解
复习



布洛赫定理和布洛赫函数？ 波函数的连续性？ 点在k-空间的密度，三维、二维或一维情 况。 不同边界条件下，电子气的能态的解。 理想电子气的能态密度。
4、能带的定义

§5.8 能态密度与费米面


能态密度函Leabharlann 费米面1、能带密度函数能态密度公式
（请大家自己推断）
Van Hoff 奇点（singularity）

如果出现 k E 0 ，则将会出现能态密 度的发散（分母为0），这种情况叫做 Van Hoff奇点。
低维情况
思考题：二维正方格子？
能带
k的取值
简约波矢
能带的表示
1
§5.5三维周期场中电子运动的近自由电 子近似


模型 非简并微扰计算 讨论 布里渊区与能带 几种结构的布里渊区
1、模型
2、非简并微扰计算
3、讨论
布里渊区定义的进一步说明
4、布里渊区与能带

如果在k-空间把原点和所有倒格子的格矢 之间的垂直平分面都画出来，k-空间被分 割成许多区域，在每个区域内E对k是连续 变化的，而在这些区域的边界处，E(k)发 生突变，这些区域通常就叫做布里渊区。
2、在外力的作用下状态的变化和准动量
3、加速度和有效质量
思考题

二维正方结构能带及其特点：
注意点

必须注意的是有效质量并不是常数而是k 的函数，一般情况下是一个张量。在能带 底附近，有效质量总是正值，而在能带顶 附近，有效质量总是负值。
作业

习题4，补习题5、6、7部分有关有效质 量的问题。


模型与微扰计算 能带和带隙
1、模型和微扰计算
非简并微扰处理：一级微扰
E
( ) k
H kk
k H k 0
计算过程请大家自己验证！
二级微扰
总能量
波函数
问题
简并的概念
简并微扰处理
请大家自己验证！
有非零解条件
讨论
讨论（续）
讨论2：分两种情况
2、能带和带隙
讨论
能带的讨论
意义

克龙尼克-潘纳模型具有非常重要的意 义


这是一个能严格求解的问题，可以证明在周 期场中运动的粒子的许可能级形成能带，能 带之间不许可的能量范围是禁带。 这一模型经适当修正后可以处理诸如超晶格 等许多问题。
友情提示

课后请认真复习本节课所讲内容
§5.4一维周期场中电子运动的近自由电 子近似
引言 满带电子不导电 导体与绝缘体的模型 近满带和空穴
1、引言

所有的固体都包含大量的电子，为什么有 的是导体，而有的是绝缘体或半导体，在 能带论没有创立之前曾长期得不到解释。 由于能带论的建立，不仅成功解释了导体、 绝缘体，并逐步建立了现代半导体理论并 为半导体器件奠定了理论基础。
2、满带电子不导电
§5.9 恒定电场下电子的运动

恒定电场下电子的运动
1、 恒定电场下电子的运动
一维能带
复习




电子运动的平均速度表达式？能带顶部和 底部的平均速度？ 外力作用下其准动量如何变化？ 有效质量是怎么回事？ 能带底部和顶部的有效质量有何特点？