五、数列（一）填空题 1、（2008江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即22n n -个，因此第n 行第 3 个数是全体正整数中第22n n-＋3个，即为262n n -+． 2、（2009江苏卷14）设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = . 【解析】 考查等价转化能力和分析问题的能力。

等比数列的通项。

{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为32q =-，6q = -93、（2010江苏卷8）函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=_________ [解析]考查函数的切线方程、数列的通项。

在点(a k ,a k 2)处的切线方程为：22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2ka x =， 所以1135,1641212kk a a a a a +=++=++=。

4、（2011江苏卷13）设1271a a a =≤≤≤L ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________.【解析】由题意：231222112a a q a q a q =≤≤≤+≤≤+≤，222221,12a q a a q a ∴≤≤++≤≤+3223q a ≥+≥，而212221,1,,1,2a a a a a ≥=∴++Q 的最小值分别为1，2，3；3min 3q ∴=本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力,考查抽象概括能力和推理能力，本题属难题.5、（2012江苏卷6） 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．【解析】组成满足条件的数列为：.19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1-----从中随机取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为53. 【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.6、（2013江苏卷14）14．在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a ΛΛ2121>+++的最大正整数n 的值为 。

答案： 14．12（二）解答题1、（2008江苏卷19）.（Ⅰ）设12,,,n a a a L L 是各项均不为零的等差数列（4n ≥），且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当n =4时，求1a d的数值；②求n 的所有可能值； （Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n ≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,,,n b b b L L ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。

（1）①当n =4时, 1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d =0。

若删去2a ，则2314a a a =⋅，即2111(2)(3)a d a a d +=⋅+化简得140a d +=，得14a d =- 若删去3a ，则2214a a a =⋅，即2111()(3)a d a a d +=⋅+化简得10a d -=，得11a d=综上，得14a d=-或11ad =。

②当n =5时, 12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去1245,,,a a a a ，否则出现连续三项。

若删去3a ，则1524a a a a ⋅=⋅，即1111(4)()(3)a a d a d a d +=+⋅+化简得230d =，因为0≠d ，所以3a 不能删去；当n ≥6时，不存在这样的等差数列。

事实上，在数列12321,,,,,,n n n a a a a a a --L 中，由于不能删去首项或末项，若删去2a ，则必有132n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾；同样若删去1n a -也有132n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾；若删去32,,n a a -L 中任意一个，则必有121n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾。

(或者说：当n ≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，4n =。

（2）假设对于某个正整数n ，存在一个公差为d 的n 项等差数列n b b b ,......,21，其中111,,x y z b b b +++（01x y z n ≤<<≤-）为任意三项成等比数列，则2111y x z b b b +++=⋅，即2111()()()b yd b xd b zd +=+⋅+，化简得221()(2)y xz d x z y b d -=+- （*）由10b d ≠知，2y xz -与2x z y +-同时为0或同时不为0当2y xz -与2x z y +-同时为0时，有x y z ==与题设矛盾。

故2y xz -与2x z y +-同时不为0，所以由（*）得212b y xzd x z y-=+-因为01x y z n ≤<<≤-，且x 、y 、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而1b d为有理数。

于是，对于任意的正整数)4(≥n n ，只要1b d为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。

例如n 项数列1，12+，122+，……，1(1)2n +-满足要求。

2、（2009江苏卷17）（本小题满分14分）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足222223457,7a a a a S +=+=。

（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项。

【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。

满分14分。

（1）设公差为d ，则22222543a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176772a d ⨯+=，解得15a =-，2d =,(2)（方法一）12m m m a a a ++=(27)(25)23m m m ---,设23m t -=， 则12m m m a a a ++=(4)(2)86t t t t t--=+-, 所以t 为8的约数（方法二）因为1222222(4)(2)86m m m m m m m m a a a a a a a a +++++++--==-+为数列{}n a 中的项， 故m+28 a 为整数，又由（1）知：2m a +为奇数，所以2231,1,2m a m m +=-=±=即经检验，符合题意的正整数只有2m =。

w.w.w.zxxk.c.o.m 3、（2009江苏卷23）（本题满分10分）对于正整数n ≥2，用n T 表示关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的有序数组(,)a b 的组数，其中{},1,2,,a b n ∈L （a 和b 可以相等）；对于随机选取的{},1,2,,a b n ∈L （a 和b 可以相等），记n P 为关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实数根的概率。

（1）求2n T 和2n P ；（2）求证：对任意正整数n ≥2，有1n P n>-. 【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。

满分10分。

w.w.w.zxxk.c.o.m4、（2010江苏卷19）（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}nS 是公差为d的等差数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）；（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立。

求证：c 的最大值为29。

【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。

满分16分。

（1）由题意知：0d >， 11(1)(1)n S S n d a n d =+-=+-21323213233()a a a a S S S S =+⇒=⇒-=，2221113[()](2),a d a a d +-=+化简，得：22111120,,a a d d a d a d -⋅+===,22(1),n n S d n d nd S n d =+-==，当2n ≥时，222221(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-，适合1n =情形。

故所求2(21)n a n d =-（2）（方法一）222222222m n k S S cS m d n d c k d m n c k +>⇒+>⋅⇒+>⋅， 222m n c k+<恒成立。

又n m k n m ≠=+且3，222222292()()92m n m n m n k k ++>+=⇒>， 故92c ≤，即c 的最大值为29。

（方法二）由1a d =及1(1)n S a n d =+-，得0d >，22n S n d =。

于是，对满足题设的k n m ,,，m n ≠，有2222222()99()222m n k m n S S m n d d d k S ++=+>==。

所以c 的最大值max 92c ≥。

另一方面，任取实数92a >。

设k 为偶数，令331,122m k n k =+=-，则k n m ,,符合条件，且22222222331()[(1)(1)](94)222m n S S m n d d k k d k +=+=++-=+。